矩形的性质、矩形的判定专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

矩形的性质、矩形的判定专项训练 矩形的性质、矩形的判定专项训练 考点目录 矩形的性质 矩形的判定 考点一 矩形的性质 例1.(25-26九年级上陕西渭南期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E在AD边上，连 接BE交AC于点F.若∠0CD=60°，LBED=130°，则∠BFO的度数为(） A A.95° B.105° C.100° D.110° 【答案】C 【详解】解：如图， A ~四边形ABCD是矩形， ∴0A=0B,OD=0C,∠BAE=90°， ×∠0CD=60°， L0CD=∠0DC=∠C0D=60°=∠A0B, △ABO是等边三角形， ∠AB0=60°， ×∠BED=130°， ∠AEB=180°-130°=50°， ∴∠ABE=40°， ∠FB0=60°-40°=20°， ∠BF0=180°-60°-20°=100°. 例2.(24-25八年级下·浙江宁波期中)如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点.若 AB=6,BC=8,则△BOE的周长为() 矩形的性质、矩形的判定专项训练 E D B A.10 B.8+25 C.8+2W13 D.14 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, ∴CD=AB=6,AD=BC=8, ~点O是AC的中点，E为AD的中点， .OE=-CD=3,AE=AD=4 在Rt△ABE中，AE=4,AB=6, 根据勾股定理得，BE=√AB2+AE2=V62+42=213, 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC=VAB2+BC2=V62+82=10, ~四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°， 点O是AC的中点， B0= 24C=5. “△B0E的周长为5+3+2V13=8+2√3. 例3.(25-26九年级上陕西汉中期末)如图，在矩形ABCD中，CD=4,∠BAD的平分线交BC于点E,连接 DE,若ADE的面积为14，则DE的长为() A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【详解】解：在矩形ABCD中，CD=4, AD∥BC,AB=CD=4,∠B=∠C=90°， 2 矩形的性质、矩形的判定专项训练 ∴SE形4BCD=2SADE,∠AEB=LDAE, 又ADE的面积为14， S矩形4BcD=28, ∴.4BC=28, BC=7, AE平分∠BAD, ∠BAE=∠DAE, ∠AEB=∠BAE, ·BE=AB=4, CE=BC-BE=3, DE=CD2+CE2=5. 例4.(24-25八年级下·甘肃临夏·期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠A0B=60°，AB=6, 则AC= B 【答案】12 【详解】解：矩形ABCD, .AC=20A,OA=OB, ∠A0B=60°， ·AOB为等边三角形， 04=AB=6, AC=12. 例5.(24-25八年级下·江苏宿迁·月考)如图矩形ABCD,点E在BC的延长线上，CE=BD,连接AE,如果 ∠E=28°，则∠ADB= D 【答案】56° 【详解】解：连接AC, 矩形的性质、矩形的判定专项训练 D :四边形ABCD是矩形， B :AC=BD, :CE =BD, .:CE AC, .∠E=∠CAE=28°， LACB=2LE=56°， LADB=LACB=56°. 例6.(24-25八年级下·上海·期末)如图，矩形ABCD中，AB=2,对角线AC和BD相交于点O,且∠A0D=120°， 过点D作AC的平行线，过点C作BD的平行线，两平行线交于点E,那么四边形OCED的面积是 O B C 【答案】2√5 【详解】解：~四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90°，0A=0B=0C=0D ∠A0D=120° .∠A0B=60 ·AOB是等边三角形 .0A=0B=AB=2 ∴.BD=4 ·AD=VBD2-AB2=2√5 六S矩形HBCD=AB:AD=2×2V5=4V5 S.oc=c= 1 DE∥OC,CE∥OD 四边形0CED是平行四边形 矩形的性质、矩形的判定专项训练 S边形0cD=2S0cD=2V3 变式1.(24-25八年级下·广东广州月考)如图所示，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0， ∠ACB=30°，AB=1,则矩形对角线的长等于() D B A.1 B.2 c.2 D.5 【答案】B 【详解】解：由题意知，4B=4C=1, ÷AC=2, 矩形对角线的长为2. 故选：B· 变式2.(24-25八年级下·湖南株洲月考)如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于点F,若 EF=CE=1,AB=3,则线段AF的长为() B 3 A.25 B.4 C.25 D.32 【答案】B 【详解】解：如图，连接DE, A D ⊙ E 四边形ABCD是矩形， AD‖BC,∠BCD=90°， LADE=∠DEC, DF⊥AE, ∠DFE=90°， 矩形的性质、矩形的判定专项训练 又rFE=CE,DE=DE, :.RtADFE≌RtADCE(HL), ∴DF=DC,LFED=∠DEC, ∠FED=∠ADE, ∴AE=AD, ∴BE=BC-EC=AE-EC, 在Rt△ABE中，设AE为x, 由勾股定理可得：AB2+BE2=AE2,即32+(x-1)2=x2, 解得x=5, AE=5, AF=AE-EF=5-1=4, 故选：B. 变式3.(2425八年级下·福建厦门月考)如图，在矩形ABCD中，AD=15,AB=9.E是边AB上一点，将 △ADE沿DE所在直线折叠，使得点A恰好落在CB边上点F处，则EF的长是() A B A.4 B.5 C.2W5 D.3W2 【答案】B 【详解】解：四边形ABCD是矩形，AD=15,AB=9, BC=AD=15,CD=AB=9,∠C=∠B=90°： ~将△ADE沿DE折叠，点A落在CB边上的点F处， ∴DF=AD=I5,AE=EF; 在RtADFC中，由勾股定理得： FC=VDF2-CD2=V152-92=12, BF=BC-FC=15-12=3; 设EF=x,则AE=x,BE=AB-AE=9-x, 在RtABEF中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2, 6 矩形的性质、矩形的判定专项训练 即(9-x)2+32=x2, 解得：x=5,即EF=5; 故选：B. 变式4.(24-25八年级下·浙江宁波月考)如图，在矩形ABCD中，AD>AB,点E是对角线AC上的一点，连接 BE DE,BE,且满足∠AED=2∠DAE,已知AE=3CE,则 DE 【答案】6 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O,过点E作EF⊥BD于点F, D F B 设EC=x,则AE=3CE=3x :.AC=AE+EC=4x ~四边形ABCD是矩形 ∴.0A=0D=0B=0C=2x 设∠0AD=∠0DA=a ∠D0E=∠0AD+∠0DA=2a ∠AED=2∠DAE=2a LDOE=∠DEO :DE=DO=2x 0E=0C-EC=x 设OF=y,则DF=OD-OF=2x-y EF⊥BD OE2-OF2=EF2=DE2-DF2 x2-y2=(2x2-(2x-y2 7 矩形的性质、矩形的判定专项训练 y4x,即0F= 1 4 19 BF=BO+OF=2x+二x=x 4 4 ÷BE=VBF2+EF2=√6x .BE V6x 6 DE 2x 2 变式5.(25-26九年级上.宁夏银川期中)如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,点E为BC上一点，把△CDE沿 DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是一 F B D 【答案】月 【详解】解：~在矩形ABCD中，AB=5,AD=3, ∴CD=AB=5,∠A=90°，BC=AD=3, 由折叠的性质可得：DF=DC=5,EF=CE, AF=DF2-AD2=52-32=4, ∴BF=AB-AF=5-4=1, 设BE=x,则CE=EF=BC-BE=3-x, 在Rt△BEF中，由勾股定理可得：BE2+BF2=EF2 即x2+1P=(3-x 、4 解得：x=3' scE-C-E 变式6.(2526八年级上湖北襄阳月考)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P是AD上的动点，PE⊥AC 于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值是 P 矩形的性质、矩形的判定专项训练 A P D A O 【答案】24 【详解】解：连接OP, 矩形ABCD中，AB=6,BC=8, A D E ∠ABC=909,Sm=AB.BC=4×6×8=12, 1 4 4 ·AC=BD=VAB2+BC2=10, .0A=0D=5, S.AOD =S.AOP+S.POD ÷OAPE+OD·PF=12, 5PE+5PF=24, PE+PF=24 , 4 故答案为：5 矩形的性质、矩形的判定专项训练 考点二 矩形的判定 例1.(24-25八年级下广西北海期中)在平行四边形ABCD中，过点D作DE1AB于点E,点F在CD上且 DF=BE,连接AF,BF. D F E (I)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若CF=3,BF=4,AF平分∠DAB,求DF的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)DF的长为5 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， CD∥AB, :DE⊥AB于点E,点F在CD上， DF∥BE, DF BE, :四边形BFDE是平行四边形， :∠BED=90°， :四边形BFDE是矩形. (2)解：：∠BFD=90°，CF=3,BF=4, ∠BFC=90°， BC=VCF2+BF2=V32+42=5, :AD =BC=5, :AF平分∠DAB, .∠DAF=∠BAF, .∠DFA=∠BAF, ∠DAF=∠DFA, :DF=AD=5, DF的长为5. 例2.(24-25八年级下·福建厦门期中)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,AD=BC. 10矩形的性质、矩形的判定专项训练 矩形的性质、矩形的判定专项训练 考点目录 矩形的性质 矩形的判定 考点一 矩形的性质 例1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 例3．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若的面积为14，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例4．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   例5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图矩形，点在的延长线上，，连接，如果，则 ______． 例6．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 变式1．（24-25八年级下·广东广州·月考）如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（    ） A．1 B．2 C． D． 变式2．（24-25八年级下·湖南株洲·月考）如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 变式3．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 变式4．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在矩形中，，点是对角线上的一点，连接，且满足．已知，则______． 变式5．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 变式6．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是____________． 考点二 矩形的判定 例1．（24-25八年级下·广西北海·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 例2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 例3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 例4．（25-26九年级上·宁夏中卫·月考）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 变式1．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 变式2．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形． 变式3．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作，交于点，过点作于点，过点作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 变式4．（24-25八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 2 学科网（北京）股份有限公司 $