第21章 四边形 单元复习（6大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

该初中数学四边形单元复习讲义通过表格对比、知识框架图系统梳理知识体系，涵盖多边形概念与性质、平行四边形及特殊平行四边形的性质判定、三角形中位线等核心内容，用表格呈现特殊平行四边形性质判定及中点四边形规律，突出知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如多边形内角和计算培养抽象能力，培优题型如特殊平行四边形折叠问题运用方程思想与勾股定理，压轴题型如正方形“十字架”模型发展推理意识与空间观念。配套易错点总结和方法技巧指导，帮助不同层次学生提升，支持教师实施精准分层教学。

第21章 四边形 知识点1：多边形的概念与性质 1.定义：平面内由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次相接组成的封闭图形，按边数分为三角形、四边形、五边形等。 2.内角和公式：n边形内角和为（，n为整数）。 3.外角和性质：任意多边形的外角和恒为，与边数无关。 4.对角线：从n边形一个顶点出发可引条对角线，总对角线条数为。 5.正多边形：各边相等、各内角相等，每个内角为，每个外角为。 知识点2：平行四边形的性质与判定 性质 1.边：对边平行且相等（，，，）。 2.角：对角相等，邻角互补（，，）。 3.对角线：互相平分（，）。 4.对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点。 判定 判定类型 具体条件 符号语言 边判定 两组对边分别平行 ，，四边形是平行四边形 边判定 一组对边平行且相等 且，四边形是平行四边形 边判定 两组对边分别相等 ，，四边形是平行四边形 角判定 两组对角分别相等 ，，四边形是平行四边形 对角线判定 对角线互相平分 ，，四边形是平行四边形 知识点3：特殊平行四边形的性质与判定 图形 核心性质 判定条件 矩形（有一个角是直角的平行四边形） 1.对边平行且相等； 2.四个角都是直角； 3.对角线相等且互相平分； 4.既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴） 1.有一个角是直角的平行四边形； 2.三个角是直角的四边形； 3.对角线相等的平行四边形 菱形（有一组邻边相等的平行四边形） 1.对边平行，四条边都相等； 2.对角相等，邻角互补； 3.对角线垂直且互相平分，平分一组对角； 4.既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴） 1.有一组邻边相等的平行四边形； 2.四条边相等的四边形； 3.对角线互相垂直的平行四边形 正方形（有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形） 1.对边平行，四条边都相等； 2.四个角都是直角； 3.对角线相等、垂直且互相平分，平分一组对角； 4.既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴） 1.有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形； 2.有一组邻边相等的矩形； 3.有一个角是直角的菱形； 4.对角线相等且垂直的平行四边形 知识点4：三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段。 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（若、分别为、中点，则，）。 3.推论：三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形，中位线组成的三角形周长为原三角形周长的一半。 知识点5：中点四边形 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 2.形状规律（表格呈现）： 原四边形条件 中点四边形形状 任意四边形 平行四边形 对角线相等（如矩形、等腰梯形） 菱形 对角线互相垂直（如菱形） 矩形 对角线相等且互相垂直（如正方形） 正方形 知识点6：特殊平行四边形的面积公式 图形 面积公式 补充说明 平行四边形 底为任意一边，高为该边对应的垂线段长度 矩形 或 对角线相等，面积也可通过对角线乘积的一半计算 菱形 或 对角线互相垂直，面积必为对角线乘积的一半 正方形 或 对角线相等且垂直，两公式可相互推导 【基础必考题型】 【题型1】多边形的内角和与外角和计算 1.核心知识点: 多边形内角和公式、外角和性质 正多边形的内角与外角关系 2.解题方法技巧: 直接套用公式：已知边数求内角和用，求正多边形内角用，外角直接用。 逆向求解：已知内角和求边数，变形为；已知正多边形一个内角求边数，先求外角（内角），再用外角得边数。 跨情境转化：将建筑构件（如正六边形地砖）、机械零件等实际图形抽象为正多边形，提取边数信息后计算。 【例题1】.（2026·陕西西安·三模）如图，正六边形和正五边形，连接，则的度数为______. 【答案】 /24度 【分析】先求出正六边形和正五边形的一个内角的度数，再根据周角的定义求出，进而求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴, ∵, ∴． 【变式题1-1】.（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ，， ， ， 【变式题1-2】.（2026·陕西·一模）如图，在正六边形中，连接，则的度数为__________． 【答案】 【分析】利用正多边形内角和定理求出每个内角的度数，然后根据三角形内角和定理以及角的和差进行求解． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴每个内角的度数为， ∴， ， ∴． 【变式题1-3】.（2026·甘肃白银·一模）从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是（       ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发，除去自身和相邻两个顶点，一共可以引出条对角线，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得， 因此这个多边形是十边形． 【题型2】平行四边形的性质基础应用 1.核心知识点: 平行四边形的边、角、对角线性质 平行线的性质 2.解题方法技巧: 性质定位法：求边长用“对边相等”，求角用“对角相等”或“邻角互补”，求对角线关系用“互相平分”。 方程思想：遇未知量时，设未知数，利用周长公式（）或角度关系列方程。 生活建模：将伸缩门、停车位、防护网等生活中的平行四边形物体转化为几何图形，忽略无关细节，聚焦核心性质计算。 【例题2】.（25-26八年级下·天津宁河·月考）如图，中，，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)求的长． (2)与有什么位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)2 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义，等角对等边可得，然后根据得出答案； （2）根据平行四边形的性质得，再根据等边对等角得，然后求出，即可得出，则此题可证． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图，已知在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（   ） A．18 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长为． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质得，，再根据顶点O、P、M坐标可知，线段向右平移4个单位后与重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点，最后由平移的坐标特征即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴线段向右平移4个单位后与重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点， ∴顶点N的坐标是． 【变式题2-3】.（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． (1)求的度数． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解； （2）利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质推出，求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型3】特殊平行四边形的定义辨析 1.核心知识点: 矩形、菱形、正方形的定义 特殊平行四边形的本质特征 2.解题方法技巧: 定义溯源法：抓住每种图形的“本质条件”（矩形→直角，菱形→邻边相等，正方形→直角+邻边相等），逐一验证选项。 排除法：对选项逐一分析，不符合定义中任一条件则排除，如“对角线垂直的平行四边形”排除矩形选项。 文化情境关联：结合古典园林花窗、传统织锦纹样等情境，先识别图形类型，再根据定义判断属性。 【例题3】.（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案． 【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个， 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·四川成都·期中）下列命题是真命题的是（　　） A．四条边都相等的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形 D．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 【答案】B 【分析】本题考查正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质即可一一判断； 【详解】解：A、四条边都相等的四边形不一定是正方形，故本选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，故本选项符合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 【题型4】三角形中位线的基础计算与证明 1.核心知识点: 三角形中位线的定义 三角形中位线定理 2.解题方法技巧: 中点识别：先确定三角形的两边中点，明确中位线对应的第三边。 定理直接应用：求长度用“中位线=第三边的一半”，证平行用“中位线平行于第三边”。 辅助线构造：遇中点但无中位线时，连接中点构造中位线，转化线段关系。 【例题4】.（25-26九年级下·江苏扬州·月考）如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由等边对等角可得，进而由直角三角形两锐角互余可得，即得，得到，即得到，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴点是的中点， ∵， ， 又 ∵是边上的中点， ∴是的中位线， ， ． 【变式题4-1】.（2026九年级下·云南昆明·学业考试）如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长度为______． 【答案】9 【分析】连接，由矩形的性质可知：矩形的两条对角线相等，可得，在中，为的中位线，由此可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵，分别是，的中点， ． 【变式题4-2】.（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到，再根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ∵为的中点， 是的中位线， ． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·云南临沧·月考）如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，得四边形是平行四边形．根据三角形中位线定理，、，根据四边形是矩形，，故，对角线垂直的平行四边形为菱形，即可得证； （2）根据矩形周长为22，则，由中位线性质得，菱形面积，即，进而即可得到，再根据勾股定理可得． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，交于点，交于点， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 、分别是、的中点， ，， ， ， ，分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：矩形的周长为22， ， ， 四边形是菱形， ，且， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题以平行四边形的中点四边形为背景，融合三角形中位线定理、菱形判定、矩形性质与完全平方公式，通过对角线的位置与数量关系推导结论，体现数形结合与转化与化归的数学思想． 【题型5】平行四边形的判定 1.核心知识点: 平行四边形的判定方法 尺规作图的基本操作 2.解题方法技巧: 判定方法选择：已知边的关系选“边类判定”（平行且相等、两组相等），已知对角线关系选“对角线互相平分”。 作图验证：按判定方法作图（如作一组平行且相等的线段），保留痕迹，再通过性质反向验证。 分步证明：先证明满足判定条件，再明确结论“该四边形为平行四边形”。 【例题5】.（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：∵的对角线，相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的，，，，点D是边上的中点． (1)请用尺规作图作出绕点D旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质； (2)在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离． 【答案】(1)作图见解析；平行四边形；（不唯一） (2) 【分析】（1）由于点D是边上的中点，所以旋转后点B与点C对应，点C与点B对应，所以只需画出点A的对应点即可，作射线，在射线上截取点，使，连接，，即可根据平行四边形的判定证明新组合图形的形状； （2）根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的图形； 绕点D旋转后得到， ，， 新组合图形是平行四边形； 该平行四边形的一条性质：； （2）解：， ， ， ， ， ， 即点A与其旋转后的对应点之间的距离是． 【点睛】本题考查了图形旋转的尺规作图，图形旋转的性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握图形旋转的性质及正确作出图形是关键． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．由平行四边形的性质得到，，进而得到，证明四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·江苏南通·月考）如图1、图2、图3均是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形： (2)在图2中，在边上确定一点，使得； (3)在图3中，在边上确定一点，在边上确定一点，连接，使垂直平分． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）利用平移思想，确定格点即可； （2）找到的中点即可； （3）根据中垂线的定义，结合网格特点，在第2列小正方形中取2个小正方形的中点，作图即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）解：如图2，点即为所求； （3）解：如图3，即为所求． 【培优高频题型】 【题型6】特殊平行四边形的折叠问题 1.核心知识点: 矩形、菱形、正方形的性质 折叠的性质（对应边相等、对应角相等） 勾股定理 2.解题方法技巧: 折叠转化：将折叠后的对应边、角转化为原图形中的边、角，建立等量关系（如矩形折叠后，折痕两侧的线段相等）。 直角三角形构造：利用特殊平行四边形的直角，结合折叠形成Rt△，设未知数后用勾股定理列方程（如菱形折叠后，边长、折痕、对角线片段构成Rt△）。 多性质联用：综合运用“对角线相等”“四边相等”“垂直平分”等性质，逐步推导所求量。 【例题6】.（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，在长方形中，，，连接，将沿折叠，点落在点处，与交于点，则的面积为____________________ ． 【答案】10 【分析】由长方形的性质得，，则，由折叠得，推导出，则，因为，，所以，由勾股定理得，求得，据此即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵将沿折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． ∵， ∴． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·浙江舟山·月考）如图，正方形的边长为2，点是上一动点，将沿翻折，点落到点，连接，，当取得最大值时，的长为_____． 【答案】 【分析】如图1所示，过点A作于点H，过点C作，交直线于点G，由正方形和折叠的性质可证明，由三线合一定理可得，证明，得到，，根据，得到当点G与点F重合时，有最大值；如图2所示，可证明，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，过点A作于点H，过点C作，交直线于点G， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当点G与点F重合时，有最大值； 如图2所示，由图1可知，，， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式题6-3】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，由中点的性质得到得到，再利用三角形外角的关系得到，推出，即可通过内错角相等推出； （2）分情况讨论，当时，，此时点与点重合；当点与点重合时，利用勾股定理即可解答； 【详解】（1）证明：由折叠可知，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：当时，，此时点与点重合， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图①，当点与点重合时，，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上，的长为6或； 【题型7】中点四边形的探究 1.核心知识点: 中点四边形的形状规律 三角形中位线定理 原四边形对角线的性质 2.解题方法技巧: 对角线分析：先判断原四边形对角线的关系（相等、垂直、相等且垂直），再对应中点四边形形状。 定理推导：利用三角形中位线定理，证明中点四边形的对边平行且等于原四边形对角线的一半，进而判断形状。 变式探究：改变原四边形的类型（如平行四边形→梯形），或对角线关系，探究中点四边形的变化规律。 【例题7】.（2026八年级下·全国·专题练习）在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（    ）． A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，菱形的判定定理，熟练掌握相关知识是关键． 先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合证明四条边相等，从而判定该四边形为菱形． 【详解】解：如图， ∵点、为、的中点 ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：A． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 先根据E，F，G，H分别是矩形各边的中点得出，，故可得出，根据即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，， ，． 在与中， ∵， ． 同理可得， ． 故选：A． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）连接，根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）连接，分别过M、P作平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ． 分别为四边中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 为矩形； （2）解：连接，分别过M、P做平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 由作法得：， ∴四边形、、均是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】选择图2：利用三角形中位线性质证明，即可得出结论； 选择图3：利用三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，再根据，利用平行线的性质证明，即可得出结论； 选择图4：先证明四边形为菱形，再证明，即可得出结论． 【详解】解：选择图2； 提出猜想：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是菱形； 证明∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 选择图3； 提出猜想：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 选择图4； 提出猜想：对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， ， 求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线，平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定．熟练掌握三角形中位线性质和菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 【题型8】菱形的面积计算 1.核心知识点: 菱形的面积公式（底×高、对角线乘积的一半） 勾股定理 菱形的性质 2.解题方法技巧: 公式选择：已知底和高用“底×高”，已知对角线用“”，无直接条件时先求所需量。 对角线求解：已知边长和一角，用勾股定理求对角线。 面积转化：将菱形分割为两个全等的三角形或四个直角三角形，通过三角形面积求和验证。 【例题8】.（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）因为平分，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出；因为，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵，的周长为18， ∴，则． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 【变式题8-1】.（2026·云南·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点在的延长线上，的长为的一半， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质和已知条件可证明，再由菱形的判定定理可证明结论； （2）由菱形的对角线互相垂直平分结合勾股定理求出的长，进而求出的长，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的长为的一半，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵菱形中，对角线相交于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-2】.（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，且， ∴，， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， ∴菱形的面积为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形中位线证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接交于点，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）证明： ，分别是，的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， 则， ， ， ， ， 即菱形的周长为． 【点睛】本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【压轴素养题型】 【题型9】直角三角形斜边中线性质的应用（素养提升题） 1.核心知识点: 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 矩形的性质（对角线相等且互相平分） 2.解题方法技巧: 中线识别：在直角三角形中，若出现斜边中点，立即联想到斜边中线性质。 转化思想：将斜边中线转化为与斜边相关的线段，建立等量关系（如矩形对角线交点为斜边中点，中线等于对角线的一半）。 综合应用：结合矩形的判定，利用斜边中线性质证明四边形为矩形（如“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”）。 【例题9】.（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据角平分线的性质得到，再结合直角三角形斜边中线性质得出线段关系，进而得到角的关系，通过内错角相等证明两直线平行． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-1】.（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线MN交AC于点，交AB于点，连接CD． (1)请根据题中的描述和图中的作图痕迹直接写出直线与的关系； (2)若，求的长． 【答案】(1)直线是线段的垂直平分线； (2) 【分析】该题考查了尺规作线段垂直平分线，勾股定理和直角三角形的斜边中线等于斜边一半． （1）根据尺规作线段垂直平分线即可解答； （2）根据直线是的垂直平分线得出，，继而根据勾股定理求出，，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半即可得出结论． 【详解】（1）解：直线是线段的垂直平分线； （2）解：连接 ∵， ∴， 直线是的垂直平分线， ，， ， ， ∴， ∴． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6.5 【分析】本题考查了矩形的判定，直角三角形的判定以及直角三角形斜中半定理，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行证明； （2）先根据勾股定理的逆定理，证得，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”求得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 【变式题9-3】.（2026九年级下·吉林·专题练习）如图，中，，点、分别为边、的中点，点从点出发，沿向终点运动． (1)_____，_____； (2)当是等腰三角形时，求线段的长度； (3)设点关于直线的对称点为． ①当点在的边上时，求线段长度． ②作射线，当射线平分的面积时，直接写出此时线段的长度． 【答案】(1)10，3 (2)或1或7 (3)①1或；② 【分析】（1）根据勾股定理和三角形中位线定理求得结果； （2）当时，作于F，，由四边形是矩形，得，当时， 或； （3）①当点在上时，，根据，得，得，即得；当点在上时，由对称性知，，得，由勾股定理得，解得，即得；②作射线，可知射线重合，由对称性知，，由勾股定理得，解得，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵点D、E分别为边、的中点， ∴； （2）解：如图1，当时，作于F， 则， ∵点D、E分别为边、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 如图2，当时， 或． 综上所述：或1或7． （3）解：①如图3，当点在线段上时，由对称性知，， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，当点在线段上时， ∵， ∴， 由对称性知，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上，或； ②如图5，作射线， ∵点为边的中点， ∴平分的面积， ∵射线平分的面积， ∴射线重合， 由对称性知，， ∵，点为边的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【题型10】正方形的模型应用（“十字架”“半角”模型） 1.核心知识点: 正方形的性质 全等三角形的判定 旋转的性质 2.解题方法技巧: “十字架”模型：正方形内垂直的两条线段相等（如，则），通过构造全等三角形证明。 “半角”模型：正方形内，则，通过旋转至，证明。 模型迁移：将模型结论应用于复杂图形，快速建立线段关系，简化计算。 【例题10】.（25-26九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）过点E作，过点H作，则，根据矩形和正方形的性质得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即可求解． （2）过点E作，过点H作，则，根据矩形的性质和得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即，结合，即可求解． （3）过点C作交的延长线于点F，根据垂直得到，再根据等腰直角三角形的性质，可证，得到，再根据，得到，即，再将代入，即可求证． 【详解】（1）解：如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ． （2）如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 又， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）证：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握作辅助线构造全等和相似是解题的关键． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 【变式题10-2】.（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【答案】（1）①＝；②见解析；（2）水库到农田边的距离为． 【分析】（1）过点C作，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得，从而可证； （2）由平移得，，证出，根据证明，得，在上截取，连接，即是等腰直角三角形，，得，得出是的中位线，由三角形中位线性质可得结论； （2）过点作交于点，得出四边形是平行四边形，，由勾股定理求出，，连接，在上方作，交的延长线于点，证明得，，再证明，得，设，则，由勾股定理列方程可求解． 【详解】解：（1）①过点C作，交于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； ②证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ，， ， ∴点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ， ，即． （2）解：如图，过点作交于点， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴， ，    连接，在上方作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 水库到农田边的距离为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·全国·月考）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 易错点 1.混淆多边形内角和与外角和，误将内角和公式用于外角和计算，或忽略正多边形外角和恒为。 2.特殊平行四边形的判定条件遗漏，如误将“对角线相等的四边形”当作矩形，忽略“平行四边形”的前提；误将“对角线垂直的四边形”当作菱形。 3.三角形中位线定理应用错误，将“连接三角形一边中点与另一边任意点的线段”当作中位线。 4.折叠问题中，未正确识别对应边、对应角，导致等量关系建立错误。 5.计算菱形、正方形面积时，混淆对角线乘积的一半与底×高的公式，或遗漏对角线垂直的前提。 6.存在性问题中，未分类讨论所有可能情况，导致漏解（如等腰三角形腰长的不同情况）。 重点 1.掌握多边形内角和公式与外角和性质，能熟练计算正多边形的内角、外角及边数。 2.熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定方法，能灵活选择判定方法证明图形类型。 3.理解三角形中位线定理，能运用定理进行线段平行和长度的证明与计算。 4.掌握特殊平行四边形的面积公式，能结合勾股定理解决与对角线相关的计算问题。 5.能解决四边形与折叠、旋转、动点相关的综合问题，运用方程思想、分类讨论思想分析。 6.掌握中点四边形的形状规律，能根据原四边形对角线的关系判断中点四边形的形状。 难点 1.特殊平行四边形的综合证明与计算，尤其是结合折叠、旋转、动点的复杂情境，需多性质、多定理联用。 2.四边形中的最值问题，需分析动点轨迹，结合轴对称、垂线段最短等知识确定最值位置。 3.存在性问题的求解，需假设存在并建立方程，分类讨论不同情况，验证解的合理性。 4.跨学科与实际情境题的建模，需将实际问题抽象为几何图形，提取关键条件，转化为数学问题求解。 5.四边形的剪拼与作图，需熟练掌握尺规作图方法，结合图形变换规律，确保作图准确且符合要求。 【对应练习题】 一、单选题 1．一个正二十四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，与多边形的边数无关， ∴正二十四边形的外角和为． 2．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 3．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质结合勾股定理求出的长，再根据折叠的性质求出、、，最后设，结合根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵沿折叠得， ∴，，， ∴， 设，即， ∵在中，，，，， ∴， 即， 解得：． ∴的长为． 4．小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴， ∴ ∴． 二、填空题 5．如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 【答案】16 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，从而利用正方形面积公式即可求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∴． 6．如图，在正方形中，，点在上，连接，经过点、作的垂线，垂足分别为点，，若，则的面积为_____． 【答案】 【分析】用勾股定理求出的长，利用“角角边”证明，由全等三角形性质得，，设，则，根据勾股定理得方程，求解可得，最后根据三角形面积公式即可得解． 【详解】解：依题意得：，， ，， 在正方形中，，， ， 中，， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， 中，， 中，， ， 即， 解得， 即， ． 7．如图，在矩形中，，点是边上一个动点，连接，过点作于点，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】利用矩形性质确定的面积为定值，结合三角形面积公式得出，由此可知当取最大值时，取得最小值，再根据点在上的位置求出的最大值，进而计算的最小值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， 又∵， ∴， ∴，即． ∵点在上运动， ∴当点与点重合时，取得最大值． 在中，， ∴当时，取得最小值，． 8．在中，按如图所示的方式摆放一副三角板，若，则__________． 【答案】 【分析】延长交于， 由平行四边形及平行线的性质可得，结合对顶角的性质及三角形外角的性质可求解的度数，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交于， 在中，， ， ，， ， ． 三、解答题 9．在矩形中，点是上一点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）在矩形中，，，则．根据，得出，根据即可证明； （2）勾股定理求出，根据四边形是矩形，得出，再结合即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ． ， ． 在和中， ， ； （2）解：，， ， ∵四边形是矩形， ， ． 10．小明同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①___________ ， ②___________ ， ③___________ 四边形是平行四边形． ④___________． 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的步骤以及作线段的步骤作图即可； （2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：四边形是菱形， ，． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形． 11．如图，在中，点在边上，且，点在上，且． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，结合已知条件和邻补角的定义，即可证明； （2）根据平行四边形的性质可知，即可根据“”证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 12．根据题目要求，解答下列各题 (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______； (2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． (3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）延长至点，使得，容易证明，则，，进而可证明，因此； （2）过点作的垂线，交于点，交于点，容易证明，．此时，符合（1）中的模型，因此，设，则，，在直角中，利用勾股定理构造方程解出的值，再利用勾股定理求出； （3）过点作的垂线，交于点，利用正方形的性质可得，结合同角的余角相等可得，，从而证明，则，．利用勾股定理可得，结合，计算出比值． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，此时， 设， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴，， 在直角中，； （3）解：如图，过点作的垂线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴，即． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 四边形 知识点1：多边形的概念与性质 1.定义：平面内由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次相接组成的封闭图形，按边数分为三角形、四边形、五边形等。 2.内角和公式：n边形内角和为（，n为整数）。 3.外角和性质：任意多边形的外角和恒为，与边数无关。 4.对角线：从n边形一个顶点出发可引条对角线，总对角线条数为。 5.正多边形：各边相等、各内角相等，每个内角为，每个外角为。 知识点2：平行四边形的性质与判定 性质 1.边：对边平行且相等（，，，）。 2.角：对角相等，邻角互补（，，）。 3.对角线：互相平分（，）。 4.对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点。 判定 判定类型 具体条件 符号语言 边判定 两组对边分别平行 ，，四边形是平行四边形 边判定 一组对边平行且相等 且，四边形是平行四边形 边判定 两组对边分别相等 ，，四边形是平行四边形 角判定 两组对角分别相等 ，，四边形是平行四边形 对角线判定 对角线互相平分 ，，四边形是平行四边形 知识点3：特殊平行四边形的性质与判定 图形 核心性质 判定条件 矩形（有一个角是直角的平行四边形） 1.对边平行且相等； 2.四个角都是直角； 3.对角线相等且互相平分； 4.既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴） 1.有一个角是直角的平行四边形； 2.三个角是直角的四边形； 3.对角线相等的平行四边形 菱形（有一组邻边相等的平行四边形） 1.对边平行，四条边都相等； 2.对角相等，邻角互补； 3.对角线垂直且互相平分，平分一组对角； 4.既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴） 1.有一组邻边相等的平行四边形； 2.四条边相等的四边形； 3.对角线互相垂直的平行四边形 正方形（有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形） 1.对边平行，四条边都相等； 2.四个角都是直角； 3.对角线相等、垂直且互相平分，平分一组对角； 4.既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴） 1.有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形； 2.有一组邻边相等的矩形； 3.有一个角是直角的菱形； 4.对角线相等且垂直的平行四边形 知识点4：三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段。 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（若、分别为、中点，则，）。 3.推论：三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形，中位线组成的三角形周长为原三角形周长的一半。 知识点5：中点四边形 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 2.形状规律（表格呈现）： 原四边形条件 中点四边形形状 任意四边形 平行四边形 对角线相等（如矩形、等腰梯形） 菱形 对角线互相垂直（如菱形） 矩形 对角线相等且互相垂直（如正方形） 正方形 知识点6：特殊平行四边形的面积公式 图形 面积公式 补充说明 平行四边形 底为任意一边，高为该边对应的垂线段长度 矩形 或 对角线相等，面积也可通过对角线乘积的一半计算 菱形 或 对角线互相垂直，面积必为对角线乘积的一半 正方形 或 对角线相等且垂直，两公式可相互推导 【基础必考题型】 【题型1】多边形的内角和与外角和计算 1.核心知识点: 多边形内角和公式、外角和性质 正多边形的内角与外角关系 2.解题方法技巧: 直接套用公式：已知边数求内角和用，求正多边形内角用，外角直接用。 逆向求解：已知内角和求边数，变形为；已知正多边形一个内角求边数，先求外角（内角），再用外角得边数。 跨情境转化：将建筑构件（如正六边形地砖）、机械零件等实际图形抽象为正多边形，提取边数信息后计算。 【例题1】.（2026·陕西西安·三模）如图，正六边形和正五边形，连接，则的度数为______. 【变式题1-1】.（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【变式题1-2】.（2026·陕西·一模）如图，在正六边形中，连接，则的度数为__________． 【变式题1-3】.（2026·甘肃白银·一模）从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是（       ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 【题型2】平行四边形的性质基础应用 1.核心知识点: 平行四边形的边、角、对角线性质 平行线的性质 2.解题方法技巧: 性质定位法：求边长用“对边相等”，求角用“对角相等”或“邻角互补”，求对角线关系用“互相平分”。 方程思想：遇未知量时，设未知数，利用周长公式（）或角度关系列方程。 生活建模：将伸缩门、停车位、防护网等生活中的平行四边形物体转化为几何图形，忽略无关细节，聚焦核心性质计算。 【例题2】.（25-26八年级下·天津宁河·月考）如图，中，，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)求的长． (2)与有什么位置关系，并证明你的结论． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图，已知在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（   ） A．18 B．30 C．32 D．36 【变式题2-2】.（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 【变式题2-3】.（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知． (1)求的度数． (2)若，，求的长度． 【题型3】特殊平行四边形的定义辨析 1.核心知识点: 矩形、菱形、正方形的定义 特殊平行四边形的本质特征 2.解题方法技巧: 定义溯源法：抓住每种图形的“本质条件”（矩形→直角，菱形→邻边相等，正方形→直角+邻边相等），逐一验证选项。 排除法：对选项逐一分析，不符合定义中任一条件则排除，如“对角线垂直的平行四边形”排除矩形选项。 文化情境关联：结合古典园林花窗、传统织锦纹样等情境，先识别图形类型，再根据定义判断属性。 【例题3】.（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【变式题3-2】.（25-26九年级上·四川成都·期中）下列命题是真命题的是（　　） A．四条边都相等的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形 D．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 【变式题3-3】.（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【题型4】三角形中位线的基础计算与证明 1.核心知识点: 三角形中位线的定义 三角形中位线定理 2.解题方法技巧: 中点识别：先确定三角形的两边中点，明确中位线对应的第三边。 定理直接应用：求长度用“中位线=第三边的一半”，证平行用“中位线平行于第三边”。 辅助线构造：遇中点但无中位线时，连接中点构造中位线，转化线段关系。 【例题4】.（25-26九年级下·江苏扬州·月考）如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，则的长为_____． 【变式题4-1】.（2026九年级下·云南昆明·学业考试）如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，则的长度为______． 【变式题4-2】.（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题4-3】.（25-26九年级下·云南临沧·月考）如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【题型5】平行四边形的判定 1.核心知识点: 平行四边形的判定方法 尺规作图的基本操作 2.解题方法技巧: 判定方法选择：已知边的关系选“边类判定”（平行且相等、两组相等），已知对角线关系选“对角线互相平分”。 作图验证：按判定方法作图（如作一组平行且相等的线段），保留痕迹，再通过性质反向验证。 分步证明：先证明满足判定条件，再明确结论“该四边形为平行四边形”。 【例题5】.（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的，，，，点D是边上的中点． (1)请用尺规作图作出绕点D旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质； (2)在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，，分别是，上的点，．求证：． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·江苏南通·月考）如图1、图2、图3均是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图．只保留作图痕迹，不要求写出画法， (1)在图1找到一个格点，连接，，使四边形为平行四边形： (2)在图2中，在边上确定一点，使得； (3)在图3中，在边上确定一点，在边上确定一点，连接，使垂直平分． 【培优高频题型】 【题型6】特殊平行四边形的折叠问题 1.核心知识点: 矩形、菱形、正方形的性质 折叠的性质（对应边相等、对应角相等） 勾股定理 2.解题方法技巧: 折叠转化：将折叠后的对应边、角转化为原图形中的边、角，建立等量关系（如矩形折叠后，折痕两侧的线段相等）。 直角三角形构造：利用特殊平行四边形的直角，结合折叠形成Rt△，设未知数后用勾股定理列方程（如菱形折叠后，边长、折痕、对角线片段构成Rt△）。 多性质联用：综合运用“对角线相等”“四边相等”“垂直平分”等性质，逐步推导所求量。 【例题6】.（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，在长方形中，，，连接，将沿折叠，点落在点处，与交于点，则的面积为____________________ ． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·浙江舟山·月考）如图，正方形的边长为2，点是上一动点，将沿翻折，点落到点，连接，，当取得最大值时，的长为_____． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【变式题6-3】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． 【题型7】中点四边形的探究 1.核心知识点: 中点四边形的形状规律 三角形中位线定理 原四边形对角线的性质 2.解题方法技巧: 对角线分析：先判断原四边形对角线的关系（相等、垂直、相等且垂直），再对应中点四边形形状。 定理推导：利用三角形中位线定理，证明中点四边形的对边平行且等于原四边形对角线的一半，进而判断形状。 变式探究：改变原四边形的类型（如平行四边形→梯形），或对角线关系，探究中点四边形的变化规律。 【例题7】.（2026八年级下·全国·专题练习）在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（    ）． A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【变式题7-1】.（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 【变式题7-2】.（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·甘肃武威·期末）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 【题型8】菱形的面积计算 1.核心知识点: 菱形的面积公式（底×高、对角线乘积的一半） 勾股定理 菱形的性质 2.解题方法技巧: 公式选择：已知底和高用“底×高”，已知对角线用“”，无直接条件时先求所需量。 对角线求解：已知边长和一角，用勾股定理求对角线。 面积转化：将菱形分割为两个全等的三角形或四个直角三角形，通过三角形面积求和验证。 【例题8】.（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【变式题8-1】.（2026·云南·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点在的延长线上，的长为的一半， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【变式题8-2】.（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，点D，E分别是的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为8，求四边形的周长． 【压轴素养题型】 【题型9】直角三角形斜边中线性质的应用（素养提升题） 1.核心知识点: 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 矩形的性质（对角线相等且互相平分） 2.解题方法技巧: 中线识别：在直角三角形中，若出现斜边中点，立即联想到斜边中线性质。 转化思想：将斜边中线转化为与斜边相关的线段，建立等量关系（如矩形对角线交点为斜边中点，中线等于对角线的一半）。 综合应用：结合矩形的判定，利用斜边中线性质证明四边形为矩形（如“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”）。 【例题9】.（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接．求证：． 【变式题9-1】.（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线MN交AC于点，交AB于点，连接CD． (1)请根据题中的描述和图中的作图痕迹直接写出直线与的关系； (2)若，求的长． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【变式题9-3】.（2026九年级下·吉林·专题练习）如图，中，，点、分别为边、的中点，点从点出发，沿向终点运动． (1)_____，_____； (2)当是等腰三角形时，求线段的长度； (3)设点关于直线的对称点为． ①当点在的边上时，求线段长度． ②作射线，当射线平分的面积时，直接写出此时线段的长度． 【题型10】正方形的模型应用（“十字架”“半角”模型） 1.核心知识点: 正方形的性质 全等三角形的判定 旋转的性质 2.解题方法技巧: “十字架”模型：正方形内垂直的两条线段相等（如，则），通过构造全等三角形证明。 “半角”模型：正方形内，则，通过旋转至，证明。 模型迁移：将模型结论应用于复杂图形，快速建立线段关系，简化计算。 【例题10】.（25-26九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·全国·月考）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 易错点 1.混淆多边形内角和与外角和，误将内角和公式用于外角和计算，或忽略正多边形外角和恒为。 2.特殊平行四边形的判定条件遗漏，如误将“对角线相等的四边形”当作矩形，忽略“平行四边形”的前提；误将“对角线垂直的四边形”当作菱形。 3.三角形中位线定理应用错误，将“连接三角形一边中点与另一边任意点的线段”当作中位线。 4.折叠问题中，未正确识别对应边、对应角，导致等量关系建立错误。 5.计算菱形、正方形面积时，混淆对角线乘积的一半与底×高的公式，或遗漏对角线垂直的前提。 6.存在性问题中，未分类讨论所有可能情况，导致漏解（如等腰三角形腰长的不同情况）。 重点 1.掌握多边形内角和公式与外角和性质，能熟练计算正多边形的内角、外角及边数。 2.熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定方法，能灵活选择判定方法证明图形类型。 3.理解三角形中位线定理，能运用定理进行线段平行和长度的证明与计算。 4.掌握特殊平行四边形的面积公式，能结合勾股定理解决与对角线相关的计算问题。 5.能解决四边形与折叠、旋转、动点相关的综合问题，运用方程思想、分类讨论思想分析。 6.掌握中点四边形的形状规律，能根据原四边形对角线的关系判断中点四边形的形状。 难点 1.特殊平行四边形的综合证明与计算，尤其是结合折叠、旋转、动点的复杂情境，需多性质、多定理联用。 2.四边形中的最值问题，需分析动点轨迹，结合轴对称、垂线段最短等知识确定最值位置。 3.存在性问题的求解，需假设存在并建立方程，分类讨论不同情况，验证解的合理性。 4.跨学科与实际情境题的建模，需将实际问题抽象为几何图形，提取关键条件，转化为数学问题求解。 5.四边形的剪拼与作图，需熟练掌握尺规作图方法，结合图形变换规律，确保作图准确且符合要求。 【对应练习题】 一、单选题 1．一个正二十四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（   ）． A． B． C． D． 4．小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 6．如图，在正方形中，，点在上，连接，经过点、作的垂线，垂足分别为点，，若，则的面积为_____． 7．如图，在矩形中，，点是边上一个动点，连接，过点作于点，则的最小值为______． 8．在中，按如图所示的方式摆放一副三角板，若，则__________． 三、解答题 9．在矩形中，点是上一点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．小明同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①___________ ， ②___________ ， ③___________ 四边形是平行四边形． ④___________． 四边形是矩形． 11．如图，在中，点在边上，且，点在上，且． (1)求证：． (2)求证：． 12．根据题目要求，解答下列各题 (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______； (2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． (3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $