广东深圳外国语学校2026届高三年级第七次阶段性考试数学试题

深圳外国语学校2026届高三年级第七次阶段性考试 数学试题 一、单选题 1.已知集合A={x∈N0<x<3},则集合A的子集个数为() A.2 B.3 C.4 D.8 2.设a,6为单位向量，且la-=2,则la+=() A.1 B.√2 C.5 D.2 3.“点M的丝标为r+平0ke2)”是点M为函数f)-3m-耳到图象的对称中心的(） π A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.已知数列{a}中，4=2，a=18,且 为等比数列，则a=() n A.50 B.90 C.162 D.242 5.由数字1,2,2,4，可以组成多少个不同的四位数（) A.24 B.12 C.10 D.6 6.已知nsin(@+B)=,tama=3tanB,则sin(a-P)的值为() 2 A.一3 c.- 0:6 1 B. 3 6 7.己知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0与直线：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0相交于A,B两点，当 ∠ACB最小时，m的值为（) B. 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>0,且3f(x+y)=f(x)fy),fI)=9,则f(x)+f(2-x)的 最小值为() A.9 B.12 C.16 D.18 试卷第1页，共4页 二、多选题 9.己知虚部不为0的复数1，二2互为共轭复数，则() A.+5是实数B.-22是纯虚数C.=三2 D.= 10.如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆O半径为√3，CD,EF是底面的两条直径，母线 PC,PD与该圆锥内切球O分别切于点A,B.则下列说法正确的是() -4 A.了a￥ 9 B B.圆锥与球O的交线的轨迹长为兀 C若∠QCB-军则m∠ca-5 4 D.平面4ABF截球O的截面面积的最小值为红 11.设S,是数列a}的前项和，若nN,不等式g<S恒成立，则称数列a,}为均增数列， nn+l 则下列说法正确的有() A.若4。=21-1，则数列{an}是“均增数列 B.若等差数列{a}是均增数列’，则公差d>0 C.若{an}是“均增数列’，则an<a D.若an=-21,则存在负数9，使得数列{a}是“均增数列 三、填空题 12.已知f(x)= oRx之且fa=3,则f0-a的值为 13.椭圆+31a≥b>0)的离心率为e,双曲线x 云方=1渐近线的斜率绝对值小于5，则e的 取值范围为 14.已知集合M={红，2,3，，(n∈N),从集合M中随机抽取一个数记为X,再从X,X+1,,n中 随机抽取一个数记为Y,则E()= 试卷第2页，共4页 四、解答题-应用题 15。某工厂生产某款产品，根据质量指标值Q对产品进行等0品作数 60 60 级划分，Q小于60的产品视为不合格品，Q不小于60的产 50 40 40 品视为合格品，其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为 30 20 20 了提升产品质量，对设备进行升级.为考察设备升级后产品的10 10 0 质量，质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽 Q-4060≤Q<90 Q≥90质量指标值 样，得到样本数据，制作如右频数表： ☐升级前☐升级后 (1)根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值=0.1的独立性检验，分析产品合格与设备 升级是否有关联 不合格品件数 合格品件数 合计 升级前 升级后 合计 (2)以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率，质检部门为检查设备升级后 是否正常运转，每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测. (i)记X表示抽取的10件产品中的优质品件数，求P(X≤1)（精确到0.001）： (ⅱ)质检部门规定：若抽检的10件产品中，至少出现2件优质品，则认为设备正常运转，否则需 对设备进行检修.请根据P(X≤1)的值解释上述规定的合理性， 附：x2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.05 0.01 Xa 2.706 3.841 6.635 参考数据：0.6≈0.0168,0.6≈0.0101,0.60≈0.0060 试卷第3页，共4页 16.如图，已知直线l∥1，A是1,4之间的定点，过A分别作l,,的垂线，垂足分别为B,C, 点D,E为l,12上的动点，满足∠DAE=60°.设∠AEC=,|AB=1,|AC=2. (1)当C=30°时，求|DE的长度： (2)求△ADE面积的最小值. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA⊥PC,PD=AD=2. (1)证明：BD⊥平面PAC: (2)若PA<PC,四棱锥P-ABCD的体积为1，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. B D 18.设抛物线C:y2=4x,Q是直线m:x+y+2=0上的动点，QS,QT是抛物线C的两条切线，且与 抛物线C分别相切于S,T两点. (1)设P是抛物线C上任意一点，求P9最小值： (2)记ST的中点是M,求M的轨迹方程； (3)记抛物线C的焦点是F,记∠QFS=,∠QFT=B,证明：cos(a-B)=1. 19.已知函数f(x)=e(a∈R). (1)若函数f(x)过原点(0，O)的切线为y=ex,求实数a的值； (2)若函数f(x)的图象与⊙O:x2+y2=2(r>0)相交于两个不同点A,B,记直线AB的斜率为k. (i)当r=√2时，求实数a取值范围： ()当=号时，证明：太<5 3 试卷第4页，共4页 深圳外国语学校2026届高三年级第七次阶段性考试-数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 C B B B B D A D ABD ACD ABD 1.C 【详解】因为A={x∈N0<x<3}=红，2}，所以集合A的子集个数为22=4. 2.B 【详解】因为ā，b为单位向量，所以d==1,因为a-=2,平方得d+|-2a.6=2,即a6=0, 所以a+=l+5+2a.6=2,即la+=2 故选：B. 3.B 【鲜解】由普-经银得=经+子所以)5：》的对除1个为停-手0，kcZ面 能么=号草e公， 所以点u的坐标为kx+牙0e2)是点M为函数f=3am（x晋到) 图象的对称中心”的充分不 必要条件。 4.B 【详解】设4公比9,4=2，及=2，g=6,得g2=3,所以g=9g2=18,4=90.故选：B, 1 3 53 5.B 【详解】4个数字的全排列数为A:=24.因为有2个相同的数字2，所以需除以重复数字的排列数，故 数字1,2,2,4，可以组成不同的四位数的个数： 24=12 2 6.D 【i详解】因为sin(a+P)=sin+sio=} 31 且tana= sina=3tanB=3sin -,sina cos B=3sin B cosa, cos a cos B 可解得sin&cosB二sin p cosa2二1 12 所以sim(a-P)=sin-Bcoa-L故选：D 6 答案第1页，共12页 7.A 【分析】由方程确定直线I过定点M(3,1),圆C的圆心为(1,2)，半径为5.过圆心C作CH⊥1交直线1于 点H,分析可知，当H,M重合时，CH取得最大值，此时∠ACH取得最大值，从而∠ACB取得最大值 由斜率公式及两垂直直线斜率乘积为-1可得m的值 【详解】(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得m(2x+y-7)+(x+y-4)=0, 2x+y-7=0 x+y-4=0,解得 =1所以直线1过定点M3,1) x=3 由x2+y2-2x-4y-20=0,得(x-1)2+(y-2)=25 所以圆心C的坐标为(1,2)，圆C的半径为5. 过圆心C作CH⊥I交直线I于点H,因为CA=CB,所以∠ACB=2∠ACH 所以当∠ACB最小时，∠ACH也最小 .cos∠ACH= AC=5,且y=cosx在 0, 上单调递减， 所以当∠ACH最小时，CH最大 显然CH≤CM,当CM⊥l,即H,M重合时，lCH取得最大值. 此时，直线CM的斜率为kw=3-一2 1-2_1 所以直线1的斜率为k=2=- 2m+1 解得m=-3 故选：A 8.D 【分析】令x=y=1得f(2)=27,再令y=2-x得f(x)f(2-x)=81,最后利用基本不等式即可得答案 【详解】令x=y=1,则3f(2)=f)f①)，所以f(2)=27 令y=2-x,则f(x)f(2-x)=3f(2)=81, 因为函数f(x)的定义域为R,f(x)>0, 所以f(x)+f(2-x)≥2Vf(x)f(2-x)=18,当且仅当f(x)=f(2-)=9时，即x=1时，等号成立.所以 f(x)+(2-x)的最小值为18 故选：D 答案第2页，共12页 9.ABD 【分析】根据共轭复数的定义，设=a+bi,z2=a-bi(a,b∈R,且b≠0)，然后根据复数的运算，逐 个选项判断即可 【详解】由题设1=a+bi,z2=a-bi(a,b∈R,且b≠0)， 则z+22=2a∈R,3-2=2bi,故A,B正确；又=2-b2+2bi,52=a2+b2,C选项错误；又 =V:+b=,,D选项正确。 故选：ABD 10.ACD 【分析】根据圆锥轴截面是正三角形且底面半径为√5，可以计算圆锥的高、母线长，再利用轴截面的 几何关系求内切球半径，进而可计算球和圆锥的体积比，可以判断选项A:先确定圆锥与球的交线是 一个圆，通过分析球心到圆锥轴截面的距离、球半径，求出交线圆的半径，再计算其周长，可以判断 选项B:根据题意可得∠PCO,∠PCE,∠OCE,再结合三余弦定理，可以判断选项C:当球心到平面AEF 的距离最大时截面圆半径最小，进而得到最小面积，可以判断选项D 【详解】对于A,画出圆锥的轴截面如图(1)所示.连接PO,则PO必过球心O, 因为轴截面为正三角形且底面圆半径为√5， 所以P0=3,00=1, 所以，a4o,ix子3 3 热A正确1 图(1) 对于B,如图（2)，易知，圆锥与球O的交线的轨迹为⊙O2, 因为AO,⊥PO,所以在Rt△PAO中， 可得PAQ1=P0A0,求得半径A0,= 2 故轨迹长为√3π，B错误； D 对于C,根据三余弦定理可知， E cos∠PCB=cos∠PCO0∠OCB=lx5-2 图(2) 224 答案第3页，共12页 故C正确： 对于D,当EF绕着O旋转时，平面AEF恒过定直线AO,若要使得平面AEF截 球O的截面面积最小，只需球心O到平面AEF的距离达到最大， 如图(3)过O作直线AO,的垂线，垂足为H,O到平面AEF的最大距离为OH, F 又因为在△0A0中，0A=00,=L40,=V3,0H=所以截面半径的最小值为 图(3) ,所以平面P被球0的酸面面积的最小值为”，放D正 11.ABD 【分析】利用等差数列求和，即可判断A和B,利用等比数列求和，结合二项式定理证明不等式，即 可判断C和D. 【详解】由a=21-1,可得8=+2n-)m心， 2 则由S_心=，显然有鸟<S,数列a}是均增数列，故A正确： nn nn+1 由等差数列a,}是均增数列，且3=m+n0n-以， 2 划白号当可得：4+”分<a+分→d0,故B正商： nn+1 21- 1 （(-4)° 当a.=-2g，取g=-4时， S 期经只要04 则只需要证明1-”+1、 当”为收。不得式l学-)玉终皮在， 当为偶数，要证明4>4 n+1, 答案第4页，共12页 因为4=(1+3)”=1+C3+…+Cm3≥1+3n,对任意∀neN都成立， 所以4≥3n+1>+1,即4>3n+1对任意n为偶数也成立， 5 4 4 即原不等式SsS山对任意meY都成立， n n+1 所以存在负数g=子使得数列和是均媚数列，放D正确：由于Q- 是“均增数列’， 42>4,不满足4，<a1,故C错误： 故选：ABD 12.-2 【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论a≤1和a>l两种情况确定实数a的值即可. 【详解】fx)= 1og,x+1x1且fa=3,当as1时，2-2=3，a=1+hn5>1,矛后合 [2-1-2,x≤1 去：当a>1时，1og,(a+)小=3，解得a=7.fa-7)=f0)=21-2=- 3 。故答案为 21 √6 13 0, 3 b 【分析】因为双曲线渐近线斜率小于5，据此得到关于a、b的不等式关系，将离心率转化为关于 a 的表达式，即可求出e的取值范围。 【详解】对打双暗线器云1，浙近线方为y=+号，由恩意得号5，即<坊。 椭圆中满足b2=ad2-c2(c为椭圆半焦距)，代入a2<3b2得a2<3(a2-c2) 整理得 父<2x.丙边同除以3n钓号号即。子解得5。 3 3 所以e的取值范围为 3n+1 14. 4 【分析】Y可能的取值为1,2，，，根据条件概率和全概率公式可求Y取相应值时概率，再根据期望公 式即可求期望 【详解】Y可能的取值为1,2，，n,由全概率公式有： 答案第5页，共12页 Pg=刘-空pr=-月2女n》 n行+小女+哈点+》 -22*"2"”0 (3n+1)n3n+1 n-1 1n2+2 2nx2-4 15.(1)列联表见解析，可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过0.1 (2)(i)P(X≤1)≈0.046；(i)理由见解析 【分析】(1)先计算出的值，根据独立性检验的思想对照临界值得结论： (2)(i)根据二项分布的有关计算公式，求出P(X≤1)的概率：(i)优质品件数少于2个的概率只有0.046， 据此可得结论， 【详解】(1)依题意可得列联表为： 不合格品件数 合格品件数 合计 升级前 20 80 100 升级后 10 90 100 合计 30 170 200 零假设H。：产品合格与设备升级没有关联， 由列联表可计算2-20080x10-90x20y ≈3.922>2.706， 170×30x100x100 依据小概率=0.1的独立性检验，我们可以推断H。不成立， 因此可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过01. (2)(i)根据题意，设备升级后的优质品率为0.4， 可以认为从生产线中抽出的10件产品是否为优质品是相互独立的，则X~B10,0.4), P(X≤1)=C×0.6°+C。×0.4×0.6=0.6°+4×0.6≈0.006+4×0.0101≈0.046， 所以P(X≤1)≈0.046： (ii)如果设备正常运转，一天内抽取的10件产品中，优质品件数少于2个的概率只有0.046，发生的 概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修，可见上述规定 是合理的. 答案第6页，共12页