2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册期中学情检测卷（考试范围第23～24章：四边形、平面直角坐标系）

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版（五四制）八年级下册考试范围第23~24章：四边形、平面直角坐标系。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求) 1．在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，结合各选项条件，利用平行线性质、全等三角形判定与性质、平行四边形判定定理，判断能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：∵， ∴ A、若，四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，符合题意， C、由本身即可推出，无法额外判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、无法推出或，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：B． 2．下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，轴对称图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形和正方形的性质、轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：由于正方形和等腰直角三角形都是轴对称图形， 所以图形①④可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其他的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； ∴轴对称图形的个数是个 故选：B． 3．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中原点变换后的坐标规律，先确定点相对于点的位置，再根据相对位置关系求出以为原点时点的坐标即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为， 故选：B． 5．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理的应用； 根据题意，海岛B位于海岛A南偏东30°方向30海里处，轮船C和D均在海岛B的正北方向．轮船D与海岛B相距40海里，因此位置唯一确定；轮船C与海岛A相距20海里，且在B的正北方向，求出，可知满足条件的点有两个，因此位置不能唯一确定． 【详解】解：如图，海岛A为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向．海岛B在南偏东30°方向30海里处， ∴B点坐标：，． ∵轮船D在海岛B正北方向且距B40海里， ∴D点坐标唯一：． ∵轮船C在海岛B正北方向且距A20海里，设C点坐标为，则， ∴ ∴C点有两个可能的位置，位置不能唯一确定， 故选：C． 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 第二部分（非选择题 共88分） 二、填空题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 7．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 8．在平行四边形中，，则________． 【答案】/120度 【分析】根据平行四边形的性质，得，继而得到，解答即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 9．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长是______． 【答案】3 【分析】由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而可求出∠ADE的度数，又由，即可求得的长． 【详解】解∶∵四边形是矩形， ∴， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即是等边三角形． ∴． ∴． ∴． 10．如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出也在一条直线上是解题关键． 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出，进而得出也在一条直线上，求出的长即可得出点坐标． 【详解】解：连接， 由题意可得：，则， 在和中 ， ， ， ∵在一条直线上， ∴也在一条直线上， ∴，则， ∴点坐标为：． 故答案为：． 11．若点在轴上，点在轴上，则点在第________象限． 【答案】四 【分析】根据点在轴上，点在轴上，求出、的值，再根据、的值求出点的坐标，根据坐标的特点判断点所在的象限． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， 点在轴上， ， ， ，， 点的坐标为， 点在第四象限． 12．若点与点关于点对称，则_______ ． 【答案】36 【分析】利用中点坐标公式求出a、b的值，再计算的乘积即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴点是线段的中点． ∴，， ∴， ∴． 【点睛】若两点关于某点对称，则该点为这两点的中点，掌握两点坐标为和，则中点坐标是解题的关键． 13．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，求出，，根据三角形的内角和，求出，再根据，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】由，可得，，结合、分别是、的中点，可得，进一步可得答案． 【详解】解：连接．    ∵的面积为24，， ∴，， 、分别是、的中点， ，，， ． 15．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，菱形的判定，菱形的面积等知识点，熟练掌握及运用勾股定理是做题的关键．先求得四个全等的直角三角形的斜边长为，即可得出图1中的的长度；设两条直角边分别为，，利用图3的外轮廓周长为，求得，再判定图1中的四边形为菱形，根据面积公式，列式计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， （已舍去负值）， 即图1中的的长度为； 如图， 由题意可知，，设，， 则， 在中，， 即， 由题意得，， ， ， ， 即， ， ． 将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形， ， 四边形为菱形． 由题意和图可知，，， ． 故答案为：；． 16．如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 17．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的倍，则它们第次相遇在边________上． 【答案】 【分析】先根据甲、乙的运动速度和运动方向分别得出第、、、、次相遇位置，再归纳类推出一般规律，由此即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，因为甲的速度是乙的速度的倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； 归纳推理得：它们相遇位置每四次一循环， ， 它们第次相遇位置与第一次相遇位置相同，即在边相遇． 18．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则点的坐标为________________． 【答案】 【分析】根据图中信息以及点的分布情况，得每一象限一类，周期为4，则点在第四象限，再结合点，，，且这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数，所以的横坐标为，纵坐标为，即可作答． 【详解】解：根据点的特征，把这些点分为4类，每一象限一类，周期为4， 则， 点在第四象限． 点，，，且这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 三、解答题(本大题共有6题，第19~21题每题6分，第22~24题每题8分，第25题10分，满分52分) 19．如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ， 即． 又， ∴四边形为平行四边形． 20．如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出向左平移3个单位后的； (2)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的； (3)写出、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)、的坐标分别为、 【分析】（1）根据平移变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （3）根据已作的图形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：由作图可得，、的坐标分别为、． 21．如图，在平面直角坐标系中，，连接． (1)过点作交轴于点，平分平分，求的度数； (2)在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（） 【分析】（1）过作，依据平行公理的推理可得到，依据平行线的性质可知，，，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （2）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解：过作，如图所示： 分别平分， ， 由题知： ． （2）或． ①当在轴正半轴上时，如图所示： 设，过作轴，轴，轴， ， 解得：； ②当在轴负半轴上时，如图所示： 设，过作轴，轴，轴， ， ， 解得：； 或． 22．如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． (1)连接，，求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，则，又因为点是对角线的中点，故，再证明，则，证明四边形为平行四边形，结合，得出平行四边形为菱形． （2）由（1）得平行四边形为菱形．在中，设，则，根据线段的和关系得，进而求出，根据菱形的四边相等求出菱形的周长，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ， 点是对角线的中点， ， 在与中， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． （2）解：由（1）得平行四边形为菱形． ∴， ， ，， 中，设， 则， ，， 得， ∴， 菱形的周长为． 23．（本题8分）我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求∠C，∠D的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论． ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”． 你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)已知：在“等对角四边形”中，，．求对角线的长． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②不正确，反例见解析 (3)或 【分析】（1）根据定义和四边形内角和定理求解即可． （2）①连接，根据定义以及等腰三角形的判定和性质求证即可． ②当相等角的两边相等时，结论不正确． （3）分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵等对角四边形中，， ∴． ∵， ∴．............................................................................1分 （2）①如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴．............................................................................................................................................................3分 ②不正确，反例如图，，但．...................................................................4分 （3）①如图，当时，延长交于点， ∵， ∴，, ∴， ∵， ∴． ∴．.....................................................................................................5分 ②如图，当时，过点作于点，于点F， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， 综上，的长为或 24．综合与实践 【主题】黄金矩形 【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是，两组对边平行且相等． 素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。 【操作步骤】 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【问题解决】设． (1)求证：矩形是黄金矩形． (2)求证：矩形MNDE也是黄金矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，二次根式的混合运算，理解黄金矩形定义，灵活运用所学知识解决问题是解答的关键． （1）根据正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理得到、，再根据黄金矩形的定义即可证得结论； （2）由（1）可求得，再根据黄金矩形的定义即可得出结论. 【详解】（1）证明：根据题意可得，，， ∴， 根据勾股定理可得， ∴ ∴ ∴ ∴矩形是黄金矩形． （2）证明：由（1）知，，， ∴， ∴， 故矩形是黄金矩形． 25．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 试卷第14页，共27页 试卷第15页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版（五四制）八年级下册考试范围第23~24章：四边形、平面直角坐标系。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求) 1．在四边形中，已知，与交于点，则添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，轴对称图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 4．在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 第二部分（非选择题 共88分） 二、填空题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 7．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 8．在平行四边形中，，则________． 9．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长是______． 10．如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是__________． 11．若点在轴上，点在轴上，则点在第________象限． 12．若点与点关于点对称，则_______ ． 13．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 14．如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________． 15．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 16．如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 17．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的倍，则它们第次相遇在边________上． 18．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则点的坐标为________________． 三、解答题(本大题共有6题，第19~21题每题6分，第22~24题每题8分，第25题10分，满分52分) 19．如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 20．如图所示的直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出向左平移3个单位后的； (2)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的； (3)写出、的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，，连接． (1)过点作交轴于点，平分平分，求的度数； (2)在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在矩形中，过矩形的对角线中点作，分别交，于，点． (1)连接，，求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的周长． 23．（本题8分）我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求∠C，∠D的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论． ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”． 你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)已知：在“等对角四边形”中，，．求对角线的长． 24．综合与实践 【主题】黄金矩形 【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是，两组对边平行且相等． 素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。 【操作步骤】 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【问题解决】设． (1)求证：矩形是黄金矩形． (2)求证：矩形MNDE也是黄金矩形． 25．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $