21.6正方形同步练习 2025-2026学年人教版八年级下册数学

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.6 正方形 知识点1 矩形的性质和判定 1．正方形的定义： （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质 （1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直且平分，对角线平分对角； （5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）正方形是轴对称图形，也是中心对称图形． （7）面积=边长×边长＝； 3．正方形的判定 （1）根据正方形的定义； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 4．矩形的特殊性质与判定的关系 矩形的特殊性质 矩形的判定 矩形的四个角是直角 三个角是直角的四边形是矩形 矩形的对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形 5．矩形的性质应用策略 （1）矩形的折叠问题常与勾股定理联系起来构建方程； （2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 6．判定矩形的常见思路 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．：中心对称 B．：对边相等 C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分 2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．顺次连接正方形各边的中点所组成的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，延长到点E，使，以正方形的对角线为一边，以为另一边作菱形．若菱形的面积为，则正方形的边长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．12 7．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 8．如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（  ） A．矩形菱形矩形 B．矩形正方形矩形 C．平行四边形菱形平行四边形 D．平行四边形正方形平行四边形 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为______． 10．如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是________． 11．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，若，设正方形的边长为，则_____________． 12．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求的长． 14．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 15．如图1，已知在中，平分，交于点E，过点E作，交于点F，O是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示： ①求证：； ②若，求的长． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 7．如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是的中点，连接，若，设与交于点N，与交于点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 8．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 10．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 11．如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________． 12．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在平面直角坐标系中，是原点，正方形的顶点A在轴的正半轴上，顶点B在轴的正半轴上，顶点C的坐标为，，分别为的中点， (1)求点A的坐标； (2)求线段的长． 14．两个长为，宽为的长方形，摆放在直线上（如图①所示），，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度． (1)当旋转到顶点，重合时，连接（如图②所示），求点到的距离． (2)当时（如图③所示），求证：四边形是正方形． 15．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长 （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列命题中正确的是 （    ） A．四角相等且两边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线和一边的夹角是的菱形是正方形 2．如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 4．如图，正方形和正方形中，点D在上，，C到直线的距离是（    ） A． B． C． D．2 5．如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（   ） A．15 B．16 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 7．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（   ） A． B． C．2cm D． 8．如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，连接，则的长度是（   ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则______． 10．小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线cm，则图1中对角线的长为___________． 11．如图，在等腰中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则_______． 12．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴和x轴上，顶点的坐标满足． (1)求证：四边形为正方形； (2)若点E为线段边上的动点，连接，过E点作，且，连接的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接，当时，直接写出的长． 15．【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.4 矩形 知识点1 矩形的性质和判定 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角． 2．矩形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角；如图，； （3）对角线互相平分且相等；如图，， （4）矩形是轴对称图形，也是中心对称图形． （5）矩形的面积：S矩形-=长×宽 3．矩形的判定 判定方法 文字表述 图形表述 符号表述 判定方法一 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵=90，，∴矩形 判定方法二 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵== =90，∴矩形. 判定方法三 对角线相等的平行四边形的四边形是矩形 ∵=，∴矩形 4．矩形的特殊性质和判定的联系 矩形的特殊性质 矩形的判定 矩形的四个角是直角 三个角是直角的四边形是矩形 矩形的对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形 5．矩形的性质应用策略 （1）矩形的折叠问题常与勾股定理联系起来构建方程； （2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 6．判定矩形的常见思路 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 定义：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，； 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．：中心对称 B．：对边相等 C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法． 根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A．：中心对称是平行四边形的固有性质，无法判断其为矩形； B．：对边相等是矩形的固有性质，无法判断其为正方形； C．：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写正确； D．：对角线互相平分是菱形的固有性质，无法判断其为正方形； 故选：C． 2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：四边形为正方形， ， 在中，， ． 故选：． 3．如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质可知，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，，即， 在中，， 故选：A ． 4．顺次连接正方形各边的中点所组成的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查中位线定理和正方形的性质，解题的关键是掌握相关性质和判定． 画出图形，由三角形中位线的性质，可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的四边形为菱形，可证明平行四边形是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形即可证明菱形是正方形． 【详解】解：设正方形，、、、分别为、、、的中点，连接、. ∵ 、是、的中点， ∴ ，且 . 同理，，， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形. ∵ 、是、的中点， ∴ ， . ∵ 正方形对角线相等且垂直， ∴ ，， ∴ = ， 又∵四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形. ∵ ，，， ∴， ∴ ， ∴ 菱形是正方形. 故选：D． 5．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴． 故选：D． 6．如图，延长到点E，使，以正方形的对角线为一边，以为另一边作菱形．若菱形的面积为，则正方形的边长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质等知识点，理解菱形的性质是解题的关键． 设正方形的边长为，则，再根据菱形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 依题意，得：，即，解得（舍去负值）． 故选C． 7．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 8．如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（  ） A．矩形菱形矩形 B．矩形正方形矩形 C．平行四边形菱形平行四边形 D．平行四边形正方形平行四边形 【答案】B 【分析】此题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定是解决问题的关键． 根据得四边形是平行四边形，再根据得平行四边形是矩形，由此得在点的运动过程中，四边形始终是矩形，只有当时，矩形是正方形，据此即可得出答案． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 在点的运动过程中，四边形始终是矩形， 当时，矩形是正方形， 四边形形状的变化依次为：矩形正方形矩形． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查正方形的判定，正多边形的性质，多边形内角和定理．正确判定出中间空白四边形为正方形是解题的关键． 先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为 【详解】解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为， 故答案为：4． 10．如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键；由正方形的性质得，由等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，若，设正方形的边长为，则_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 则，，，，根据全等三角形的性质得到，，根据即可求解． 【详解】解∶ 四边形为正方形， ． ，，． ，． ，． ， ． ， ， 解得． 故答案为：1． 12．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的运算，熟练根据作图确定是解题的关键．连接，，由作图可知，判定四边形是正方形，再在等腰直角中求出和即可解决． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，进而证明结论； （2）设，将和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． ． 14．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 15．如图1，已知在中，平分，交于点E，过点E作，交于点F，O是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示： ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】对于（1），根据平行四边形的性质得，可知四边形是平行四边形， 再根据平行线的性质和角平分线的定义得，然后说明,可得结论； 对于（2），①先说明四边形是正方形，可得，进而得出，再说明四边形是矩形，可得，接下来证明，可得，则答案可证； 对于②，取的中点M，连接，根据中位线的性质得，再根据正方形的性质得，进而求出，然后由（2）①得，结合直角三角形的性质得出答案. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴. ∵平分, ∴. ∵， ∴, ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵，四边形是菱形, ∴四边形是正方形． 又∵O是的中点． ∴. ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴. ∵，，, ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即． ②解：如图，取的中点M，连接，则是的中位线． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，． 又∵， ∴. 由（2）①得， ∴， 在中， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键. （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答． 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确， 综上，正确的结论共有4个． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，点的坐标，连接，根据正方形的性质得到，，，再根据顶点在第四象限求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形的顶点， ∴，，， ∵顶点在第四象限， ∴顶点的坐标是， 故选：A． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 4．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 5．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 6．如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是的中点，连接，若，设与交于点N，与交于点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查中位线的判定和性质，正方形的性质，等量代换，勾股定理熟练掌握相关知识是解题的关键；取的中点，连接，由题意得是的中位线，得，，结合正方形的性质等量代换得，即可解答． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵M是的中点，H是的中点 ∴是的中位线， ∴，，互相平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 8．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．有下列四个条件：①，②，③，④．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形为正方形（如图）．现在文文选择了③④，你认为文文选择的______（填“对”或“不对”） 【答案】对 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意，证明四边形是正方形，再作判断． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形， 现在文文选择了③④，你认为文文选择的对， 故答案为：对． 10．在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】先证明，得到是等腰直角三角形，由勾股定理得，当时，取最小值，即取得最小值，再由等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在正方形中，对角线、交于点O， ，，， ∵， ∴ 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，即取得最小值， ，， ， ∴ 线段的最小值为． 12．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在平面直角坐标系中，是原点，正方形的顶点A在轴的正半轴上，顶点B在轴的正半轴上，顶点C的坐标为，，分别为的中点， (1)求点A的坐标； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握三角形的中位线性质以及坐标与图形性质是解答的关键． （1）过C作轴于H，证明得到，，利用坐标与图形得到，，求得即可求解； （2）连接，利用正方形的性质和勾股定理求得，然后利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】（1）解：过C作轴于H，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵顶点C的坐标为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接， 在中，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 14．两个长为，宽为的长方形，摆放在直线上（如图①所示），，将长方形绕着点顺时针旋转角，将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度． (1)当旋转到顶点，重合时，连接（如图②所示），求点到的距离． (2)当时（如图③所示），求证：四边形是正方形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、正方形的判定． (1)过点作于点，根据等边三角形的性质可知，可以求出，根据三角形内角和定理可知，根据直角三角形的性质可以求出的长度，即为点到的距离； (2)根据旋转角为，可证四边形是矩形，根据矩形的性质和等腰三角形的性质可证，从而可证四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点到的距离是； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 矩形是正方形． 15．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长 【答案】(1)是 (2)若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③. (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定和性质，证明四边形是正方形是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可判断答案； （2）连接，，证明，即可得得出结论； （3）根据翻折和已知证明四边形是正方形，可得，再在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形， ，， 四边形是筝形； 故答案为：是． （2）解：若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③， 证明：如图所示，连接，， 四边形是筝形， ，， ∴垂直平分， 又， ， ，，， 平分和； （3）解：由翻折可知：， ，， 四边形是矩形， 又∵由翻折可知：， ∴矩形是正方形， ∴，， 设，则， 由翻折可知：，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：． 即． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列命题中正确的是 （    ） A．四角相等且两边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线和一边的夹角是的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查命题，命题是由题设和结论两部分组成的陈述句，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，熟记正方形的判定是解决问题的关键． 根据特殊平行四边形的判定与性质，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、四角相等的四边形是矩形，再加上两边相等，这两边未明确是对边还是邻边，只要不是邻边相等，该四边形不能判定为正方形，选项命题是错误的，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，选项命题是错误的，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，选项命题是错误的，不符合题意； D、在菱形中，邻边相等，若对角线和一边的夹角是，进而得到有一个内角为，则此菱形是正方形，选项命题是正确的，符合题意； 故选：D． 2．如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．由为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵为正方形与菱形的对角线， ∴． ∵， ∴． ∵菱形中，， ∴． ∴． 故选：B． 3．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 4．如图，正方形和正方形中，点D在上，，C到直线的距离是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理． 作交于点H，连接，延长交于点M，利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式即可解答． 【详解】解：作交于点H，连接，延长交于点M， 正方形和正方形中，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（   ） A．15 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，作出合理辅助线并证明全等是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，连接，根据正方形的性质得出直角和相等的边，证明和，得出相等的边，假设，表示出相关的边长，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 假设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴, 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，同角的余角相等，坐标与图形，过作轴于点，过作轴于点，则，则，又四边形是正方形，得，，然后证明，所以，，因为点的坐标为，点的坐标为，所以，，，利用线段和差即可求出点的坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 7．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（   ） A． B． C．2cm D． 【答案】B 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：B． 8．如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，连接，则的长度是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 连接，交于H，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，由面积法可求，根据勾股定理可求的长，由三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，交于H，    ∵在正方形中，，E是的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则______． 【答案】/30度 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，由与为等腰三角形是解决本题的关键 ． 由四边形是正方形，是等边三角形，可得，，则可得与为等腰三角形，再根据三角形的内角和为即可求解 ． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，，， ∴与为等腰三角形，且， ∴， ∴． 故答案为： ． 10．小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线cm，则图1中对角线的长为___________． 【答案】cm 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及含的直角三角形的性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键． 根据勾股定理即可求得图2正方形的边长，再根据菱形的性质和勾股定理即可求得图1中的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形是菱形（图1）， 当时，四边形是正方形（图2）， ∴图2中，， ∴在中， 由，， ∴， 在图1中，连接，交于，如图所示： ∵四边形是菱形（图1）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，在等腰中，，以斜边为边向外作正方形，连接，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，由勾股定理得，由正方形得是等腰直角三角形，得，最后根据勾股定理得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是________． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）连接，与交于点O，由（1）则可得，再根据正方形的性质求出的长，然后在中，利用勾股定理可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，连接，与交于点O， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴和x轴上，顶点的坐标满足． (1)求证：四边形为正方形； (2)若点E为线段边上的动点，连接，过E点作，且，连接的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)为定值，始终等于．理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据非负数的性质先求解，可得，从而可得结论； （2）如图，在上截取等于，连接，证明，再证明，结合，可得，再结合全等三角形的性质可得结论； （3）先对等腰运用勾股定理求出，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， 点， ， 又四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）解：是定值，恒为，理由如下： 如图，在上截取等于，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ∵ ∴， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 又在正方形中， ． （3）解：如图， ∵，且， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：． 15．【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明得到，进而得到即可得到结论； （2）先由勾股定理求得，再利用三角形的等面积求得，进而利用勾股定理求解即可； （3）取的中点O，连接，，先证明四边形是矩形得到，则的最小值等于的最小值；再根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，由，当点C、P、O共线时取等号得到的最小值即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，则； （2）解：由（1）知， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：取的中点O，连接，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故的最小值等于的最小值； ∵，，点O是的中点， ∴，， ∴， ∵，当点C、P、O共线时取等号， ∴的最小值为， 故的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $