21.5 菱形同步练习 2025-2026学年人教版八年级下册数学

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.5 菱形 知识点 菱形的性质和判定 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；如图，； （3）两条对角线垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；如图，； （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形． （5）菱形的面积：S菱形=底×高= 3．菱形的判定 判定方法 文字表述 图形表述 符号表述 判定方法一 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵，，∴菱形 判定方法二 四条边相等的四边形是菱形 ∵，∴菱形ABCD 判定方法三 对角线垂直的平行四边形是矩形 ∵，∴菱形 4．菱形的特殊性质与判定的关系 菱形的特殊性质 菱形的判定 菱形的四条边相等 四条边相等的四边形是菱形 菱形的对角线垂直 对角线垂直的平行四边形是菱形 菱形的对角线平分一组对角 对角线平分一组对角平行四边形是菱形 5．菱形性质应用策略 （1）菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． （2）菱形的面积=底乘以高=对角线乘积的一半． 6．菱形判定常见思路 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图， ，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 2．菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 【答案】B 【分析】利用菱形四条边相等的性质，计算菱形周长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的四条边长度相等，菱形的边长为3， ∴菱形的周长为 ． 3．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由菱形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 所以这个菱形的边长为5． 5．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 6．如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 7．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 8．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度 【答案】60 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 先根据菱形的周长求出边长，再根据较短对角线与边长相等，得出由对角线和两边组成的三角形是等边三角形，进而求解． 【详解】解：由题意知，菱形的边长为， 又∵较短的对角线也为， 如图，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 10．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，过点作于，于，由题意得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 11．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，根据题意可证明四边形是菱形，则，再证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，是的角平分线，过点作，交于点，作，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判断和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定证明，即可得证； （2）过点作，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，再根据菱形的性质可得，根据即可得解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ． 14．已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形得，证明四边形是平行四边形，则有，然后根据证明即可； （2）证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出四边形为菱形． 【详解】（1）证明：的对角线，交于点O，，， ，四边形是平行四边形，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：当时，四边形为菱形；理由如下： 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形． 15．如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键． （1）根据题意作； （2）根据直角三角形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，再根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：∵为边上中线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为菱形． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 2．如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质．连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则，根据题意可得四边形是菱形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即小广场到公路的距离为． 故选：A 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】过C作，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可求得答案． 【详解】解：过C作于E， ∵顶点C的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点B的坐标为即，点的坐标为． 4．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得四边形为平行四边形，当时，为菱形，此时． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵将线段水平向右平移得到线段， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，为菱形， 此时． 故选：B． 6．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质．先根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， ∵正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形，． 故选：． 7．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，可得，证明平行四边形是菱形，继而求出，即可解答． 【详解】∵是边上的中线 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． ∴． ∴， ∴． 故选C． 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知某菱形的一条对角线长为，面积为，则此菱形的边长是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质；菱形的对角线互相垂直平分，可算出另一条对角线的长度，再结合勾股定理求解边长. 【详解】解：如图所示，，， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 10．如图，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，，连接，则四边形的周长是_______． 【答案】20 【分析】本题主要考查了尺规作图——基本作图作线段的垂直平分线．熟练掌握线段的垂直平分线的作法和性质，菱形的定义和性质，是解题的关键． 由作图可知垂直平分，四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：记的交点为O， 根据作图可知是的垂直平分线， 且， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 11．如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，为的中点． ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． ∵， ∴是直角三角形； ∴； 故答案为：． 12．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 【答案】 【分析】,根据菱形的性质可知与是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，根据含角的直角三角形的性质可知，可得：，，根据线段之间的关系可得：，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 菱形中，，， ，， 与是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在中，，点，，分别为边，的中点，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了三角形中位线定理、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理分别求出，根据菱形的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：，点，分别为的中点， ， 点为的中点， ， ， 四边形是菱形． （2）解：，点分别为边，的中点， ， ． ， 四边形是菱形， ， 14．图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知． (1)当时，求千斤顶高的长度； (2)当从变为时，千斤顶升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据菱形的性质得出，平分，再证明是等边三角形，从而可根据等边三角形的性质得出； （2）求出时，的长，结合（1）求得的的长，求出千斤顶升高的长度即可． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O． 由题意可知，四边形是菱形， ， 平分． 当时， 是等边三角形， ． （2）当时． 平分，， ． 在中，， ， ， ∴千斤顶升高了． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 15．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为菱形，证明见解析 【分析】（1）证明，，可得是的中位线，，，，证明，即可． （2）如图，连接，证明，可得，，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E、F、G分别为线段、、的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴ 四边形为平行四边形． （2）解：四边形为菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在实验课上，为判断一个四边形是否为菱形，琪琪用仪器进行了测量，首先测量出两组对边分别相等，然后再测量出_____，最后得到结论：这个四边形是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．两条对角线垂直 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 由两组对边分别相等可知四边形为平行四边形，再根据菱形的判定定理，添加对角线垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：∵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴ 该四边形是平行四边形， ∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴ 测量两条对角线垂直后，可判定该四边形是菱形． 故选：B． 2．如图，菱形的顶点B在直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质求角度，等腰三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键．先求出，根据菱形性质得出，即得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，平行四边形中，的平分线交边于点交边于点，则的长为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先证明四边形是菱形，再利用勾股定理求出． 【详解】解：连结， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明．首先根据已知条件，通过等量代换证明，从而得到，进一步推出，得出，然后利用矩形周长求出和的长度，接着中运用勾股定理求出的长度，最后根据萎形性质计算出萎形的周长。 【详解】解：如图，由题意可知：三点共线， ，长宽 （宽）（长）（宽）， ， ， ， ， ， ， 矩形的周长为，， ， 菱形的周长为：， 故选：B． 5．如图，在中，，点D为斜边的中点，连接，过点A作，连接，，若四边形的周长为52，则的长为（    ） A．24 B．26 C．15 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．先证明四边形是菱形，求得菱形的边长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为斜边的中线， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为52， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 故选：A． 6．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设相交于点G，相交于点H，易证四边形是平行四边形，再证明可得，则平行四边形是菱形可得，设，则，再根据勾股定理列方程求得x，进而求得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：设相交于点G，相交于点H， ∵两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起， ∴， ∴四边形是平行四边形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得： ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 7．如图，菱形的对角线相交于点，点为边上一动点（不与点A，B重合），于点，于点F，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短．连接，证明四边形是矩形得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 8．矩形中，厘米，厘米，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为(　　) A．7 B．20 C．7或25 D．7或20 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，运用数形结合及方程思想是解本题的关键． 分两种情况：①如果四边形是菱形，则，在中，根据勾股定理得出，列出关于t的方程，解方程求出t的值；②如果四边形是菱形，则，在中，根据勾股定理得出，列出关于t的方程，解方程求出t的值． 【详解】解：分两种情况： ①如果四边形是菱形，则．   ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即运动时间为25秒时，四边形是菱形． ②如果四边形是菱形，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即运动时间为7秒时，四边形是菱形； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，小李将一张边长分别为4和10的矩形纸片对折、再对折，然后沿图中的虚线AC剪下，将纸展开，就得到一个四边形．若，则这个四边形的周长为______． 【答案】 【分析】根据题意，将纸展开是一个菱形，从而根据菱形性质得到这个四边形的周长为，由题中图可知，，则，从而得到． 【详解】解：根据题意，，， 将纸展开，得到的四边形是菱形，是菱形的边， 在中，，，则， 这个四边形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠与菱形的判定与性质，涉及含的直角三角形，读懂题意，掌握折叠性质是解决问题的关键． 10．如图，菱形的对角线交于点O，过点A和D作的垂线，分别交和的延长线于点E、F，连接，若，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根据四边形是菱形，得到，，，再证明四边形是矩形得到，根据勾股定理求出，，再根据直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵过点A和D作的垂线， ∴， ∴四边形是矩形； ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 11．如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查直角坐标系中点与特殊四边形的判定和性质，以及勾股定理的应用，根据题意得点，，结合，，即可判定四边形为菱形，有，利用勾股定理求得，则有，再次利用勾股定理即可求得． 【详解】解：根据题意得点，， ∵，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 12．如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线． 【第一次操作】 作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形． 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形． 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形． ……重复上述操作． （1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为______； （2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有______个不同的取值． 【答案】 2 4 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质． （1）根据题意第一次操作后四边形为平行四边形，当四边形是菱形时，则，结合即可得出结果； （2）根据题意画出示意图，利用菱形的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵第一次操作后四边形为菱形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 则x的最小正整数值为； （2）根据题意：对进行第三次操作后，得到四个菱形，共有四种可能结果如图所示： ①， 则； ②， 则； ③， 则； ④， 则； 综上，x有个不同的取值． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，已知菱形，点在一条直线上． (1)用圆规和无刻度的直尺在射线上作一点F，连接，使（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质． （1）以点B为圆心，为半径作圆，交于点F，点F为即为所求； （2）过点O作，根据菱形性质得出，，根据勾股定理得出，根据三角形面积求出，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，为半径作圆，交于点F，点F为即为所求； 根据作图可知：， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴； （2）解：过点O作， ∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．综合与实践 在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究． 【背景】 如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____． 【探究】 （2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）若，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）的值为2或4． 【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；再证明，即可得到； （2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，证明，即可得到； （3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，根据勾股定理求出，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴， ∵是边的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）仍然成立，理由如下： 连接， 同理和是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， 由（2）知， ∴， 当点在线段上， ∴； 当点在线段上， ∴； 综上所述，的值为2或4． 15．如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点G，连接． (1)求线段的长． (2)求证：四边形是菱形． (3)如图2，M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)存在，或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知矩形的性质，菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，利用勾股定理可得，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，，由矩形和平行线的性质可得，则可证明，得到，进而可证明四边形是平行四边形，则可证明平行四边形是菱形； （3）分和两种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， 将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； （2）证明：由折叠的性质可得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：如图所示，当时，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当时， 同理可得，， 在中，由勾股定理得， 同理可得， 解得； 综上所述，在这样的点N，使是直角三角形，此时或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.5 菱形 知识点 菱形的性质和判定 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；如图，； （3）两条对角线垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；如图，； （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形． （5）菱形的面积：S菱形=底×高= 3．菱形的判定 判定方法 文字表述 图形表述 符号表述 判定方法一 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵，，∴菱形 判定方法二 四条边相等的四边形是菱形 ∵，∴菱形ABCD 判定方法三 对角线垂直的平行四边形是矩形 ∵，∴菱形 4．菱形的特殊性质与判定的关系 菱形的特殊性质 菱形的判定 菱形的四条边相等 四条边相等的四边形是菱形 菱形的对角线垂直 对角线垂直的平行四边形是菱形 菱形的对角线平分一组对角 对角线平分一组对角平行四边形是菱形 5．菱形性质应用策略 （1）菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． （2）菱形的面积=底乘以高=对角线乘积的一半． 6．菱形判定常见思路 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图， ，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 2．菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 3．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如下图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的边长是（   ） A．5 B．10 C．6 D．8 5．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 7．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知菱形的周长是，一条较短的对角线的长是，则该菱形较小的内角是__________度 10．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为_____． 11．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为____． 12．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，是的角平分线，过点作，交于点，作，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求四边形的面积． 14．已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 15．如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．已知某菱形的一条对角线长为，面积为，则此菱形的边长是______． 10．如图，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，，连接，则四边形的周长是_______． 11．如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________． 12．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在中，，点，，分别为边，的中点，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 14．图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知． (1)当时，求千斤顶高的长度； (2)当从变为时，千斤顶升高了多少？ 15．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，请判断并证明四边形的形状． (1)直接写出边的长为_____； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在实验课上，为判断一个四边形是否为菱形，琪琪用仪器进行了测量，首先测量出两组对边分别相等，然后再测量出_____，最后得到结论：这个四边形是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．两条对角线垂直 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 2．如图，菱形的顶点B在直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，的平分线交边于点交边于点，则的长为（   ） A．3 B． C．6 D． 4．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点D为斜边的中点，连接，过点A作，连接，，若四边形的周长为52，则的长为（    ） A．24 B．26 C．15 D．13 6．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 7．如图，菱形的对角线相交于点，点为边上一动点（不与点A，B重合），于点，于点F，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 8．矩形中，厘米，厘米，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为(　　) A．7 B．20 C．7或25 D．7或20 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，小李将一张边长分别为4和10的矩形纸片对折、再对折，然后沿图中的虚线AC剪下，将纸展开，就得到一个四边形．若，则这个四边形的周长为______． 10．如图，菱形的对角线交于点O，过点A和D作的垂线，分别交和的延长线于点E、F，连接，若，则的长度为______． 11．如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则______． 12．如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线． 【第一次操作】 作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形． 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形． 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形． ……重复上述操作． （1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为______； （2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有______个不同的取值． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，已知菱形，点在一条直线上． (1)用圆规和无刻度的直尺在射线上作一点F，连接，使（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 14．综合与实践 在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究． 【背景】 如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____． 【探究】 （2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）若，，求线段的长． 15．如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点G，连接． (1)求线段的长． (2)求证：四边形是菱形． (3)如图2，M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $