精品解析：河北邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

高二下学期第一次月考数学试卷 出题人：刘媛 审题人：王建洪 一、单选题 1. 已知是的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义及简单极限运算法则求解即可. 【详解】由导数的定义得， 所以． 故选：D． 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 9 B. 27 C. 36 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式化简即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 则. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数，再将代入即可求得结果. 【详解】因为，所以，故. 故选：B 4. 植树节那天，4位同学去植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理和分类加法原理计算可得. 【详解】根据题意，现在记4个人，为3棵树. 法一：从人作为元素（主动）来讲，分三类. 第一类可以选择1人去种3棵树，一共有4种方法. 第二类可以选择2个人去种3棵树， 第一步，从4个人中选出2个人，一共有6种选择，分别是 第二步，要2人种3棵树，一共有6种选择，分别为选择3棵树中的1棵， 选择剩下的2棵，或者选择3棵树中的2棵，选择剩下的1棵， 根据分步乘法计数原理，一共有种方法. 第三类可以选择4个人中3个人分别种3棵树，分两步完成， 第一步，从4个人中选出3人，一共有4种选择，分别是 第二步，要3人种3棵树，一共有6种选择， 分别为选择3棵树中的1棵，选择剩下2棵中的1棵，剩下最后1棵由种， 根据分步乘法计数原理，一共有种方法. 综上，根据分类加法计数原理，一共有种方法． 法二：从树为元素来讲，完成这件事分三步. 第一步，第一棵树有4个人可选，共有4种方法， 第二步，第二棵树有4个人可选，共有4种方法， 第三步，第三棵树有4个人可选，共有4种方法， 据分步乘法计数原理可得一共有种方法，故B正确. 故选：B． 5. 等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可. 【详解】因为是等比数列， 所以成等比数列， 又因为，，， 则，， 所以，. 故选：D. 6. 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：利用错位排列公式求解；方法二：通过分类讨论，分1在1号位和不在1号位讨论即可. 【详解】方法一：使用错位排列公式. 4个元素的错位排列数. 方法二：分类讨论. 第一步：数字1不能在1号位，有3种放法（比如放在2号位）. 第二步：此时考虑2号数字放法. （1）若2号数字放在1号位，则剩下3、4号数字和3、4号位，只有1种错排方法. （2）若2号数字不放在1号位，则问题等价于把2、3、4号数字放在1、3、4号位进行错排（其中2号数字的“位置”是1号位），有种方法. 因此，数字1放在2号位时，共有种方法。由对称性，总方法数共有种. 故选：C． 7. 函数在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值． 【详解】函数，求导得， 在处的切线斜率为， 又在处切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 8. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解. 【详解】因为命题“”为真命题，所以． 令与在上均为增函数， 故为增函数，当时，有最小值，即， 故选：A． 二、多选题 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 10. 已知数列的首项，则（ ） A. 是等比数列 B. C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用构造法得到数列是等比数列，进而求出，判断选项B，利用等比数列定义，即可判断选项A，结合分组求和法判断选项C，利用裂项相消法，判断选项D. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，故B正确； 所以，常数，A错误； 因为数列的前项和为 ，所以C不正确； 记数列的前项和为， 因为， 所以， 故D正确． 11. 设函数，则（ ） A. 点是图像的对称中心 B. 当时，函数有三个零点 C. 当时，直线不是曲线的切线 D. 若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A计算即可判断，对于B由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D， 【详解】对于A：由， 所以是图像的对称中心，故A正确； 对于B：当时，，所以， 令，得或，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有三个零点，故B正确； 对于C：当时，，所以，由，， 所以在处的切线方程为：，故C错误； 对于D：设的三个零点为， 所以， 对比项的系数有：，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12. 如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字） 【答案】72 【解析】 【分析】根据图形，首先确定涂有4种涂法，则涂有3种涂法，进而由与、相邻，只与相邻，可以确定、的涂色的情况，最后由乘法原理，计算可得答案． 【详解】根据题意，首先涂有种涂法，则涂有种涂法， 与、相邻，则有种涂法，只与相邻，则有种涂法， 所以共有种涂法， 故答案为：72． 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将函数在区间上单调递减的条件转化为导数在上恒成立，再通过分离参数，求出在区间内的最大值，进而确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间 上恒成立，而，所以. 故答案： 14. 已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数 （1）求在点处的切线方程； （2）若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点坐标，写出切线方程，利用原点在切线上，求出切点坐标，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 设切点为，则，切线方程为， 因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 16. 已知等差数列是单调递增数列，，且，成等比数列，是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求满足的最小的的值. 【答案】（1）；（2）11. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比中项性质可得，，再代入通项公式，即可得答案； （2）先求，再利用裂项相消法求，最后求关于的不等式，即可得答案； 【详解】解：（1）设的公差为，则 ∴，∵，∴， ∴的通项公式为. （2）由（1）知， ， ， 化为，∴， ∴，∴正整数， ∴满足条件的的最小值为11. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量运算、裂项相消法求和，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 17. 设函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程． （2）已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程; （2）根据可得，设函数，求导求解最小值. 【小问1详解】 由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以，即的最大值为1． 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）时，可得，与原式相减可求通项公式； （2）结合（1），利用等差数列的前项和公式，计算可求； （3）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为，① 所以当时，， 当时，，② 由整理得， 因为符合上式，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以． 【小问3详解】 因为，所以． 因， 所以， 所以． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的极小值为0，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ，求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． 【小问2详解】 函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期第一次月考数学试卷 出题人：刘媛 审题人：王建洪 一、单选题 1. 已知是导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 9 B. 27 C. 36 D. 45 3. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4. 植树节那天，4位同学去植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 150 6. 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 函数在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 10. 已知数列首项，则（ ） A. 等比数列 B. C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 11. 设函数，则（ ） A. 点是图像对称中心 B 当时，函数有三个零点 C. 当时，直线不是曲线的切线 D. 若有三个不同的零点，则 三、填空题 12. 如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字） 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 14. 已知数列中，，则数列的通项公式______． 四、解答题 15. 已知函数 （1）求在点处的切线方程； （2）若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程. 16. 已知等差数列是单调递增数列，，且，成等比数列，是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求满足的最小的的值. 17. 设函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程． （2）已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）求数列的前n项和． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $