河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

高二月考数学试题 出题人：张晓艳 审题人：曾艳青 一、单选题 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．108 3．现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变， 不同的方法共有（ ） A．30种 B．56种 C．12种 D．42种 4．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．2 D．4 6．如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A．变量服从正态分布 B． C． D． 7．已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．若回归方程为，则变量x与y负相关 B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 10．已知函数满足对任意的，都有，且.下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若，则4是的一个周期 11．给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域是 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．已知，则函数 D．函数在上为减函数，则实数a的取值范围 三、填空题 12．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为 . 13． . 14．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 . 四、解答题 15．随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 (1)从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； (2)依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．一个盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽．从盒子中随机取出一个粽子（不放回），然后再从盒子中随机取出一个粽子． (1)求第一次取到白粽的概率； (2)在第一次取到白粽的条件下，求第二次取到肉粽的概率； (3)设表示两次取粽取到白粽的个数，求的分布列和均值． 17．设，，．若， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 18．不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知二次函数 (1)若时，讨论不动点的个数； (2)若，，为两个相异的不动点，且，，求的最小值. 19．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 参考答案 1．D【详解】由    N 1 4 1,2,3, 4A x x     ，  2B y y  ， 可得  2,3,4A B  .故选：D 2．C【详解】根据题意，考虑间接法求解，即求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到 3所乡学校工作， 每所学校至少安排一名 老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方 法种数即可. 将甲、乙、丙、丁、戊五名老师到 3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，可分为两种情况， 其一：按照“221”分组，有 2 2 3 5 3 3 2 2 C C A 90 A  种方法；其二：按照“113”分组，有 1 1 3 5 4 3 2 2 C C A 60 A  种方 法.而每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法有 1 23 2C A 6 种. 故不同的分配方法总数为90 60 6 144   种.故选：C. 3．D【详解】原来5名同学站成一排，有6个空位可以插入甲同学， 所以甲同学有 6种不同的排法. 当甲同学插入后，此时包括原来5名同学和甲同学一共有6个人， 这6个人形成了7个空位，所以乙同学有7种不同的排法. 故完成将甲、乙 2名同学加入排列这件事， 分两步：第一步甲同学有6种排法，第二步乙同学有7种排法， 那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有 6 7 42  （种）.故选：D 4．C【详解】对于 A选项，当 0c  时不满足，故 A错误； 对于 B选项，由不等式性质知， 2 2 a b c c  两边同时乘以 2 0c  ，可得 a b ，故 B错误； 对于 C选项，若 0a b c   ，则 0a c  ， 0b a  ，   0b a c  ，   0a a c  ， 故           0 b a c a b c b a cb b c a a c a a c a a c            ，即 b b c a a c    ，故 C正确； 对于 D选项，取 1a   ， 2b   ，可得 2 2a b ，故 D错误．故选：C 5．D【详解】因为 3(1 )x 中常数项为 1， 2x 项的系数为 13C 3 ， 所以  3 2(1 ) 1x x  的展开式中， 2x 的系数为1 1 3 1 4    ，故选：D 6．D【详解】依题意， 2600 0.6 360, 600 0.6 0.4 144        ， 12  ， 对于 A，变量 X 服从正态分布  360,144N ，A错误； 对于 B,  (2 1) 2 1 721E X E X    ,故 B错误， 对于 C，  ( 384) ( 2 ) ( 2 ) ( 336) 348P X P X P X P X P X          ，C错误； 对于 D， 1 1 1 1( 384) ( 2 ) ( 2 2 ) 0.9545 0.9773 2 2 2 2 P X P X P X                   ，D正 确.故选：D 7．C【详解】若函数  y f x 的图象关于点  ,P a b 成中心对称图形，且函数  f x 的定义域为R ， 则     2f a x f a x b    ，即    f a x b f a x b      ， 设    g x f a x b   ，则函数  g x 的定义域为R ， 则    g x g x   ，即函数    g x f a x b   为奇函数， 因此，“  y f x 的图象关于点  ,P a b 成中心对称图形”是“函数  y f x a b   为奇函数”的充 要条件.故选：C. 8．B【详解】 3 1 3 1 2 2( ) 1 3 1 3 1 3 1 x x x x xf x           ， 3 1 1x   ， 2 22 0, 1 1 1 3 1 3 1x x           ， 当 1 ( ) 0f x   时， [ ( )] 1f x   ； 当0 ( ) 1f x  时， [ ( )] 0f x  [ ( )]y f x  的可能取值 1 ，0．故选：B. 9．ABD【详解】对于 A，回归方程为  5 3y x  的斜率为负，则变量 x与 y负相关，A正确； 2 对于 B，回归直线方程一定经过样本点的中心  ,x y ，B正确； 对于 C，散点图中所有点都在直线 0.92 4.21y x  上，则相关系数 1r  ，C错误； 对于 D，决定系数 2R 的值越接近于 1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确. 故选：ABD. 10．ABD【详解】令 0x y  ，则         20 0 2 0 2 0f f f f      ， 因为  0 0f  ，所以  0 1f  ，故 A正确； 令 0x  ，则              , 2 0 2y f y f y f y f f y f y f y        R 恒成立， 所以函数  f x 为偶函数，故 B正确；  2 3f  ，令 2x y  ，则          4 0 2 2 2 4 17f f f f f    ，故 C错误；  1 0f  ，令 1y  ，则        1 1 2 1 0f x f x f x f     ， 所以            2 0, 4 2 0 4f x f x f x f x f x f x          ， 则  f x 为周期函数且 4为其一个周期，故 D正确. 故选：ABD. 11．BD【详解】A：由已知得 0 2 2 0 1 1 0 x x x        ，即  g x 的定义域是[0,1)，错； B：由函数定义：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，故函数  y f x 的图象与直线 1x  的交点最多有 1个，对； C：令 1 0t x   ，则 2 1x t  ，故   2 2f t t  ，所以函数   2 2f x x  且 [0, )x  ，错； D：由题意 3 5 0 3 50 5 6 5 5 a a a a a           ，对.故选：BD 12． 1 【详解】解：幂函数    2 12 2 mf x m m x    在  0, 上单调递减， 2 2 2 1m m    ，且 1 0m  ，求得 1m   ， 故答案为： 1. 13．165【详解】因为 11C C C m m m n n n     ，所以 1 1C C C m m m n n n     ， 原式        3 3 3 3 3 3 3 3 33 4 3 5 4 10 9 11 10C C C C C C C C C          3 11 11 10 9C 165 1 2 3        ；故答案为：165. 14． 3 70 【详解】设 1A 从甲盒取出 2个红球； 2A 从甲盒取出 2个白球； 3A 从甲盒取出 1个白球和 1个红球； B 从乙盒取出 2个红球. 所以              1 1 2 2 3 3P B P A P B A P A P B A P A P B A  ∣ ∣ ∣ 2 2 1 12 2 3 3 3 22 2 2 2 2 2 2 2 5 7 5 7 5 7 C C C CC C0 3 C C C C C C 70        . 故答案为： 3 70 . 15．(1) 11 25 (2)无差异 【详解】（1）用 A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”， B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明， 求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件 A发生的条件下，事件 B发生”的概 率，记为 ( )P B A∣ ， ( ) 22n AB  ， ( ) 50n A  ，所以 22 11( ) 50 25 P B A  ∣ ； （2）零假设为 0H ：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到  22 0.05 80 12 22 18 28 48 1.920 3.841 40 40 30 50 25 x             ， 根据小概率值 0.05  的 2 独立性检验，没有充分证据推断 0H 不成立， 所以可以认为 0H 成立， 即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异. 16．(1) 1 3 (2) 4 5 (3)分布列见解析，   2 3 E X  3 【详解】（1）因为盒子中有 6个粽子，其中 2个白粽，4个肉粽， 所以第一次取到白粽的概率 2 1 6 3 P   ； （2）记第一次取到白粽为事件A，第二次取到肉粽为事件 B， 则   1 3 P A  ，   1 1 2 4 2 6 A A 4 A 15 P AB   ， 所以      4 415| 1 5 3 P AB P B A P A    ； （3）依题意 X 的可能取值为0，1， 2， 所以   2 4 2 6 A 20 A 5 P X    ，   1 1 2 4 2 6 2A A 81 A 15 P X    ，   2 2 2 6 A 12 A 15 P X    ， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 则   2 8 1 20 1 2 5 15 15 3 E X        . 17．(1) 160 (2) 63(3)12 【详解】（1）由二项式定理可得  1 2 nx 展开式的通项为    1 C 1 2 2 C , 0,1, 2, , r rr n r r r r n nT x x r n            ， 所以  2 C , 0,1, 2, ,r rr na r n    ， 所以      1 21 2 21 2 1 2 C 2 C 2 4 2 4 48 2n n n n a a n n n              . 整理可得 2 2 24 0n n   ，解得 6n  或 n  4（舍去负值）， 所以  3 33 6 6 5 42 C 8 160 3 2 1 a           . （2）由（1）可得 6n  ，  0 00 62 C 1a    . 令 1 2 x  ，可得   6 63 61 2 0 2 3 6 11 1 2 64 2 2 2 2 2 a aa aa                   ， 所以  63 61 2 02 3 61 64 632 2 2 2 a aa a a         . （3）对   2 30 1 2 31 2 n n nx a a x a x a x a x       两边同时求导可得    1 2 11 2 31 2 2 2 3 n n nn x x a a x a x na x          ， 整理可得   12 11 2 32 3 2 1 2 nn na a x a x na x n x        . 代入 6n  ， 1x  可得  51 2 3 62 3 6 2 6 1 2 12a a a a         . 18．(1)答案见解析；(2) 2 2 1 . 【详解】（1）由题设，令    29 1 2 4 f x x b x b x       ，整理得  29 4 2 4 8 0x b x b     ， 所以 2 216(2 ) 36(8 4 ) 16( 13 14) 16( 14)( 1)b b b b b b           ， 当 14b   或 1b  时， 0  ，此时  f x 有两个不同的不动点； 当 14b   或 1b  时， 0  ，此时  f x 有一个不动点； 当 14 1b   时， 0  ，此时  f x 没有不动点； （2）由题设，令    22 1 2f x x b x b x      ，整理得  22 2 2 0x b x b     ， 且 2 2 2(2 ) 8( 2) 4 20 ( 2) 16 0b b b b b            ， 所以 1 2 2 2 bx x   ， 1 2 2 2 bx x  ，又 1x ， 2 0x  ，则 2 0b   ， 则 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 ( )x x x x x x x x x x                    2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 82 2 2 2 2 2 x x x x b b b b x x b b                2 8 2 81 2 1 2 2 1 2 2( 2) 2 2( 2) b b b b             ， 当且仅当 2 8 2 2 2 2 2( 2) b b b       时等号成立， 所以目标式最小值为2 2 1 . 4 19．(1) 0.648 (2) 1 ,1 2       (3) 6 7, 11 11       【详解】（1）3局 2胜制甲最终获胜结果可以是： 2 : 0、 2 :1，每局比赛甲获胜的概率 0.6p  ， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 则甲最终获胜概率是： 2 20.6 2 0.6 0.4 0.648    ． （2）3局 2胜制甲最终获胜结果可以是： 2 : 0、 2 :1，每局比赛甲获胜的概率 p， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 甲最终获胜概率是：    2 2 21 2 1 3 2p p p p p p     ， 5局 3胜制甲最终获胜结果可以是：3: 0、3 :1、3 : 2， 则甲最终获胜概率是：      23 3 3 3 22 3 1 6 1 6 15 10p p p p p p p p p        ， 由题知 12p > p ，即 2 1 0p p  ， 则        23 2 2 22 1 6 15 10 3 2 3 1 2 1 0p p p p p p p p p p          ， 又  0,1p ，则 p的取值范围是 1 ,1 2       ． （3）由题，  ~ 10,X B p ，故    111 1101 C 1 nn n na P X n p p       ，  1,2, ,11n   ． 7a 是数列 na 的唯一的最大项，则必有 6 7 8a a a  ， 即      5 4 35 5 6 6 7 710 10 10C 1 C 1 C 1p p p p p p   ，解得： 6 7, 11 11 p      ， 此时，         10 101 111 1 10 C 1 11 1 11 1C 1 nn n n nn n n p p n pa n p a n pp p             ，则  11 6,7p 则 6n  时， 1n na a  ； 6n  时， 1n na a  ； 即 1 2 6 7 8 11a a a a a a        ，故 7a 是数列 na 的唯一的最大项． 综上，p的取值范围是 6 7, 11 11       ．