河北秦皇岛市第三中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

**基本信息** 以导数、概率统计等核心知识为载体，通过人寿保险赔偿、食品厂产品检查等现实情境设计，实现基础巩固与能力提升的梯度考查，适配高二阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算、排列组合、条件概率|基础概念直接应用，如切线方程求解| |多选题|3/18|二项分布、超几何分布|结合概念辨析，如概率分布类型判断| |填空题|3/15|导数、排列、极值点|聚焦关键能力，如相邻不相邻排列| |解答题|5/77|分布列、期望、导数单调性|综合现实情境，如人寿保险赔偿计算；分层设问，如导数单调性讨论与最值求解，体现数学思维与语言表达|

秦皇岛市第三中学2025-2026学年度第二学期 月考 高二数学试卷A参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D C B D D BCD CD 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】因为， 又，所以. 2．B 【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 3．D 【详解】根据分步乘法计数原理，投放4封不同的信可分为4个独立步骤，每封信均有3种不同的投放选择，因此总的投入方法种数为种. 4．D 【详解】. 5．C 【详解】记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，， 记击中目标为事件，则， 所以， 又，所以. 6．B 【分析】由二项式定理求解即可. 【详解】原式， 由题意，只需求展开式中的系数即可， 又展开式中项为， 所以所求的展开式中项的系数为． 7．D 【详解】函数的定义域为， 令，解得，列表如下， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为． 8．D 【分析】根据小王，小李两人闯关成功与否互不影响，每次试验小王，小李成功的概率都不变，可分析各自成功的次数满足二项分布，利用二项分布的概率模型进行分析对应随机变量的取值所满足事件A的情况，带入二项分布公式即可． 【详解】设小王、小李闯关成功的次数分别为X，Y，则X，Y均服从二项分布． 由题意，得事件， 且事件，，互斥， X与Y相互独立． 因为， 所以． 9．BCD 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 10．CD 【分析】根据阶乘和排列数运算公式，进行推理和判断选项中的运算是否正确即可. 【详解】，故A错误；，，则，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：CD. 11．AC 【分析】分析题意得出总事件个数为个，对于选项AD根据选项条件分析各个选项包含的事件个数，运用古典概型求解即可；对于选项B，可用求解；对于选项C，正常求离散型随机变量的期望即可. 【详解】用1表示命中，0表示未命中，则 .的样本点为111110、011111，则，A正确. 的样本点分为3类：1个1、5个0共有6个，2个1、4个0且2个1不相邻的有个， 3个1、3个0且3个1互不相邻的有个，共20个， 则.， 所以，B错误. ，C正确. 的样本点为111100、111101、011110、101111和001111，则. 的样本点分为4类：有4个，有2个，有2个，有4个，共12个，（a，b取值为0，1） 则，D错误. 12． 【详解】. 13． 8 【分析】先将甲乙捆绑，再将甲乙整体和丁排列，最后得到丙位置的情况即可求解. 【详解】首先将甲、乙看成一个整体，甲、乙两人相邻的排列有种， 将甲乙整体和丁排列，有种，此时形成3个空位， 由乙、丙两人不相邻，则丙不能在乙的旁边，所以丙只有2个位置， 综上：不同的排法种数共有. 14． 【详解】由题意得函数的定义域为，求导得， 因为函数有两个极值点，所以有两个不同变号零点， 令，在上有两个不同的正根， ，所以 由韦达定理，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 15．(1) 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 (2)． (3)0.027 【分析】（1）根据二项分布直接求出分布列即可； （2）由二项分布的期望和方差公式直接计算即可； （3）根据可得即可求得其概率. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3，且． ，， ，； 从而的分布列为 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）因为， 所以． （3）因为，由可得， 所以． 16．(1) (2)的分布列为 0 1 2 【详解】（1）样本中，重量超过505克的频率为， 于是可估计任取一件产品，其重量超过505克的概率为. 设恰有2件产品重量超过505克为事件，. （2）样本中重量位于的产品共有件， 其中重量低于495克的有3件. 所以的可能取值有0，1，2. ，， 的分布列为 0 1 2 的期望为. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用组合计数问题及古典概型列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【详解】（1）从甲、乙两个盒内各任取2个球的试验有个基本事件，它们等可能， 取出的4个球中恰有1个红球的事件有个基本事件， 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率. （2）从甲盒内任取2个球的试验含有的基本事件个数， 至少取出一个红球的事件为，两球颜色均为黑色相同的事件为， 则，因此， 所以在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率. （3）令从甲盒内任取2个球中红球为的事件分别为，从乙盒中任取一球为红球的事件为， 则， ， 因此， 所以取出的球为红球的概率为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求解； （2）先写出展开式通项，令的指数为3，判断无符合条件的整数，得对应系数为0； （3）写出各项系数表达式，仅比较偶数项（奇数项系数为负）的大小，找到系数最大时的，代入通项得结果. 【详解】（1）二项式展开式所有项的二项式系数之和为，由题意得，解得. （2）由得二项式为，其展开式通项为： ， 令，解得，不满足，故展开式中不含的项，对应系数为. （3）设第项的系数为， 当为奇数时，不可能为最大值，仅需比较为偶数时的系数大小. 令（），相邻偶数项的系数比值为： ， 当时比值大于1，系数递增；当时比值小于1，系数递减， 故即时系数最大. 将代入通项得： ，即系数最大的项为. 19．(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3) 【分析】（1）根据导函数，分、讨论函数的单调性； （2）结合（1）中的单调性分类讨论最值； （3）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可． 【详解】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 答案第8页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市第三中学2025-2026学年度第二学期 月考 高二数学试卷A 命题人：刘畅 试卷说明：考试时间为120分钟，满分150分。单选题8个，每小题只有一个正确答案，每题5分，共计40分。多选题3个，每小题有2个或3个正确答案，每题6分，共计18分。填空题3个，每题5分，共计15分，解答题5个小题，共计77分。 一、单选题 1．已知，的值是（    ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（   ） A．12 B．16 C．64 D．81 4．（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 5．已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（   ） A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.5 6．展开式中项的系数是（     ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 8．小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、小李每关闯关成功的概率均为，小王和小李闯关成功相互独立．若事件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的有（     ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D．从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10．已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．小李每次射击的命中率为，他射击6次，且每次射击是否命中相互独立，设他最多连续命中的次数为X（若他6次均未命中，则；若他至少命中1次且未连续命中，则），则（   ） A．B． C． D． 三、填空题 12．函数的导数为________． 13．甲、乙、丙、丁共4人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不同的排法种数共有________.（用数字作答） 14．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围________． 四、解答题 15．假设某种人寿保险规定，投保人没活过60岁时，保险公司要赔偿100万元；活过60岁时，保险公司不赔偿，已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过60岁的概率都为0.9．随机抽取3个投保人，设其中活过60岁的人数为，保险公司要赔偿这三人的总金额为万元． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求． 16．某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图. (1)从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率； (2)在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望. 17．已知甲盒内有大小相同的3个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和2个黑球． (1)现从甲、乙两个盒内各任取2个球．求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)现从甲盒内任取2个球．求在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率； (3)现从甲盒内任取2个球放入乙盒．再从乙盒中任取一球．求取出的球为红球的概率. 18．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256． (1)求正整数n的值． (2)求展开式中含的项的系数． (3)求展开式中系数最大的项． 19．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $