精品解析：2026年湖北荆州市沙市实验中学初中毕业年级3月素养检测数学试题

沙市实验中学毕业年级3月素养检测 数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 年是农历丙午马年，的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 的相反数是． 2. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，该选项符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形中间有条竖直线段，该选项不符合题意； C、球的主视图是圆，该选项不符合题意； D、圆柱的主视图是矩形，该选项不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据以上运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ，， 故选：D． 5. 将一把直尺和一块含，角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中的角度计算．利用数形结合的思想是解题关键．过点作，由题意可确定，，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点作， 由题意可知，， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. “掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 C. 描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图 D. 调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵必然事件是一定会发生的事件，打开电视时不一定正在播放《新闻联播》， ∴A选项错误； ∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个，得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件， ∴B选项正确； ∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温的变化情况，适宜用折线统计图， ∴C选项错误； ∵全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽样调查， ∴D选项错误． 7. 如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，点关于原点对称的特点．根据菱形的性质，可得点A和点C关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴点C的坐标是． 故选：B 8. 在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（ ） A. 以内 B. C. D. 以上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为，根据图象可知反比例函数过点，即可求出解析式，再根据每次充满电需要，可求充电时的充电功率范围． 【详解】解：设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为， 代入得，， ∴， ∴， ∵该新能源电动车每次充满电需要， ∴当时，；当时，； ∴充电时的充电功率范围是， 故选：B． 9. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知二次函数（为常数，且）．下列结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于且小于； 其中正确的结论的个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令时，求得的值，即可判断；根据二次函数图象的增减性，即可判断；由根的判别式，即可判断，解一元二次方程结合判断根的大小情况，即可判断． 【详解】解：， 当时，， 该函数图象经过点，故正确； 当时，， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，随增大而减小， 又， 当时，随增大而减小，故正确； 判别式， 当时，，函数图象与轴只有一个公共点，故错误； 当时，方程的根为和， ， ，即方程有一个根大于且小于，故正确 综上，正确的结论有，共个． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 【答案】y=x（答案不唯一） 【解析】 【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0． ∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）． 13. 计算：结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则分别化简每一项，再合并同类项计算结果即可． 解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 【详解】解： ． 14. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《海岛算经》的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法活画树状图求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用表示， ∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下， 共有中等可能结果，其中恰好选中《海岛算经》的结果有种， ∴恰好选中《海岛算经》的概率为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象． （1）_____ ； （2）连接，若，则____． 【答案】 ①. 5 ②. 1或3 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． （1）首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解； （2）利用三角形面积公式求得，，即，代入，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：（1），， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故答案为∶5． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 故答案为：1或3． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 17. 如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先证明，，再利用证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 18. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 【答案】黄鹤楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴黄鹤楼的高度约为． 19. 我校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理，描述和分析（次数x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 a 众数 b 20 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）你认为该校八，九年级中哪个年级学生每月AI工具使用次数更多？请判断并说明理由； （3）若该校共有八，九年级学生共2000名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月AI工具使用次数不低于20次的学生总人数． 【答案】（1）20，28，40 （2）八年级学生每月工具使用次数更多，理由见解析 （3）1200人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等，正确理解题意是解题的关键． （1）用九年级C组人数除以总人数可得，根据中位数、众数的定义可得b，a； （2）根据两个年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数均大于九年级的中位数和众数可得结论； （3）用2000乘以样本中两个年级学生每月利用工具进行赋能学习次数不低于20次的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：九年级数据中C组数据有4个， ，即， 九年级A组数据个数为：，B组数据个数为：，C组中的数据是：20，20，21，24． 第5，6位数据分别是20，20， 九年级数据的中位数， 八年级数据中28出现的次数最多， 八年级数据的众数， 故答案为：20，28，40； 【小问2详解】 解：八年级学生每月工具使用次数更多， 理由如下：从平均数看，两个年级学生每月工具使用次数相同， 从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数， 从众数看，八年级众数大于九年级的众数， ∴八年级学生每月工具使用次数更多； 【小问3详解】 解：九年级D组的人生有：（人） 则（人） 答：该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数为1200人． 20. 如图，直线与双曲线交于点，点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 21. 如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质证明，进而可以得到结论； （2）连接，，推出，根据等腰三角形三线合一，推出，再运用解直角三角形性质求出，通过圆周角定理求出，根据解直角三角形性质分别求出、，然后根据三角形面积公式和中线性质、扇形面积公式分别求出，最后根据代入求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵等腰，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵为直径，， ∴，， ∵等腰，， ∴，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ． 22. 综合与实践：社区垃圾桶采购最优方案设计 一、问题的背景 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，朝阳社区决定购买两种型号新型垃圾桶，社区工作人员需要通过数学方法解决单价核算、方案设计和费用优化的问题． 二、材料与任务 材料一：单价信息 社区志愿者调查发现： 1．购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元； 2．购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：采购约束 社区需满足以下采购的要求： 1．两种型号的新型垃圾桶共采购个； 2．采购总费用不超过元； 3．型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请你根据上面提供的材料，帮助社区完成以下的任务． （1）任务一：计算两种型号的新型垃圾桶的单价； （2）任务二：提供有多少种购买方案； （3）任务三：设计最省钱的方案，并给出最低费用． 【答案】（1）型号新型垃圾桶单价为元，型号新型垃圾桶单价为元； （2）共有种购买方案； （3）最省钱的方案为购买型号垃圾桶个，型号垃圾桶个，最低费用为元． 【解析】 【分析】（1）先设两种型号的新型垃圾桶的单价分别为元和元，再根据材料一列出二元一次方程组求解即可； （2）先设两种型号的新型垃圾桶分别采购个和个，再根据材料二列出一元一次不等式组求解即可； （3）根据材料设购买两种型号的新型垃圾桶总费用为，据题意得，根据一次函数的性质结合（2）中的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：设两种型号的新型垃圾桶的单价分别为元和元， 据材料一得：， 将得：， 解得：， 将代入①中，得， 解得：， ∴， 答：型号新型垃圾桶单价为元，型号新型垃圾桶单价为元； 【小问2详解】 解：设两种型号的新型垃圾桶分别采购个和个， 据材料二得： 由①解得：， 由②解得：， 综上，， ∴， 答：可提供种购买的方案； 【小问3详解】 解：设购买两种型号的新型垃圾桶总费用为， 据题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∵ ∴当，有最小值，， ∴型号垃圾桶：(个)， 答：最省钱的方案为购买型号垃圾桶个，型号垃圾桶个，最低费用为元． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长， （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点； ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，进而推出，，即可证明； （2）利用相似三角形性质，以及直角三角形性质推出，利用勾股定理推出，进而得到，再利用相似三角形性质，以及勾股定理求解，即可解题； （3）①利用平行线性质，等腰三角形性质推出，再结合旋转性质，以及角的和差分析求证，即可证明； ②延长、相交于点，过点作于点，证明，设，则，结合全等三角形性质，勾股定理，以及等腰三角形性质分别求出，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质以及勾股定理是解题关键． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 证明①， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②延长、相交于点，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； （3）如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 【答案】（1） （2）点Q坐标，或或； （3）时，有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式； （2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， 可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为． 【小问1详解】 将，代入，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： 【小问2详解】 二次函数，当时， ∴点 设点，点， 当为边，为对角线时， ∵四边形为平行四边形， ∴，互相平分 ∴解得，（舍去）或 点Q坐标； 当为边，为对角线时， 同理得， 解得，或， ∴ ∴点Q坐标或 综上，点Q坐标，或或； 【小问3详解】 如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，同理可得 设直线的解析式为： 则，解得 ∴直线： 同理由点，，可求得直线 ： 设点，， 则，，， 中，， ∴， 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴； 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴ ∴， 即． ∵ ∴时，，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙市实验中学毕业年级3月素养检测 数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 年是农历丙午马年，的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一把直尺和一块含，角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B. “掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 C. 描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图 D. 调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查 7. 如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（ ） A. 以内 B. C. D. 以上 9. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（常数，且）．下列结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于且小于； 其中正确的结论的个数有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 13. 计算：的结果是________． 14. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《海岛算经》的概率为_____________． 15. 如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象． （1）_____ ； （2）连接，若，则____． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，．求证：． 18. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 19. 我校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理，描述和分析（次数x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 a 众数 b 20 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）你认该校八，九年级中哪个年级学生每月AI工具使用次数更多？请判断并说明理由； （3）若该校共有八，九年级学生共2000名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月AI工具使用次数不低于20次的学生总人数． 20. 如图，直线与双曲线交于点，点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在x轴上，，求点P的坐标． 21. 如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22. 综合与实践：社区垃圾桶采购最优方案设计 一、问题的背景 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，朝阳社区决定购买两种型号的新型垃圾桶，社区工作人员需要通过数学方法解决单价核算、方案设计和费用优化的问题． 二、材料与任务 材料一：单价信息 社区志愿者调查发现： 1．购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元； 2．购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：采购约束 社区需满足以下采购要求： 1．两种型号的新型垃圾桶共采购个； 2．采购总费用不超过元； 3．型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请你根据上面提供的材料，帮助社区完成以下的任务． （1）任务一：计算两种型号的新型垃圾桶的单价； （2）任务二：提供有多少种购买的方案； （3）任务三：设计最省钱的方案，并给出最低费用． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长， （3）如图3，过点作平行线交的延长线于点，连接交于点； ①求证：； ②当时，直接写出的值． 24. 如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； （3）如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $