精品解析：湖北省 荆州市东方红中学2025年3月质量检测九年级数学试题

荆州市东方红中学2025年三月质量检测 数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 2. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可． 【详解】解 ：， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3. 抛物线对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键．利用对称轴公式运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 4. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， 故选：B． 6. 抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大，进而由即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：． 7. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 8. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为：. 故选A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为F，则，先证明四边形是矩形，设，再用含x的式子表示出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为F，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 设， ∵，的直径为20， ∴，， ∴， 在中，∵，即， ∴（负舍）， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B，C在x轴，的面积为6，则k的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．如图作，由矩形的性质可知，设E点坐标为，则A点坐标为，根据点A，E在反比例函数上，根据反比例函数系数的几何意义可列出，根据三角形的面积可列出等式，进而求出k的值． 【详解】解：如图，作， ∵反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A， 则， 设E点坐标为，则A点的纵坐标为， 则可设A点坐标为， ∵点A，E在反比例函数上， ∴， 解得：，故， ∴， 故， 解得：， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键． 12. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．根据二次函数的平移性质求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是，即， 故答案为：． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可．本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵， ∴， ∵，的面积为8， ∴， 解得， 故答案：12． 14. 一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键．由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理即可得到直角三角形斜边的长． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得或， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D在斜边上，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，的平分线交于点F，连接，若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，进而得到，勾股定理算出，再证明，得出，，勾股定理算出，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 ，， 解得，． 17. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：AC•CD＝CP•BP． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】证明即可． 【详解】∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形判定相似的定理和性质是解题的关键． 18. 随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活．小琪利用无人机从点竖直上升到点，测得点到点的距离为，此时点的俯角为；后无人机到达点，此时测得点的俯角为．求无人机从点到点的平均速度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】无人机从点到点的平均速度． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 根据题意可得：结合平行线性质，从而可得，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：在中，， ，． 在中，， ， ， ， 无人机从点到点的平均速度． 19. 为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1），随机 （2）恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率． （1）直接利用概率公式，求解即可； （2）画出树状图，再利用概率公式求解即可． 掌握树状图法求概率，是解题的关键． 【小问1详解】 解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种， ∴，是随机事件； 故答案为：，随机； 【小问2详解】 画出树状图如图： 由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种， ∴． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解． 【小问1详解】 解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足， ∴不等式解集为或． 21. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米． 设米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米； 若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？ 【答案】（1），（2）米，长方形的面积为4000平方米 【解析】 【分析】（1）根据铁栅栏总长为180米可得CD的长，再根据矩形的面积公式可得四边形的面积； （2）根据题意列出关于x的一元二次方程，解之求得x的值，再依据两面墙的长度取舍即可得． 【详解】（1）设BC=x米，则CD=（180﹣2x）米．四边形ABCD的面积为x（180﹣2x）米2． 故答案为（180﹣2x），x（180﹣2x）； （2）由题意，得：x（180﹣2x）=4000 整理，得：x2﹣90x+2000=0 解得：x=40或x=50． 当x=40时，180﹣2x=100＞90，不符合题意，舍去； 当x=50时，180﹣2x=80＜90，符合题意． 答：BC=50米，长方形的面积为4000平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意表示出解题所需线段的长度，并依据矩形的面积公式列出关于x的方程． 22. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求及的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用圆周角定理推出即可求，利用∽可求出． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 ， 在中，由勾股定理得， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又四边形内接于， ∴， ∴∽， ∴， ∴ ∴， ∴，． 23. 在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到． （1）【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为__________； （2）【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）与之间的数量关系不变，，理由见解析 （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，利用等量代换即可得出答案； （2）通过证明，可得，即可解题； （3）根据题意分两种情况讨论，当旋转至直线上方时，当旋转至直线下方时，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：与之间的数量关系不变，，理由如下： 当时，， ，， 由勾股定理得：，同理， ， 由旋转得：，即， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ，， 由勾股定理可得：，， 绕点顺时针旋转至，，三点共线， ，，， ， 当旋转至直线上方时，如图，； 当旋转至直线下方时，如图，； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值； （3）过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围． 【答案】（1） （2）m的值为 （3）；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线对称轴为，由，则，根据四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可； （3）先求出，，分点P在y轴左侧，时，当点P在直线上方，时，当点P在y轴右侧下方，时，三种情况求出，利用矩形的性质得到，求和即可得到关系式；②由画出函数图象，利用图像法结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为：，且点P是抛物线上一动点，横坐标为m，则， 点Q与点P关于抛物线的对称轴对称， ， 四边形是平行四边形，， ， 解得：； 【小问3详解】 解：当点P在y轴左侧 ，轴， ， 令抛物线中，则， ， 如图，当点P在y轴左侧，时， 四边形是矩形， ，， ； 如图，当点P在直线上方，时， 同理得：，， ； 如图，当点P在y轴右侧下方，时， 同理得：，， ； 综上，， ②由知， 如图， 当的取值在函数的最大值与函数的最小值之间时，对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应， ，且， 当时，有最大值， 在时，随的增大而增大， 当时，有最小值， 时，对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质，矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆州市东方红中学2025年三月质量检测 数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 4. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 10. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B，C在x轴，的面积为6，则k的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到抛物线是______． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为_______． 14. 一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______． 15. 如图，在中，，点D在斜边上，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，的平分线交于点F，连接，若，则的长为_________． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC、AC边上点，且∠APD＝∠B．求证：AC•CD＝CP•BP． 18. 随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活．小琪利用无人机从点竖直上升到点，测得点到点的距离为，此时点的俯角为；后无人机到达点，此时测得点的俯角为．求无人机从点到点的平均速度．（结果精确到，参考数据：） 19. 弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，b均为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式解集． 21. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米． 设米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米； 若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？ 22. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求及长． 23. 在中，，，为上一点（不与端点重合），过点作交于点，得到． （1）【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为__________； （2）【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值； （3）过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$