精品解析：江西南昌新民外语学校2025-2026学年第二学期第一次月考高二数学试卷

新民学校2025—2026学年度第二学期第一次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟；分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知数列通项公式为，则17是这个数列的（ ） A 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 3. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知数列满足，（），则（ ） A. B. 9 C. 11 D. 13 5. 已知数列为正项等比数列，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 7. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（ ） A. 11 B. 19 C. 9 D. 21 8. 已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 10. 已知等差数列公差为，若，，则首项的值可能是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 11. 已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 若，，则 C. 若，则数列是递增数列 D. 若数列的前项和，则 三、填空题 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 13. 记等比数列的前项和为，若则的值为__________. 14. 已知数列的前项和公式为，则的通项公式为______． 四、解答题 15. 已知数列通项公式为． （1）试写出该数列的第3项和第8项； （2）问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列通项公式： （2）求． 17. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 19. 已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2025—2026学年度第二学期第一次月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟；分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设有. 2. 已知数列的通项公式为，则17是这个数列的（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 【答案】B 【解析】 【分析】由已知通项公式，令并求解，即可确定答案. 【详解】令，化为：，，解得， 故选：B． 3. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 由，得，得， 故． 4. 已知数列满足，（），则（ ） A. B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知数列是公差为的等差数列，则，再代入计算即可． 【详解】，， 数列是公差为的等差数列， ， ． 故选：C． 5. 已知数列为正项等比数列，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求解即可 【详解】由等比数列的性质可得，， 因,故. 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为.若，，则， 故， ，所以， 故. 7. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（ ） A. 11 B. 19 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列共项，利用等差数列求和公式表示所有奇数项的和与偶数项的和列方程，结合等差数列性质解方程求即可. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 8. 已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】借助等差数列及求和公式与等比数列定义可求出与，再利用为正整数计算即可得. 【详解】等差数列的公差， 则， 等比数列的公比，即， 令，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，的增长远快于，故无解； 故符合题意的的个数为. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 10. 已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，得，所以. 故选：BC. 11. 已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 若，，则 C. 若，则数列是递增数列 D. 若数列的前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答. 【详解】令等比数列的公比为，则， ，且，则是等比数列，故A正确； 由，，得，即，所以，故B错误； 由知，则，即，，所以数列是递增数列，故C正确； 显然，则，而，因此，，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】27 【解析】 【详解】依题意，. 13. 记等比数列的前项和为，若则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列前项和性质，仍成等比数列，再由等比中项的性质列方程求解即可． 【详解】由等比数列前项和的性质，仍成等比数列， 即成等比数列， ，解得． 故答案为：． 14. 已知数列的前项和公式为，则的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和公式为， 当时，， 当且时，， 满足. 故对任意的，. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列的通项公式为． （1）试写出该数列的第3项和第8项； （2）问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ 【答案】（1）， （2）20是该数列的第10项 【解析】 【分析】（1）根据给定的通项公式，赋值计算即得. （2）列出方程，求出正整数即可. 【小问1详解】 由，得，. 【小问2详解】 令，而，解得，所以20是该数列的第10项. 16. 已知等差数列前项和为，且，． （1）求数列的通项公式： （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由， 则，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则. 17. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 18 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，故； 【小问3详解】 ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 19. 已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）1，3； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义可得，进而求出. （2）由（1）的结论，利用求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由1，，成等比数列，得，所以，. 【小问2详解】 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知，， 则， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $