精品解析：2026年江苏扬州中学教育集团树人学校九年级中考第一次模拟考试数学试卷

扬州树人学校九年级第一次模拟考试 数学试卷 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 因式分解：______． 10. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 11. 已知，则______． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是____． 13. 如图，与正五边形边，分别交于点、，则劣弧所对的圆周角的大小为________. 14. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 15. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店客房有_____间． 16. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______． 17. 如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为______． 18. 如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 三、解答题 19. 计算与解不等式组： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 22. 春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏．将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是__________； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片．求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率__________．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) 23. 如图所示，一次函数图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的取值范围； （3）在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 24. 近日，许昌以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡．在曹魏古城景区，游客们穿上汉服，戴上簪花，穿梭于亭台楼榭之间，与古城相映成趣．景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元 （1）求A，B两种类型汉服的单价． （2）该商店计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍．请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少．并求出最少费用． 25. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接交于G，若，，求的值． 26. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； （3）若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． （1）如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； （2）如图2，若点，直线上存在点P使得为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州树人学校九年级第一次模拟考试 数学试卷 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 2. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； B. 是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项符合题意； C. 既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 4. 一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由图可得，，再利用三角形外角性质计算即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：． 5. 若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，有反比例函数解析式得出反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，结合即可得出答案． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， ， 故选：D． 6. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律．先根据题意求出点的坐标，再由所给旋转方式得出每旋转四次点对应点循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，是等边三角形．过点作的垂线，垂足为， 点坐标为， ， 则正方形的边长为2． ，． 在中， ， 点的坐标为． ∵， ∴每旋转四次点的对应点循环出现． ∵， ∴第2025次旋转结束时，点的对应点位置与点重合，如图， 作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质知，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的对应点坐标为． ∴第2024次旋转结束时，点的对应点坐标为． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 二、填空题 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法因式分解是关键，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 要使分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，可得分母不为零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则分母满足， 解得． 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入思想，解题的关键是将展开后，把作为一个整体代入计算． 先根据多项式乘法法则将展开，然后对展开式进行变形，再把已知条件代入变形后的式子进行计算． 【详解】解：， 已知，即，将其代入上式可得： ， 故． 故答案为：4． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 13. 如图，与正五边形的边，分别交于点、，则劣弧所对的圆周角的大小为________. 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先计算出正五边形的内角和，然后得到的度数，然后根据圆周角定理，求得答案． 【详解】解：五边形是正五边形， 其内角和为， ， ． 故答案为：． 14. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和周长得出相等的边，求出，利用勾股定理求出，证明是的中位线，得出，最后可求出三角形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长为． 15. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店客房有_____间． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可． 【详解】解：设该店有客房x间，根据题意得 ， 解得， 答：该店有客房8间． 故答案为：8． 16. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点，作于点，得到，，设正六边形的边长为，则，求出，得到，继而得到，，求得，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，作于点， ，， 设正六边形的边长为，则， ， 正六边形的一个内角为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 17. 如图，我国古代数学家赵爽“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆的性质． 设内切圆的圆心为O，连接、，则四边形为正方形，设直角三角形内切圆的半径为r，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，根据已知条件得，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于r的一元二次方程即可． 【详解】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接、， ， 则四边形为正方形， 设直角三角形内切圆的半径为r， ， ， ， ， ， 而， ①， 小正方形和大正方形的面积分别为49和289， ，， ②，负值舍去， 把代入①得，③， 把③代入②中，得： ， ， 负值舍去， 直角三角形内切圆的半径为3， 故答案为： 18. 如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据菱形性质得出和是等边三角形，从而，说明 A，B，C 在以 D 为圆心的圆上． 然后利用轴对称和等腰三角形性质计算角度，得出 ，确定 P 点轨迹． 最后确定 M 在起点 C 和终点 N 时 P 的位置，计算圆心角和弧长． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴点A，B，C在以D为圆心，6为半径的圆上， 由对称性可知，，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴点P在以D为圆心，6为半径的圆上． 当点M在点C时，点P与点C重合．当点M在点N时，N为中点，为等边三角形， ∴，，此时，， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点与点D重合，此时射线即为射线， ∵点P在上， ∴， ∴点P在的延长线上， ∵A，D，P共线，， ∴， ∴点P的运动路径长为． 三、解答题 19. 计算与解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （2）分别解出两个不等式的解集再求其公共解． 【小问1详解】 解：原式， 【小问2详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 则原不等式的解集为：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后代入计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 22. 春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏．将两张相同形状大小的卡片球上分别标上A哪吒、B敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上C太乙真人、D申公豹、E李靖，放入不透明的乙袋中． （1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是__________； （2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片．求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率__________．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种， ∴卡片人物恰好是哪吒的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种， ∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率为 23. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的取值范围； （3）在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 【小问2详解】 解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； 【小问3详解】 解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P坐标为． 24. 近日，许昌以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡．在曹魏古城景区，游客们穿上汉服，戴上簪花，穿梭于亭台楼榭之间，与古城相映成趣．景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元 （1）求A，B两种类型汉服的单价． （2）该商店计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍．请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少．并求出最少费用． 【答案】（1）A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元 （2）购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为67件，总花费最少为13350元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，以及一次函数的实际应用． （1）设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元，列出二元一次方程组求解即可． （2）设总费用为w， 购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件，根据题意得出，再列出w关于a的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元， 根据题意有：， 解得：， 故A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元． 【小问2详解】 设总费用为w，购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件， 且，则， 根据题意有：， 整理得：， ∵， ∴w随着a的增大而减小， 则当a取最大值33时，w取的最小值． 当时， ． 故购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为67件，总花费最少为13350元． 25. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接交于G，若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，进而利用平行线的性质证明切线即可． （2）首先通过求的长，再利用得到的长，最后利用求的值即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 【小问2详解】 如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，中位线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，借助相似找到边长的等量关系是解决问题的关键． 26. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）①见详解；②见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）①尺规作边的垂直平分线，得出中点，连接即可； ②尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，中线即为所求； ②如图，点即为所求； 理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； （3）若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题综合考查二次函数图象与几何性质，涉及一元二次方程解法、等腰三角形判定、三角形面积转化、相似三角形判定与性质等，融合代数运算与几何推理． （1）令，得，消去因式分解得，结合点在左侧，得、； （2）将抛物线化为顶点式得对称轴，令得，与关于对称，故，由轴得，又平分，故，即，用勾股定理列出方程求即可； （3）由，得，因两三角形共边，故，求得直线方程，联立抛物线方程解得，过、作轴垂线得，，由相似比得． 【小问1详解】 解：令，则， ∵，两边除以得， 因式分解得， 解得或， ∵点在点左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，得，故， ∵点与关于对称， ∴， ∴，． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得(舍去正值)， 故抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：由（1）（2）知，，，如图，过点作轴，过点作轴，连接． 设直线的方程为， 将代入得：，解得． ∵， ∴，即， ∵与有公共边，面积相等， ∴点、到直线距离相等，故， 设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为． 联立，得， 整理得，解得(对应点)或， 将代入得，故， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题核心是数形结合与转化思想，（1）侧重函数与方程转化，（2）巧用角与线段关系转化，（3）通过面积转化推导平行关系，最终利用相似求比值，需注意的符号细节． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． （1）如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； （2）如图2，若点，直线上存在点P使得为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内； ②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）分将P顺时针和逆时针旋转来讨论，思路是一样的先求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可，要注意的是建立的关于t的一元二次不等式是含有参数b的，再利用一元二次不等式要有解，判别式来求出b范围. 【小问1详解】 解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴等于半径，小于半径， ∴、分别在的内部和圆周之上，都符合关联三角形的定义， ∴，都是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴，， ∵， ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴． 【小问2详解】 解：设P点坐标为，由Q点可由顺时针或逆时针旋转得到，分类讨论： 当Q由顺时针旋转得到时，如图所示： 由（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 整理得， 若此时Q点存在，则此不等式一定要有解， ∴， 解得：； 当Q由逆时针旋转得到时，如图所示： 同理可得Q点的坐标为， 由勾股定理的得， 整理得， 同样的道理若要存在Q点，则此不等式要有解， ∴， 解得， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $