精品解析：山东省高密市第一中学卓越学院2025-2026学年高二下学期4月过程性考试数学试题

卓越学院 高二级部过程性考试 数学试题 2026.04.02 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A 2. 已知等比数列的公比为2，前项和为，若，则（ ） A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等比数列前项和公式求出首项，再代入前项和公式计算. 【详解】等比数列前项和公式：，代入，， 则，则. 故选：C 3. 某厂家为了解顾客对改进后产品的满意度，随机调查了相同数量的男、女顾客，经统计有的男顾客“不满意”，有的女顾客“不满意”，若有的把握认为性别与对产品是否满意有关，则调查的总人数可能为（ ） 参考公式：，其中．附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 150 B. 170 C. 240 D. 260 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出列联表，计算，即可求解. 【详解】设男、女顾客各有人，根据题意画出列联表，如下图： 满意 不满意 合计 男顾客 女顾客 合计 所以，因为有的把握认为性别与对产品是否满意有关， 所以，解得，所以总人数可能为：. 故选：C. 4. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分第1次按对和第2次才按对两种情况，利用条件概率公式和加法公式计算概率可得. 【详解】记“小王第一次按对”=, “第二次按对”, ,； 小王1次就按对的概率即为， 小王恰好需要2次才按对的概率. 所以小王不超过2次就按对的概率为. 故选：B. 5. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 6. 已知等差数列的前项和为，若，，且，则数列的前2024项和为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 4046 D. 4048 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出，再利用并项求和法求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由已知得，， 可得，解得，故， 若，故， 而数列的前2024项和为. 故选：D 7. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列与的项找到它们公共项的规律，即得数列的各项的规律，确定其通项公式，再用裂项求和的方法即可求得答案. 【详解】数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即， 故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即， . 故选：A. 8. 我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第n-1次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的事件，由互斥事件及独立事件同时发生的概率公式计算，得出递推关系，利用构造等比数列求出通项公式，再由单调性求最值即可. 【详解】由题意知，第n次推送时不购买此商品的概率， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 显然单调递减，所以当时，， 所以即M的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分 9. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B相互独立 D. 记C的对立事件为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用列举法将三人抛掷硬币的结果一一列举，再结合古典概型、独立事件、互斥事件、对立事件及条件概率公式一一判定选项即可. 【详解】由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）八种 情况，显然事件A为中间六种情况，事件B为后四种情况，事件C为最后一种情况. 对于A选项，易知，故A错误； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，易知，故C正确； 对于D选项，易知，故D正确. 故选：CD 10. 若数轴的原点处有一个质点，每隔一秒等可能的向左或向右移动一个单位，则下列结论正确的是（ ） A. 两秒后质点的坐标为2的概率为 B. 四秒后质点的坐标为0的概率小于质点的坐标为2的概率 C. 设三秒后质点的坐标为随机变量X，则 D. 设n秒后质点的坐标为随机变量Y，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】逐项分析每种情形下质点运动的方式，根据独立事件乘法公式以及方差和均值的定义计算即可. 【详解】对于A，2秒后质点的坐标为2的概率为 ，故A正确； 对于B，若4秒后质点坐标为0，其运动方式为，，，，，，其概率为 ； 若4秒后质点的坐标为2，其运动方式为 ， ，，，其概率为；故B错误； 对于C，3秒后，质点的运动方式为： 或者 ， ， ， ， ， , =3，故C正确； 对于D，X的可能取值为： ， 并且有 ，∴ ， 故D正确； 故选：ACD. 11. 黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由即可举出反例，对于B，首先得，利用作差法即可判断；对于CD，利用数学归纳法即可证明. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，所以是既约分数，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 若当时，成立， 则时， ，故C正确； 对于D，当时，， 若当时，成立， 则时，， 要使， 而，， 只需，只需，显然， 故只需， 当时，该式子为，显然成立， 若当时，有， 当时， ， 从而对任意正整数均有， 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：再利用数学归纳法以及分析法可知只需证明对任意正整数均有成立即可，再次利用数学归纳法即可顺利得解. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知结合等差数列基本量的计算、等差数列的性质得，进一步结合等差数列基本量的计算列方程即可求解. 【详解】设的首项、公差分别为，则， 所以， 因为，所以. 故答案为：12. 13. 2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率知识即可求解. 【详解】我们不妨把勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三个东西， 例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位， 一开始的状态有六种情况，我们用表示一次调换， 那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：， 第二种初始状态下的变换过程为：， 第三种初始状态下的变换过程为：， 第四种初始状态下的变换过程为：， 第五种初始状态下的变换过程为：，（本质上没有调换）， 第六种初始状态下的变换过程为：， 从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况， 在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是（对应的初始状态是第二种初始状态）， 故所求概率为. 故答案为：. 14. 如图，将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素，记作，如第2行第4列的数是15，记作，则有序数对是____________. 【答案】(985,211) 【解析】 【分析】根据已知图形中数的排列的次序，归纳后分析出数的排列规律，当为奇数时，第列及第行的数据将按从上到下，从右到左的顺序排列，当为偶数时，第列及第行的数据将按从左到右，从下到上的顺序排列，即可找到求某行某列数的方法，从而可求得答案. 【详解】观察图表可知，当为奇数时，第列及第行的数据将按从上到下，从右到左的顺序排列， 即逐渐增大，且， 当为偶数时，第列及第行的数据将按从左到右，从下到上的顺序排列， 即逐渐增大，且， 所以，， 所以， 因为由图表可知第32行的数第一个数开始连续32个依次增加1，第15行的数第一个数开始连续15个依次减小1， 所以，， 所以是(985,211)， 故答案为：(985,211) 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的实际应用和归纳推理的解题方法，解题时注意分析数的规律，由此确定关键数据的位置是解题的关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业统计了近5年的年销售额y（百万元）与年份x相关数据，如下表： 年份x 2017 2018 2019 2020 2021 年销售额y（单位：百万元） 76 83 89 95 100 （1）依据表中的统计数据，求年销售额y关于年份x的回归直线方程； （2）将2017年记作第1年，根据（1）的结果，若第年投入的保管费z满足关系式，请预测第几年的保管费最少？并求出该最小值．（参考数据：） 附：回归直线方程的斜率，截距． 【答案】（1） （2）第9年的保管费最少，该最小值为1.66百万元 【解析】 【分析】（1）令，设y关于年份t的回归直线方程为，由题目分析可求得，则即可求出销售额y关于年份x的回归直线方程； （2）由（1）中方程代入可得：，令，则，由二次函数的性质即可求出答案. 【小问1详解】 令，列表得 x 2017 2018 2019 2020 2021 1 2 3 4 5 y 76 83 89 95 100 设y关于年份t的回归直线方程为， 则， 所以， ， 所以y关于t回归直线方程为， 故y对x回归直线方程为． 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 令，则， 所以当，即，z有最小值1.66， 故预测第9年的保管费最少，该最小值为1.66百万元． 16. 为保证考试网上评卷的公平、公正、准确，某次考试制定了如下阅卷规则：每份试卷先由两名评卷人员（一评和二评）进行评分，两名评卷人员的评分相互独立．若两名评卷员所给分数差小于等于1分，则取两评卷员的平均分为最终得分；若两名评卷员所给分数差大于1分，则由第三个人（三评）评阅，当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值不相等时，取三评分数和一、二评接近的分数的平均分为最终得分；当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值相等时，取一、二评分数中的较高分数和三评分数的平均分为最终得分．本次考试共设6道试题，每题均为12分，阅卷过程中由于考生答题不规范导致评卷员的评分出现偏差，12分的试题评分为11分的概率为，评分为10分的概率为，评分为9分的概率为． （1）若某考生某道试题答题不规范，求该考生此题最终得分X的分布列及数学期望； （2）若考生甲6道试题答题都不规范；考生乙前4道试题均得满分，第5道试题答题不规范，第6道试题得6分． ①求考生甲得9.5分或10分的题目总数为3的概率； ②请以甲、乙两位同学的总分均值为依据，谈谈你对“答题不规范”的理解． 【答案】（1）X的分布列为 X 9 9.5 10 10.5 11 P （2）①； ②由题意可知，甲同学得分的均值为，乙同学得分的均值为． 显然，乙同学得分均值更高，所以“在做题过程中要规范作答，尽量避免不规范解答”的出现． 【解析】 【分析】（1）根据评分规则可知，随机变量X的取值为9，9.5，10，10.5，11．再分析一评、二评、三评所打的分数，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值对应的概率即可得出分布列，进而求得数学期望. （2）①“与”为事件A，6次试验中事件A发生的次数，得9.5和10的题目总数和为3相当于事件A恰好发生3次，然后结合二项分布求概率即可. ②依次求出甲、乙两位同学得分的均值，通过比较均值的大小，即可描述出对“答题不规范”的理解. 【小问1详解】 根据题意，随机变量X的取值为9，9.5，10，10.5，11． 设一评、二评、三评所打的分数分别是x，y，z， ， ， ， ， ， 故X的分布列为 X 9 9.5 10 10.5 11 P . 【小问2详解】 ①记“与”为事件A，6次试验中事件A发生的次数，得9.5和10的题目总数和为3相当于事件A恰好发生3次， 故概率为． ②“在做题过程中要规范作答，尽量避免不规范解答”的出现，理由略. 17. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. （1）求摸出的球是黑球的概率； （2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【答案】（1） （2）该球取自乙箱的可能性更大 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率； （2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论. 【小问1详解】 记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则， 由全概率公式得： . 【小问2详解】 该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率 该球取自乙箱的概率 因为所以该球取自乙箱的可能性更大. 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】（1） ，，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）； （3）存在，，理由如下： 由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可. （3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . 【小问3详解】 略 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 19. 设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，和 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，可求得. （2）利用错位相减法，得到， 然后得到， 然后利用单调性进行放缩讨论，可证明题设成立. 【小问1详解】 当时，得； 当时，， 两式相减得， 所以是以1为首项，为公比的等比数列. 所以. 【小问2详解】 ① 设， 所以， 上面两式相减得， 所以 所以， 所以. ② 因为都是递减数列； 所以； 则， 令，即恒成立， 所以数列单调递增， 当时，； 则 所以； 当时，； 则， 所以，，成立，解得，存在； 当时，； 当时，；不满足题意，故不存在： 综上所述，当正整数对取和时，成立. 【点睛】关键点睛：由，结合单调递减； 得到：，进而结合的单调性，通过，， 讨论求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越学院 高二级部过程性考试 数学试题 2026.04.02 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.1 2. 已知等比数列的公比为2，前项和为，若，则（ ） A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 3. 某厂家为了解顾客对改进后产品的满意度，随机调查了相同数量的男、女顾客，经统计有的男顾客“不满意”，有的女顾客“不满意”，若有的把握认为性别与对产品是否满意有关，则调查的总人数可能为（ ） 参考公式：，其中．附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 150 B. 170 C. 240 D. 260 4. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，若，，且，则数列的前2024项和为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 4046 D. 4048 7. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分 9. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B相互独立 D. 记C的对立事件为，则 10. 若数轴的原点处有一个质点，每隔一秒等可能的向左或向右移动一个单位，则下列结论正确的是（ ） A. 两秒后质点的坐标为2的概率为 B. 四秒后质点的坐标为0的概率小于质点的坐标为2的概率 C. 设三秒后质点的坐标为随机变量X，则 D. 设n秒后质点的坐标为随机变量Y，则 11. 黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______． 13. 2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________. 14. 如图，将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素，记作，如第2行第4列的数是15，记作，则有序数对是____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业统计了近5年的年销售额y（百万元）与年份x相关数据，如下表： 年份x 2017 2018 2019 2020 2021 年销售额y（单位：百万元） 76 83 89 95 100 （1）依据表中的统计数据，求年销售额y关于年份x的回归直线方程； （2）将2017年记作第1年，根据（1）的结果，若第年投入的保管费z满足关系式，请预测第几年的保管费最少？并求出该最小值．（参考数据：） 附：回归直线方程的斜率，截距． 16. 为保证考试网上评卷的公平、公正、准确，某次考试制定了如下阅卷规则：每份试卷先由两名评卷人员（一评和二评）进行评分，两名评卷人员的评分相互独立．若两名评卷员所给分数差小于等于1分，则取两评卷员的平均分为最终得分；若两名评卷员所给分数差大于1分，则由第三个人（三评）评阅，当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值不相等时，取三评分数和一、二评接近的分数的平均分为最终得分；当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值相等时，取一、二评分数中的较高分数和三评分数的平均分为最终得分．本次考试共设6道试题，每题均为12分，阅卷过程中由于考生答题不规范导致评卷员的评分出现偏差，12分的试题评分为11分的概率为，评分为10分的概率为，评分为9分的概率为． （1）若某考生某道试题答题不规范，求该考生此题最终得分X的分布列及数学期望； （2）若考生甲6道试题答题都不规范；考生乙前4道试题均得满分，第5道试题答题不规范，第6道试题得6分． ①求考生甲得9.5分或10分的题目总数为3的概率； ②请以甲、乙两位同学的总分均值为依据，谈谈你对“答题不规范”的理解． 17. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. （1）求摸出的球是黑球的概率； （2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 19. 设数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $