精品解析：福建龙岩市上杭县第一中学2025-2026学年度第二学期第一次月考高二数学试题

2025-2026学年度第二学期第一次月考 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题 : 本大题共 8个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40分. 在每个小题给出的四个选项中 ， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知函数可导，且满足，则函数在处导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】因为, 所以, 故选:A. 2. 如图，在三棱锥中，是中点，点在上，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】由可得， 令可得，即. 故选：D 4. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 5. 函数在内不单调，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题设得，根据内不单调，必有，即可求参数范围. 【详解】由题设，， ∴，， ∵在内不单调， ∴，可得. 故选：A 6. 若函数图象如图所示，则图象可能（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据原函数的单调性与导函数的正负的关系，及导数的几何意义，逐一分析选项，即可得答案 【详解】由图象可得：在上，在上， 根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数，在上为减函数，可排除A、D， 且在x=0处，，即在x=0处，的切线的斜率为0，可排除B， 故选：C 7. 定义在上的函数的导函数为.若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据导函数得单调性，利用单调性求解不等式的解集． 【详解】为奇函数，则即， 令，则， ∴在R上单调递减，， 又的解集等价于的解集， ∴的解集为. 故选：B. 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，，设，其中， 所以，，则点到直线的距离： . 设，因为，所以，则. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：D 二、多选题 : 本大题共 3个小题 ， 每小题 6 分 ， 共 18分. 在每个小题给出的四个选项中 ， 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分 ， 部分选对的按比例得分 ， 有错选的得 0 分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 10. 给出下列命题，其中错误的是（ ） A. 若空间向量，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示判断A；根据向量共线定理判断B；求出向量在向量上的投影向量，判断C；求出点关于平面对称的点的坐标，判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 故选：BCD. 11. 关于函数，下列判断正确的是（　　） A. 是的极小值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，，且，若则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断； B：求函数的导数，结合函数单调性和零点个数进行判断即可； C：利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，结合函数的单调性和极值进行判断即可； D：令，求函数的导数，结合函数的单调性进行证明即可. 【详解】A：函数的定义域为，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴是的极小值点，即A正确； B：， ∴，函数在上单调递减，且， ∴函数.有且只有1个零点，即B正确； C：若恒成立，即恒成立. 令，则， 令，则， 当时，，当时，， ∴在上，函数单调递增，上函数单调递减， ∴，∴， ∴在上函数单调递减，函数无最小值， 当时，， ∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确； D.由单调性可知，，， 令，则，， 令， 则， ∴在上单调递减，则， ∴时， 令，由，得， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】(1)已知函数极值点或极值求参数的2个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. ②验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. (2)判断函数零点个数的3种方法 直接法：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数 图像法：转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可 定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 (3)利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： ①将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式． ②求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值． ③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围． (4)破解含双参不等式证明题的3个关键点 ①转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式. ②巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值. ③回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 三、填空题 : 本大题共 3个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 15 分. 12. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ∵在长方体中，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题. 13. 已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，该方程有解，故， 该不等式对任意恒成立，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 即的最小值为. 14. 已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求得的单调区间、极值，画出其大致图象，由此求得的取值范围. 【详解】令，有三个零点即与有三个交点，，在和上单调递减，在上单调递增，且， 的极大值为，极小值为. 结合图象与有三个交点，即，∴. 故答案为： 四、解答题 : 本大题共 5个小题 ， 共 77分. 15. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，. （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直判定可知平面，由线面角定义知所求角为，由长度关系可得结果； （2）过作，由面面垂直的判定与性质可知即为所求距离，利用面积桥可求得结果. 【小问1详解】 平面，平面，，； 是圆的直径，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， ，，，又， ，即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 过作，垂足为， 由（1）得：平面，平面，平面平面， 又平面平面，平面，，平面， ，， 根据等面积法知：，， 即到平面的距离等于. 16. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求、的值； （2）当，时，求函数单调减区间和最值. 【答案】（1）；（2）单调递减区间为，的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值； （2）求得，，列表分析函数的单调区间和极值，并求出、的值，即可得出函数在上的减区间和最大值、最小值. 【详解】（1）因为，则， 由题意得，即； （2）当时，，则， 列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，当时，函数的减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 又因为，， 因此，函数，. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在内存在两个极值点，求实数a取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为：和，单调递减区间为： （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）首先求函数的导数，并化简为，，再讨论的取值，结合函数的单调性，判断函数极值点的个数，从而求解实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为 令，得或， 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为： 【小问2详解】 ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去． ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符． ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符． ④当时，， 故在上单调递增，无极值点，舍去． ⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去． 综上可得：或 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果． 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 19. 已知函数，其中. （1）当时，函数的单调性； （2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时. 【答案】（1）增区间是和；减区间是 .（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）求导函数，结合定义域由得递增区间，由得递减区间； （2）依题意得，进而可得，设，，通过导数证明即可得证. 【详解】（1）当时，，， 因为，所以由得或；由得， 所以，的增区间是和；减区间是. （2）， 设在区间上存在零点为，则， 在上单调递减，在上单调递增， 故， 设，，则， 设，，则，所以单调递减， 又，故在上恒成立，故单调递减. 所以，故当时，. 【点睛】关键点点睛：第（2）问主要考查利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次月考 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题 : 本大题共 8个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40分. 在每个小题给出的四个选项中 ， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若不能构成空间一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 5. 函数在内不单调，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若函数图象如图所示，则图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数的导函数为.若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 : 本大题共 3个小题 ， 每小题 6 分 ， 共 18分. 在每个小题给出的四个选项中 ， 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分 ， 部分选对的按比例得分 ， 有错选的得 0 分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B C. D. 10. 给出下列命题，其中错误的是（ ） A. 若空间向量，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 11. 关于函数，下列判断正确是（　　） A. 是的极小值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，，且，若则 三、填空题 : 本大题共 3个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 15 分. 12. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 13. 已知，对任意，关于方程有实数解，则的最小值为______. 14. 已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是_______________. 四、解答题 : 本大题共 5个小题 ， 共 77分. 15. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，. （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）求点到平面的距离. 16. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求、的值； （2）当，时，求函数单调减区间和最值. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在内存在两个极值点，求实数a取值范围． 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数，其中. （1）当时，函数的单调性； （2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $