2026年上海市虹口区中考数学模拟练习卷

2026年上海市虹口区中考数学模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.单项式的系数和次数分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况由字母的取值确定 4.如图，正方形内接于，点在上，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为，则直线与圆的位置关系是(    ) A. 相离 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相离或相切 6.如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为下列四个命题： 当时，； 若，则； 抛物线上有两点和，若，且，则； 点关于抛物线对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 7.分解因式：______． 8.函数中，自变量的取值范围是______． 9.方程的解是______． 10.小林和小希各进行次一分钟跳绳训练，经统计，两人的平均成绩相同，方差分别为，，则成绩更为稳定的是        ． 11.经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么某辆汽车经过这个十字路口，恰好向左转的概率是______． 12.若，则 ______． 13.已知是抛物线上的一点，且满足，如果使用的值定义抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为      ． 14.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内楼与之间的距离的长为        结果精确到参考数据：，，， 15.在绘制频数分布直方图时，一个容量为的样本最大值是，最小值是，取组距为，则可以分成的组数是           组 16.如图，已知梯形中，，对角线，交于点，设，，则______用含、的式子表示． 17.已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，则下列结论中正确的是：______；；；把所有正确结论的序号都填在横线上 18.如图，在长方形纸带中，，将纸带沿折叠后，再沿折叠．那么折叠后的图形中的度数是__________ 三、计算题：本大题共2小题，共6分。 19.计算：． 20.解方程：． 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 已知函数，其中与成反比例，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当或，的值均为． 请对该函数及其图象进行如下探究： 求该函数的解析式； 函数图象探究：根据解析式完成下表： ______ ______ 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的大致图象； 结合画出的函数图象，解决问题： 若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______，此时，的取值范围是______． 22.本小题分 如图，为线段的中点，，求证：． 23.本小题分 如图，在▱中，以点为圆心、长为半径画弧，交于点，在上截取，连接． 求证：四边形是菱形； 请只用无刻度的直尺在▱内不含边界找一点，使标出点的位置，保留作图痕迹，不写作法； 在的条件下，点是中点，连接并延长至点，使，请先画出四边形的示意图，然后在，时，求四边形的面积． 24.本小题分 已知：如图，在菱形中，对角线、交于点，点是中点，联结并延长，交的外角的平分线于点． 求证：； 联结，如果求证：四边形是正方形． 25.本小题分 如图，等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴上，连接，以为腰作等腰直角，其中若点的横坐标为，且． 用含有的式子表示线段的长直接写出结果； 如图，若，连接，求点的坐标以及的度数； 如图，延长交轴于点，连接，过点作轴于点猜想线段，，的数量关系，并证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市虹口区中考数学模拟练习卷 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8. 且  9.   10. 小林  11.   12.   13.   14.   15.   16.   17.   18.   19. ．  20. 解：整理，得：， 方程两边同时乘以，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化，得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解．  21. 解：设，，则， 由题意得：，解得：， 该函数解析式为， ； 在平面直角坐标系中描点，画出图象． ； 或  22. 证明：点是的中点， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ．  23. 证明：在▱中，有， ， 四边形为平行四边形， 由作图得：， ▱为菱形； 点即为所求； 点是中点， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形是菱形， ， ▱为矩形， ， ， ，， 四边形的面积为：．   24. 证明：四边形是菱形， ，， 平分， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ； ， ， 又， ∽， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形， ， 由知，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形．  25. 解：等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，点，． 点坐标为，， 点的横坐标为，且． ； 如图所示，作于， 为等腰直角三角形， ， 即， ， ， 又， ≌， ，， ， ， ，即， ， ， ， ； 点的横坐标为，， ， ， 点的坐标为； ． 证明：在上截取，连接， ， ， ， ≌， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ≌， ， ．  【解析】 1. 解：，所以选项不符合题意； B.，所以选项不符合题意； C.，所以选项符合题意； D.，所以选项不符合题意； 故选：． 根据同底数幂的乘法法则和负整数指数幂的意义对选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对选项进行判断；根据幂的乘方运算法则对选项进行判断；根据积的乘方运算法则对选项进行判断． 本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，即是正整数，也考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方． 2. 解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，． 故选：． 根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 3. 解： ， ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 先计算判别式的值得到，再利用非负数的性质得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 解：如图，正方形内接于，连接，，    ，  ，  故选：． 连接，，由正方形的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 此题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，圆周角定理，解答本题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. 解：圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 直线与圆有交点 当圆心与该点的连线垂直于该直线时，由切线的判定定理可知，直线与圆相切； 当圆心与该点的连线不垂直于该直线时，则由垂线段最短， 可知圆心到该直线的距离小于，从而直线与圆相交． 故选：． 分类讨论：圆心与该点的连线垂直于该直线；圆心与该点的连线不垂直于该直线．结合切线的判定定理及垂线段最短，直线和圆的位置关系等，即可作出判断． 本题考查了直线与圆的位置关系，明确切线的判定定理及点到直线的距离和直线与圆的位置关系等，是解题的关键． 6. 解：当时，函数图象过第一、四象限，当时，；当时，，故此命题是假命题； 对称轴为，当时有， 解得，故此命题是真命题； ，， ， 点距离对称轴比点距离对称轴远， 又抛物线开口向下， ，故此命题是真命题； 如图，作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，与的和即为四边形周长的最小值． 当时，二次函数的顶点坐标为，则，点坐标为，则，； 则，． 四边形周长的最小值为，故此命题是假命题． 故选：． 根据二次函数所过象限，判断出的符号即可判断；根据、关于对称轴对称，求出的值即可判断；根据，，得到，从而得到点距离对称轴较远，进而判断出，即可判断；作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，与的和即为四边形周长的最小值，求出、、、的坐标即可解答． 本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键． 7. 解：． 故答案为：． 直接找出公因式，进而提取公因式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 8. 【分析】 本题考查的是函数自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可得到答案． 【解答】 解：根据二次根式有意义，分式有意义得， 且， 解得且， 所以的取值范围是且． 故答案为且． 9. 解：两边平方得到， 解得， 经检验是原方程的解， 所以原方程的解为． 先把无理方程化为整式方程得，再解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解． 本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 10. 解：，， ， 小林的成绩更为稳定， 故答案为：小林． 方差越小，表明数据的波动越小，数据越稳定，据此即可作答． 本题考查了方差的意义，掌握方差越小，表明数据的波动越小，数据越稳定，是解答本题的关键． 11. 【分析】 此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 让左转的可能性除以通行可能的总数即为所求的概率． 【解答】 解：经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转，共有三种大小相同的可能性，所以恰好左转的概率是． 故答案为． 12. 解：设，则原式可化为， 即， 解得：舍去，， 故有：． 故答案为：． 此题可用换元法求解．设，则原式可化为，然后求得的值． 解答此类题目的关键是把看做一个整体，解得结果时要验根，看是否符合原方程． 13. 解：， ，， 根据题意得，， 整理得，， 解得或， ， ， ， ， ， 抛物线的“开口大小”为． 故答案为：． 首先配方得到，求出，，然后根据题意得到，求出或，然后结合得到，然后代入求解即可． 此题考查了二次函数的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意． 14. 解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，，，， 是的一个外角，，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 楼与之间的距离的长约为， 故答案为：． 延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15. 解：极差为， ， 所以可以分成的组数是组， 故答案为：． 用极差除以组距，再进一即可得出答案． 本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握组数的确定方法． 16. 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理． 由相似三角形的性质可求，根据平面向量定理即可表示． 【解答】 解：， ∽， ， ， ，即 ，，与同向， ， ， ． 17. 解：， ， 即：， ，， ≌， ， 故正确； ≌， ， ， ， ， 则，故正确； 为等腰直角三角形， ， ， ，故正确； ， 由圆周角定义可得，正确； 故答案为：． 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质解答即可． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 18. 【分析】 此题考查了翻折变换，要充分利用长方形纸条的性质和翻折不变性解题．从变化中找到不变量是解题的关键根据长方形纸条的特征---对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减掉即可得的度数． 【解答】 解：如图，延长到， 由于纸条是长方形，， ，  根据翻折不变性得， ， 又， ， ． 又， ， 根据翻折不变性，图中的和图中的相等， ． 故答案为． 19. 解：原式    ． 把度角和度角的正弦值，度角的余弦值代入，计算即可． 本题考查特殊角的三角函数值，关键是熟记特殊角的三角函数值． 20. 将原方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验． 本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤准确计算是解题关键，注意分式方程结果要进行检验． 21. 解：见答案； 把代入得，； 把代入得，； 见答案； 观察图象得：，图象最低点为， 当直线与该图象有两个交点时，， 此时的范围是：或． 故答案为：，或． 用待定系数法设，，则，将已知条件代入得关于、方程组，即可求得该函数解析式； 把，分别代入代入，即可求得对应的函数值，在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象； 观察图象，得出结论． 本题考查了待定系数法求函数解析式，正确画出函数图象、数形结合是解题的关键． 22. 根据题意证明≌，得到，借助平行线的判定即可解决问题． 该题主要考查了平行线的性质与判定、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质与判定、全等三角形的判定等几何知识点是灵活运用、解题的重要基础． 23. 根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明； 根据“菱形的对角线互相垂直”作图； 先证明四边形是矩形，再根据矩形的面积公式求解． 本题考查了复杂作图，掌握菱形、矩形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 根据菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质可得，再根据角平分线定义得，即可证明结论； 首先证明∽，得，则，可知四边形是正方形，得出，从而证明结论． 本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 25. 详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $