精品解析：云南怒江州兰坪白族普米族自治县第一中学等校2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并运算的定义，结合已知条件，直接写出结果即可. 【详解】因为，，故. 故选：B. 2. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（ ） A. A包含B B. A与B互斥 C. A与B互为对立 D. A与B相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【详解】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式及等差中项的性质可得. 【详解】因为等差数列的前n项和为，且， 由前n项和公式得，得. 4. 已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由图可得在上有2个变号零点，所以在上的极值点个数为2. 5. 若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切函数的对称中心为，即每隔半个周期就有一个对称中心. 【详解】因为函数图象的两个对称中心之间距离的最小值为， 设的最小正周期为T，则，得. 由，， 得，， 所以的单调递增区间为,（）. 6. 已知是双曲线（，）的右焦点，且到的渐近线的距离为3a，则的离心率为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】表示出渐近线方程，利用点到直线的距离公式得到，从而求出离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为且， 由题意得，双曲线的渐近线方程为，即. 由，得，所以的离心率. 7. 已知奇函数在上单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性及单调性判断即可求解. 【详解】由题意得在上单调递增. 因为， 所以. 又，所以，所以. 故. 8. 若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设AB，的中点分别为D，E，连接CD，OD，OE，， 设，则. 因为，所以. 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，曲线C：，则下列判断正确的是（ ） A. 若C是圆，则与共线 B. 若C是圆，则与不共线 C. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 D. 若，则C是焦点在y轴上的椭圆 【答案】AD 【解析】 【详解】，， 若C是圆，则，解得，则，， 此时，与共线，故A正确； 若，则，解得，则，， 此时，所以C是焦点在y轴上的椭圆，故D正确. 10. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 数列的前n项和小于 【答案】ABD 【解析】 【详解】当时，，A正确. 当时，（也成立）， ，所以是首项为，公比为2的等比数列，故B正确. 因为，，所以，故C错误. 因为， 所以数列的前n项和为，故D正确. 11. 已知函数且，，则（ ） A. B. 的值可能为 C. 的取值范围是 D. 关于x的方程至多有13个不同的根 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，的图象如图所示.由图可知，，A正确. 对于B，由图可知，，， 则，，当且仅当，时，等号成立. 因为，所以，B错误. 对于C，设，则.由，得，得， 因为，，所以的取值范围是，C正确. 对于D，令，则至多有5个不同的根，此时，有5个不同的根. 设这5个不同的根从小到大分别为，，，，，则. 由图可知，均有5个不同的根，，，均有1个根， 所以关于x的方程至多有13个不同的根，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算法则直接化简求解即可. 【详解】. 13. 在数列中，，，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】计算可得该数列周期，利用周期性质即可得解. 【详解】因为，，，， 所以数列的周期为4，故. 14. 如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥，结合图形，求出其高，即可得出体积函数，利用导数判断单调性，求得极值即可得出结果. 【详解】由题意及正四棱锥的性质可知，作平面于， 设该容器的底面边长为cm（），则，， 则该容器的高为cm，设该容器的容积为， 则. 设函数（），得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：如图，连接. ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵平面，平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，进而利用线面平行的判定定理得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后利用向量的夹角公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 得，. 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，得平面的一个法向量为. 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 16. 在一个文艺比赛中，名观众代表和名专业人士各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两组评委对同一名选手的打分如表所示． 小组A 75 83 80 78 84 小组B 70 75 80 85 90 （1）从小组A的5个分数中随机抽取2个分数，求抽取的2个分数中恰有1个大于80的概率； （2）分别求小组A与小组B评委打分的方差，并据此判断小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的小组. 【答案】（1） （2）小组A的方差为，小组B的方差为，小组A更像是由专业人士组成的小组 【解析】 【分析】（1）利用古典概型（总数为分母，符合条件数为分子）解答； （2）先算平均数，再套方差公式，最后用方差越小，数据越稳定的意义判断． 【小问1详解】 这个试验的样本空间 ，共包含10个样本点． 设事件“抽取的2个分数中恰有1个大于80”，则 ，共包含6个样本点， 所以． 【小问2详解】 小组A的平均数， 小组B的平均数为， 小组A的方差为， 小组B的方差为， 因为，且专业人士打分通常更稳定， 所以小组A更像是由专业人士组成的小组. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：. （2）若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】（1） 由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2） 【解析】 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 18. 已知函数，. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，得到，求得，分和，两种情况讨论，即可求得的单调区间； （3）求得，令，求得，结合，，得到存在唯一的零点，得出的单调性，得到，再由，得到，令，结合的单调性，得到，进而求得的最小值. 【小问1详解】 由函数，可得，可得且， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由函数，可得，则， 若，则，在上单调递增. 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由函数，， 可得，则， 令，可得， 所以在上单调递增. 因为，， 所以存在唯一的零点，且， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，所以， 由，可得， 可得， 所以. 令函数，可得，所以在上单调递增， 又由，可得，则， 所以. 19. 如图，已知点，抛物线C：，过点作斜率为k（）的直线，与的另一个交点为，关于轴的对称点为，设（）. （1）当时，求的坐标. （2）证明：是等差数列. （3）记的面积为，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2） 设直线：（），易得，. 由，得，为该方程的两根， 则. 因为，所以. 故是首项为，公差为的等差数列. （3）. 【解析】 【分析】（1）设出的方程，联立抛物线方程，求得，再根据在抛物线上，求得即可； （2）设出方程 ，联立抛物线方程，得到，求得为定值，即可证明； （3）先推导在，的前提下，；再根据（2）中所证，求得，再求其前项和即可. 【小问1详解】 当时，：，即. 根据对称性，由，得. 由，得， 分别为该方程的两根，故，即， 又，所以的坐标为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对平面上不共线的三个点，，，设，， 则 . 因为，所以. 由题意得， ， 所以 . 故数列的前n项和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（ ） A. A包含B B. A与B互斥 C. A与B互为对立 D. A与B相互独立 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 6. 已知是双曲线（，）的右焦点，且到的渐近线的距离为3a，则的离心率为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 已知奇函数在上单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，曲线C：，则下列判断正确的是（ ） A. 若C是圆，则与共线 B. 若C是圆，则与不共线 C. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 D. 若，则C是焦点在y轴上的椭圆 10. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 数列的前n项和小于 11. 已知函数且，，则（ ） A. B. 的值可能为 C. 的取值范围是 D. 关于x的方程至多有13个不同的根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 在数列中，，，则_____. 14. 如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 在一个文艺比赛中，名观众代表和名专业人士各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两组评委对同一名选手的打分如表所示． 小组A 75 83 80 78 84 小组B 70 75 80 85 90 （1）从小组A的5个分数中随机抽取2个分数，求抽取的2个分数中恰有1个大于80的概率； （2）分别求小组A与小组B评委打分的方差，并据此判断小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的小组. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：. （2）若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 18. 已知函数，. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）求函数的最小值. 19. 如图，已知点，抛物线C：，过点作斜率为k（）的直线，与的另一个交点为，关于轴的对称点为，设（）. （1）当时，求的坐标. （2）证明：是等差数列. （3）记的面积为，求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $