精品解析：安徽合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试题卷

合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2025-2026学年度 第一学期期末考试高二数学试题卷 （考试时间120分钟，满分150分） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，那么（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 已知空间向量，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（    ） A. B. C. D. 8. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A 1 B. C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点到直线的距离为1，则的值可以是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 15 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 11. 如下图，直角梯形ABCD中，，．则下列说法正确的是（ ） A. 以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B. 以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 C. 以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D. 以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 过点的圆的切线方程为 _________________． 13. 两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为__________. 14. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则 的面积为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分（13+15+15+17+17=77）.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点，且与椭圆有共同焦点； （2）经过 两点． 16. 如图所示，在平行六面体中，O为AC中点．设，，． （1）用，，表示； （2）设E是棱上的点，且，用，，表示． 17. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积． 18. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 19. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点. （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2025-2026学年度 第一学期期末考试高二数学试题卷 （考试时间120分钟，满分150分） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得答案. 【详解】. 故选：A 2. 若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，所以， 所以直线：即， 所以这两条直线间的距离为. 故选：B. 3. 已知向量，且，那么（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行求出，再由空间向量模的公式求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以, 故选：C 4. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程，写出准线和焦点，进而求出结果. 【详解】可知抛物线，则焦点为，准线为， 则焦点到其准线的距离为. 故选：C. 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】空间向量，，则， 所以在上的投影向量为. 故选：A 6. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线知识求解即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A 7. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 故圆心坐标为. 故选：A. 8. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线的性质可得：，因为为直角三角形，且，利用勾股定理得到，点N为垂足，且N为OF的中点，所以，即，再结合离心率的公式，即可得离心率的值. 【详解】 如图所示：双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得， 又，在，，所以， 又且N为OF中点，所以， 即该双曲线为等轴双曲线， 所以离心率； 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点到直线的距离为1，则的值可以是（ ） A 5 B. 10 C. D. 15 【答案】AD 【解析】 【分析】利用点线距离公式列方程求参数即可. 【详解】由点线距离公式有或. 故选：AD 10. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法，结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】对A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 对B，两个不同的平面，的法向量分别是，， 则，所以，B正确； 对C，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以或，C错误； 对D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 11. 如下图，直角梯形ABCD中，，．则下列说法正确是（ ） A. 以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B. 以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 C. 以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D. 以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据切割法得到旋转体，再结合柱体、锥体的体积公式和表面积公式求出体积或表面积，即可判断各项的正误. 【详解】延长DA、CB交于点E，如图， 由题意得，AE=AD=2，. 对于A，以AD所在直线为轴旋转，得到一个圆台，此圆台由大圆锥切去小圆锥得到， 所以圆台的侧面积，A错误； 对于B，以CD所在直线为轴旋转，得到一个以2为底面半径以2为高的圆柱与一个以2为底面半径以2为高的圆锥的组合体， 所以该组合体的体积为：，B正确； 对于C，以AB所在直线为轴旋转，得到一个圆柱挖去一个圆锥的旋转体，如图， 所以该旋转体表面积为：，C正确； 对于D，以BC所在直线为轴旋转，得到一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图， ，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 过点的圆的切线方程为 _________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】当切线的斜率不存在时， 切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 故答案为：或． 13. 两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用空间向量的夹角公式，结合数量积和模长可解. 【详解】解：两平面的法向量分别为， 设两平面的夹角为，所以， 因为，所以，即两平面的夹角为. 故答案为：. 14. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则 的面积为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据抛物线的标准方程求出交点，再利用焦半径公式求出点的纵坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】根据题意，抛物线：的焦点为， 设，则，，， . 故答案为：2 四､解答题：本题共5小题，共77分（13+15+15+17+17=77）.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点，且与椭圆有共同的焦点； （2）经过 两点． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可设所求椭圆方程为，利用已知条件求出，，即可得解． （2）设椭圆方程为 ，代入点坐标，求得，，即可得答案． 【小问1详解】 椭圆，即，故， 焦点为， ， 设所求椭圆的标准方程， 所以 , 解得 ， 所以所求椭圆的标准方程为; 【小问2详解】 设所求椭圆的方程， 将代入上式得 , 解得 所以所求椭圆的标准方程为. 16. 如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．设，，． （1）用，，表示； （2）设E是棱上的点，且，用，，表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果； （2）根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果； 【小问1详解】 因为， 且，，， 则. 【小问2详解】 17. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由即可求解. 试题解析:（I）因为，，所以平面， 又因为平面，所以. （II）因为，为中点，所以， 由（I）知，，所以平面. 所以平面平面. （III）因为平面，平面平面， 所以. 因为为中点，所以，. 由（I）知，平面，所以平面. 所以三棱锥的体积. 【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据面面垂直的性质定理转化为证明线面垂直. 18. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程. （1）由题意知，且有，即，解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）①设从点所引的直线的方程为，即， 当从点所引椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则， 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得， ， 化简得，即， 则、是关于的一元二次方程的两根，则， 化简得； ②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上. 综上所述，点的轨迹方程为. 考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 19. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点. （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明； （2）以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量法列式求解. 【小问1详解】 连接，，O为的中点， 且. ， ， ，且，又， ，， 又，平面， 平面. 【小问2详解】 如图，以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. ，点M在棱上， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ， 平方化简得， 解得或（舍去），故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $