精品解析：河北邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高一下学期3月考数学试卷

高一月考数学试卷 一、单选题（本题共11小题，每小题5分，共55分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. 13 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由得 2. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；对于B，这两直线异面或平行；对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线；对于D，以长方体为载体进行判断求解. 【详解】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在长方体中， 当所在直线为所在直线为时，与相交， 当所在直线为所在直线为时，与异面， 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确. 故选：D 3. 若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（ ） A. B. 6 C. D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据模长的计算公式，即可求得答案. 【详解】设复数，则， 故选：C 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，在直角中，求得，结合斜二测画法规则，即可求得原平面图形的高，得到答案. 【详解】如图所示，过点作， 因为四边形为直角梯形，且，，可得， 在直角中，可得， 根据斜二测画法的规则，可得原平面图形的高为. 故选：C. 5. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理，即可求解. 【详解】在中，， 由余弦定理得，解得. 故选：B. 6. 已知点，则与向量共线的单位向量为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求得，利用，可求与向量共线的单位向量. 【详解】与共线的单位向量为， 即或. 故选：D. 7. 在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及两角和与差的正弦公式即可证明充分性，举例子当时，结论不一定成立，否定必要性. 【详解】因为， 由正弦定理得，且， 所以， 化简得 又， 所以， 又，即；充分性得证. 若为直角三角形，则当时，结论不一定成立，必要性不成立. 故选：A. 8. 已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将条件变形为，然后两边同时平方计算求解即可. 【详解】因为均为单位向量，且， 所以， 即， 解得， 即与的夹角的余弦值为. 故选：D. 9. 毡帐是蒙古族牧民居住一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥， 由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形， 设其高为，底面半径为， 则有，解可得， 则上半部分圆锥的侧面积 下半部分圆柱的侧面积 则该组合体的表面积(不含底面) . 故选：A 10. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为： 即， 故选：A. 11. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，易得，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， 所以， 则，故， 如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，，，设， 故，，， 又， 即， 所以，所以， 所以，其中， 当且仅当时，取最大值，且它的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 12. 设是复数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的模的定义和复数的乘法法则判断A，根据共轭复数的定义判断B，结合复数的运算法则及复数的模的定义判断C，结合纯虚数的定义判断D. 【详解】设，，，， 对于A，取，则，，，A错误， 对于B，由，，， 可得， 所以，B正确， 对于C，因为，， 所以， 所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，由，可得，所以， 因为可能为，所以不一定为纯虚数，D错误， 故选：BC. 13. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 在四边形中，，则四边形是平行四边形 D. 若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为平面向量的基底 【答案】BC 【解析】 【分析】根据单位向量、向量减法的几何意义、向量相等、基底等知识确定正确答案． 【详解】对于A，单位向量的模都是1，但方向是任意的，所以不一定相等，故A错误； 对于B，非零向量和满足，则以为三边的三角形是正三角形， 所以与的夹角为，故B正确； 对于C，因为是不共线的点，，即模相等且方向相同，所以四边形对边平行且相等，故四边形是平行四边形，故C正确； 对于D，，则为共线向量，不可以作为平面向量的基底，故D错误， 故选：BC． 14. 已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先找出时，，再分和讨论即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 当时（如图1），， 故平面截正方体所得的截面为四边形， 当时（如图2）， 过点作的平行线交于， 此时平面截正方体所得的截面为四边形， 当时， 过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点， 此时平面截正方体所得的截面为五边形， 综上所述，平面截正方体所得的截面为五边形时，的范围为. 故选：BC. 三、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 15. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由题得，则，又， . 故答案为：. 16. 复数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求解. 【详解】由复数，则，所以. 故答案为：. 17. 如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为__________m. 【答案】300 【解析】 【分析】先求出，继而利用正弦定理求出AC，再解直角三角形ABC，即可求得答案. 详解】由题意知，m，则， 在中，， 故，则， 又直角三角形ABC中，，故， 故答案为：300 18. 已知为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积之比为_________. 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，使得,在上一点，使得取，证得四边形为平行四边形，，进而结合平面图形的几何性质即可求出结果. 【详解】 在上取一点，使得,在上一点，使得取，又因为，则，所以四边形为平行四边形，所以，因为，则，，则， 所以. 故答案为： 19. 如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小值，在中，由余弦定理能求出的值． 【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示： 则即为周长的最小值， 在中，，， 由余弦定理得：． 故答案为：. 20. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可. 【详解】 由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分， 以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，， 由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，， ∴， ∴ 令，，则， 当时，， ， ， ∴存在，使，即， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB、CD为底面圆的两条直径，，且，，P为SB的中点. （1）求证：平面PCD； （2）求圆锥SO的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连结PO，由中位线性质有，利用线面平行的判定定理即可证结论； （2）根据已知求底面半径，进而求出底面积，应用圆锥体积公式求体积. 【小问1详解】 连结PO，如下图示： ∵P、O分别为SB、AB的中点， ∴，又平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD. 【小问2详解】 ∵，P为SB的中点， ∴. ∴，则底面圆面积. ∴圆锥体积. 22. 如图，在梯形ABCD中，，，E，F分别为DC，CB的中点，且P是线段AB上的一个动点． （1）求AD； （2）求∠EAF； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由数量积的坐标运算即可求得； （2）利用夹角公式的坐标运算即可求解； （3）根据坐标运算得，利用二次函数即可求解. 【小问1详解】 建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴的坐标系， ∴，，假设，则，，， ∴，， 由，则，即，又，∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）知：，，，， ∴，又为锐角， ∴； 【小问3详解】 设，∴，， ∴，， ∴ ， ∵，∴. 23. 如图，点是边长为2的等边内部（不包括边）任意一点，绕点逆时针旋转得到． （1）若，求； （2）若，求的周长； （3）求面积最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理直接计算,即为； （2）根据已知可以判定点轨迹为一段圆弧，然后建立合适的坐标系，利用坐标方法求得点的坐标，进而求得,然后利用几何分析得到所求； （3）先设定,由于为等边三角形，可得与以为圆心，以为半径的圆的部分弧相切，然后进行几何分析，再结合基本不等式求得. 【小问1详解】 ∵绕点逆时针旋转得到，∴绕点逆时针旋转得到，∴为等边三角形． . 【小问2详解】 ∵ ，∴的外接圆半径, 设外接圆心,以为原点，射线为轴,建立直角坐标系，如图所示: 设与轴正方向所成的角为,点轨迹为圆弧（不含端点）. ， , 解得,∴, ∴点坐标为,由于,所以点在圆弧（不含端点）上，符合题意. 由于∴为等边三角形，∴, ∵绕点逆时针旋转得到，∴, ∴求的周长即为求. 当点坐标为时, ， 所求的周长. 当点坐标为时,同理可得所求的周长. ∴所求的周长. 【小问3详解】 设,由于为等边三角形， 设，垂足为,则, ∴与以为圆心，以为半径的圆的部分弧相切，切点为. 如图所示： 设弧与交点为,,垂足为 则,当且仅当重合时，重合，此时, ∴ ． 当且,即恰好为中心时取到“等号”， ∴面积最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一月考数学试卷 一、单选题（本题共11小题，每小题5分，共55分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. 13 C. D. 5 2. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 3. 若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（ ） A. B. 6 C. D. 36 4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 16 D. 6. 已知点，则与向量共线的单位向量为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 毡帐是蒙古族牧民居住一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米． A. B. C. D. 10. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 12. 设是复数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 13. 下列说法正确是（ ） A. 单位向量都相等 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 在四边形中，，则四边形是平行四边形 D. 若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为平面向量的基底 14. 已知正方体边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 三、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 15. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则_____________. 16 复数，则__________. 17. 如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为__________m. 18. 已知为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积之比为_________. 19. 如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______． 20. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 四、解答题（本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB、CD为底面圆的两条直径，，且，，P为SB的中点. （1）求证：平面PCD； （2）求圆锥SO的体积. 22. 如图，在梯形ABCD中，，，E，F分别为DC，CB的中点，且P是线段AB上的一个动点． （1）求AD； （2）求∠EAF； （3）求的取值范围． 23. 如图，点是边长为2等边内部（不包括边）任意一点，绕点逆时针旋转得到． （1）若，求； （2）若，求的周长； （3）求面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $