精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

高一第二次月考数学 命题人：王晓娜；审题人：张晓艳 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，是边上中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 不在同一个平面内的两条直线叫做异面直线 C. 直线，，则与的位置关系是 D. 若，，则 4. 设向量，，且，则向量与夹角为（ ） A B. C. D. 5. 下列说法中正确是 A. 若事件与事件是互斥事件，则 B. 若事件与事件满足条件：，则事件A与事件是对立事件 C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件 6. 已知等腰三角形中，，，，，，那么（ ） A. B. C. D. 7. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 袋内有个白球和个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回个白球，则第次恰好取完所有红球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为 C. 若向量，，则在上的投影向量的坐标为 D. 在中，若，则是等腰三角形 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一点，是的中点，则（ ） A. 存在棱上的点，使得 B. 四面体的体积为 C. 三棱锥的内切球的表面积为 D. 当为棱的中点时，平面平面 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某射击运动员在一次射击测试中，射靶次，每次命中的环数如下：，记这组数的众数为，第百分位数为，则__________. 13. 已知点A、B到平面的距离分别为与，则A、B的中点到平面的距离为________． 14. 已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值. （2）现从被调查的问卷满意度评分值在的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． （1）求角B； （2）求ac的值； （3）若点E为AC中点，，求的周长． 17. 如图，正四棱锥中，，，E为中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的表面积和体积． 18. 对某班甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值(单位：分)如下： 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 （1）甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课较平衡？ （2）该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分和总方差分别是多少？ 19. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），． （1）求圆锥DB的表面积和体积； （2）如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二次月考数学 命题人：王晓娜；审题人：张晓艳 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 2. 在平行四边形中，是边上中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算进行求解. 【详解】因为是平行四边形的边上中点，所以， 所以， 所以. 故选：C. 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 不在同一个平面内的两条直线叫做异面直线 C. 直线，，则与的位置关系是 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个棱柱叠加判断选项A；由异面直线的定义，判断选项B；由线面平行的判定定理判断选项C；由面面平行的性质判断选项D. 【详解】对于A：一个长方体上面叠加一个各侧面与长方体各侧面都不在一个面，且底面相同的斜棱柱，则满足题目条件，但不是棱柱，故A项错误； 对于B：由异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，故B错误； 对于C：与不相交，所以与的位置关系平行或在平面内，故C错误； 对于D：因为，，所以（面面平行的性质定理），故D正确. 故选：D 4. 设向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，设向量与的夹角为，利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合的取值范围可求得角的值. 【详解】因为向量，，且，则，解得， 所以，，所以，， 设向量与夹角为，则， 因为，故． 故选：D． 5. 下列说法中正确的是 A. 若事件与事件是互斥事件，则 B. 若事件与事件满足条件：，则事件A与事件是对立事件 C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D. 把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥事件的概念可判断A，D；根据对立事件的概念可判断B，C. 【详解】不能同时发生的事件称为互斥事件，故D正确；互斥的两个事件的并事件不一定包含所有情况，因此若事件A与事件B是互斥事件，则概率之和不一定等于1，所以A错；交事件为不可能事件，并事件为必然事件的两个事件互为对立事件；对于B选项，事件A与事件B满足条件：，但A与B的交事件不一定为不可能事件，所以B错；C中事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”都包含“有一次中靶”，交事件不是不可能事件，所以C错. 故选D 【点睛】本题主要考查互斥事件，熟记概念即可，属于基础题型. 6. 已知等腰三角形中，，，，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：由余弦定理求出，再由数量积的定义求解即可；解法二：由余弦定理求出，再由可得，代入求解即可得出答案. 详解】解法一：由余弦定理可知：， 所以，； 解法二：由余弦定理可知， 因为，则， 所以， 即， 故选：B. 7. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由正弦定理求出直观图的，再由斜二测画法规则求出到轴的距离即可. 【详解】 如图，过点作′轴，交′轴于点， 在中，，，， 由正弦定理得， 于是得，且原图中即为到轴的距离， 由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到轴的距离是. 故选：D. 8. 袋内有个白球和个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回个白球，则第次恰好取完所有红球概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 第次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解. 【详解】第次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红， ∴第次恰好取完所有红球的概率为： ， 故选：B 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A. 若，则 B. 若．则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，因此，，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为 C. 若向量，，则在上的投影向量的坐标为 D. 在中，若，则是等腰三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用大边对大角以及正弦定理可得；B利用正弦定理以及可得；C利用投影向量的公式计算即可；D利用正弦定理得，再结合的范围即可得出是等腰三角形或直角三角形. 【详解】对于A，由大边对大角，则等价于， 再结合正弦定理可得，故A正确； 对于B，由正弦定理可得，则， 要使该三角形有两解，则，即，则，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则在上的投影向量的坐标为，故C正确； 对于D，利用正弦定理将化简为，即， 因，则，则或， 即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：ABC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一点，是的中点，则（ ） A. 存在棱上的点，使得 B. 四面体的体积为 C. 三棱锥的内切球的表面积为 D. 当为棱的中点时，平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，取线段上点满足，根据结合三角形的性质可得；对B，根据三棱锥的体积公式求解即可；对C，根据等体积法求解内切球的半径于表面积即可；对D，根据线面垂直的判定证明面面垂直即可. 【详解】对A，取线段上点满足，连接. 因为，且，故四边形为平行四边形，故. 因为为正方体，故均为等腰直角三角形，故，故，则，故A正确； 对B，四面体的体积，故B正确； 对C，三棱锥为棱长为的正四面体，体积为，且每个面的面积均为，故内切球半径满足，解得，故内切球的表面积，故C错误； 对D，由题意，因为是的中点，且，故. 由正方体可得也为的中点.则，故在直角和直角中，故，则，又，故，所以. 又，平面，故平面. 又因为平面，故平面平面，故D正确； 故选：ABD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某射击运动员在一次射击测试中，射靶次，每次命中的环数如下：，记这组数的众数为，第百分位数为，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据众数的定义求，根据百分位数的定义求，由此可得结论. 【详解】由已知数据可得众数为，即， 将个数据按从小到大排列可得， 因为， 所以第百分位数为从小到大排列的第个数，所以， 所以， 故答案为：. 13. 已知点A、B到平面的距离分别为与，则A、B的中点到平面的距离为________． 【答案】或 【解析】 【分析】作，垂足分别为C，D，分点A、B在平面的同侧和两侧求解可得. 【详解】作，垂足分别为C，D，则， 当点A、B在平面的同侧时，则四边形为梯形， 记的中点分别为E，F，则. 当A、B在平面的两侧时，记， 因为，，所以， 又E为AB的中点，所以，所以. 故答案为：或. 14. 已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设棱长均为2，取的中点，分析可知二面角的平面角为，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】设正三棱锥的棱长均为2， 取的中点，连接， 则，且， 可知二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 则， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值. （2）现从被调查的问卷满意度评分值在的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由面积和为1，可解得的值； （2）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率． 【详解】（1）由，解得. （2）可得满意度评分值在内有20人，抽得样本为2人，记为， 满意度评分值在内有30人，抽得样本3人，记为，，， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A， 基本事件有，，，，，， ，，，共10个，A包含的基本事件个数为4个， 利用古典概型概率公式可知. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型，属于基础题． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． （1）求角B； （2）求ac的值； （3）若点E为AC的中点，，求的周长． 【答案】（1）； （2）15； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简即可. （2）利用三角形面积公式列式计算. （3）利用中点向量公式及向量数量积，结合余弦定理求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及三角形面积公式得， 所以. 【小问3详解】 由点E为AC的中点，，得，即， 则，， 由余弦定理得， 所以的周长为. 17. 如图，正四棱锥中，，，E为中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的表面积和体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）表面积：；体积：. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，推导出，即可证明平面． （2）由，得是异面直线与所成角（或其补角），解即可求解． （3）由（2）知，三棱锥的表面积，易证平面，所以. 【详解】解：（1）证明：连接，交于点，连接， 四棱锥为正四棱锥， 四边形是正方形， 是中点， 是中点， 是的中位线， ， 平面，平面， 平面． （2）解：由（1）知， 是异面直线与所成角（或其补角）， ，， ，， 由四棱锥为正四棱锥得：， 为中点， ， ，即， ． ， 异面直线与所成角的余弦值为． （3）由（2）知，，，， 所以三棱锥的表面积 . 由（2）知， 又四边形是正方形，所以， ， 平面， . 18. 对某班甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值(单位：分)如下： 甲 60 80 70 90 70 乙 80 60 70 80 75 （1）甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课较平衡？ （2）该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分和总方差分别是多少？ 【答案】（1）甲的平均成绩较好，乙的各门功课较平衡 （2）总平均分73.5分，总方差80.25 【解析】 【分析】（1）求出，，，可得答案； （2）利用总方差公式计算可得答案. 【小问1详解】 ＝(分)， ＝ (分)， ＝， ＝， 因为，>， 所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课较平衡； 【小问2详解】 因为＝＝，＝＝， 所以该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分＝(分)， 总方差＝ ＝. 19. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），． （1）求圆锥DB的表面积和体积； （2）如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出圆锥高和母线，从而求其表面积和体积； （2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥．取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为，所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等，根据求解． 【小问1详解】 因为，， 设，则， 圆锥高，母线长， ， ． 【小问2详解】 如图构造一个与半球同底等高的圆柱， 内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥． 取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为， 面积为，．， ， 所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等． 所以． 依题意圆柱的高为2，半径为3．圆台的上底面半径为3，下底面半径为， 因为即为球冠的底面积，所以 由，得，所以 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$