第8章 四边形 存在性问题 专项训练2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点9 存在性问题 面积问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A，C的坐标分别为（﹣4，2），（1，﹣4），且AD∥x轴交y轴于M点，AB∥y轴交x轴于N点． （1）求B，D两点的坐标和长方形ABCD的面积； （2）一动点P从A点出发，以个单位/秒的速度沿AB向B点运动，是否存在某一时刻t，使△AMP的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，求出t的值，并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为（﹣2，5），（3，﹣1），且AD∥x轴，AB∥y轴，P是边AB上一动点（不与点A，B重合）． （1）写出点B和点D的坐标，并求长方形ABCD的面积； （2）当△BPO是直角三角形时，求点P的坐标； （3）设N为线段AB的中点，是否存在点P，使△ONP的面积等于长方形ABCD的面积的若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第八章 四边形 面积问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（0，6），C（b，6），且满足a8． （1）请直接写出A、C、D三个点的坐标，A　　 ，C　　 ，D　　 ； （2）连接线段BD、OD，试求三角形BOD的面积； （3）若长方形ABCD以每秒1个单位长度匀速向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻，三角形BOD的面积与长方形ABCD的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 2，如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，其中A（6，0），C（0，4），点E是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1cm的速度沿O﹣A﹣B﹣E运动，最终到达点E，若点P运动的时间为x秒， （1）当x＝2秒时，求△OPE的面积； （2）当△OPE的面积等于5cm2时，求P点坐标． （3）当△OPE为等腰三角形时，求x的值． 第八章 四边形 平行四边形存在性问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.材料阅读：小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为（1，2），端点B的坐标为（3，4），则线段AB中点的坐标为（2，3），通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为． 知识运用：如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 　　 ． 能力拓展：在直角坐标系中，有A（﹣1，2）、B（3，1）、C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 2.直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90°，CB＝2，OA＝8，AB＝2，分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）在平面内是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由． 第八章 四边形 平行四边形存在性问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点． （1）求点E和点D的坐标； （2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，点A（1，2），点B（2，0）．求： （1）求OA和AB的解析式； （2）在坐标平面内存在一点C，使得以O、A、C、B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点C的坐标． 第八章 四边形 平行四边形存在性问题（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的中点． （1）求出C，D的坐标； （2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2.【综合探究】 在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2），点M为线段AB的中点，则线段AB的中点M的坐标为． （1）如图1，已知点A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则线段AB的中点M坐标为 　　 ； （2）如图2，在（1）的条件下，过点A、B的直线交x轴于点N，交y轴于点E，图中点C为x轴上的动点，当S△MCN＝S△EON时，求点C的坐标． （3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点C在x轴的负半轴时，点P是y轴上的动点，点Q是直线AB上的动点，存在以C，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为 　　 ． 第八章 四边形 菱形的存在性问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F． （1）求点D的坐标； （2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第八章 四边形 菱形的存在性问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝12cm，AD＝28cm，BC＝33cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形ABQP为矩形． （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PQCD是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形PQCD在某一时刻为菱形？ 2.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动． （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）． 第八章 四边形 全等三角形存在性问题 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点M从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点M的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△ABM≌△DCM？ （2）当点M从点B开始运动，同时，点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在a，使得△ABM与△MNC全等？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 2.已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝4，AD＝BC＝5．延长BC到E，使CE＝2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒． （1）请用含t的式子表达△ABP的面积S； （2）是否存在某个t值，使得△DCP和△DCE全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 第八章 四边形 等腰三角形存在性问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，正方形ABCD，边长为4cm，动点P从点A以每秒的速度沿AC向C运动，动点Q从点C以每秒1cm的速度沿CB向B运动，连结PQ．两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）求运动时间t为何值时△PCQ的面积为； （2）连结DP、DQ，是否存在某一时刻，使△DPQ为等腰三角形，若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由． 2.如图，在长方形ABCD中，AB：BC＝3：4，AC＝5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒． （1）求AB与BC的长； （2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 第八章 四边形 等腰三角形存在性问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为ts． （1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为11cm2； （2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 2.如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A（2，2），过点A作射线AB∥x轴，作AE⊥x轴于点E，点N为x轴正半轴上一点，连结AN．点M从点A沿着射线AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，点N从原点O沿着x轴正半轴以每秒3个单位长度的速度向右运动．若点M、N同时开始运动，运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形AMNE是矩形，并说明理由； （2）当△AON为等腰三角形时，求出所有t的值． 面积问题（一）参考答案 1.解：（1）∵点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4），而四边形ABCD为长方形， ∴B（﹣4，﹣4），D（1，2）； ∴长方形ABCD的面积＝（1+4）×（2+4）＝30； （2）存在． ∵AM＝4，APt， ∴S△AMP4t＝t． ∵三角形AMP的面积等于长方形面积的， ∴t＝3010， ∴AP10＝5． ∵AN＝2， ∴P点坐标为（﹣4，﹣3）． 2.解：（1）∵点A（﹣2，5），点C（3，﹣1），且AD∥x轴，AB∥y轴， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），点D的坐标为（3，5）， AB＝5﹣（﹣1）＝6，AD＝3﹣（﹣2）＝5， ∴长方形ABCD的面积为：AB•AD＝6×5＝30； （2）∵点P是边AB上的一点， ∴∠OBP＜90°， 当∠POB＝90°时， 由勾股定理得：PB2＝OP2+OB2， 设点P的坐标为（﹣2，t）， ∴PB＝t+1，OP2＝4+t2，ON2＝12+22＝5， ∴（t+1）2＝4+t2+5， 解得：t＝4， ∴点P的坐标为（﹣2，4）； 当∠OPB=90°时，点P在x轴上， ∴点P的坐标为（﹣2，0）； 综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，0）． （3）存在，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，0），理由如下： 设BC与y轴交于点E，如图所示： ∵点N是AB的中点，点A（﹣2，5），点B（﹣2，﹣1）， ∴点N的坐标为（﹣2，2）， 设点P的坐标为（﹣2，a）， ∴PN＝|a﹣2|， ∴S△ONPPN•BE|a﹣2|×2＝|a﹣2|， 当△ONP的面积等于长方形ABCD的面积的1/15时，则， ∴|a﹣2|＝2， ∴a﹣2＝2或a﹣2＝﹣2， 由a﹣2＝2，解得：a＝4， 由a﹣2＝﹣2，解得：a＝0， ∴点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，0）． 面积问题（二）参考答案 1.解：（1）∵a8， 又∵， ∴b＝4，a＝8， ∴A（0，8），C（4，6），D（4，8）， 故答案为（0，8），（4，6），（4，8）； （2）由题意：S△OBD6×4＝12． （3）存在． 理由：当长方形ABCD在x轴的上方时，BO＝6﹣t，则4×（6﹣t）＝2×4， 解得t＝2， 当长方形ABCD在x轴的下方时，BO＝t﹣6， 则4（t﹣6）＝2×4， 解得t＝10， 答：运动的时间2或10秒时，三角形BOD的面积与长方形ABCD的面积相等． 2.解：（1）∵A（6，0），C（0，4）， ∴AO＝6，CO＝4， ∵四边形OABC是长方形， ∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝4， 当x＝2秒时，OP＝2×1＝2cm， ∴△OPE的面积为； （2）分三种情况讨论， ①如图， 当P在OA上时，0＜x≤6， ∵△OPE的面积等于5cm2， ∴， 解得， ∴P点坐标为； ②当P在AB上时，6＜x≤10，如图， ∵点E是BC中点， ∴CE＝BE＝3， ∵△OPE的面积等于5cm2， ∴S矩形OABC﹣S△AOP﹣S△OCE﹣S△EBP＝5， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； ③当P在BE上时，10＜x≤13，如图， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为 综上可知，当△OPE的面积等于5cm2，P点坐标为或； （3）解：由勾股定理，得， ①当PE＝OE＝5时， 连接AE， 则， ∴P和A重合， ∴x＝6÷1＝6； ②当OP＝OE＝5时，此时点P在AB上， ∴x＝5÷1＝5， ③当OP＝PE＝x时， 过E作EH⊥OA于H． 则OH＝CE＝3，EH＝OC＝4， ∴HP＝x﹣3， ∴x2＝（x﹣3）2+42， 解得， 综上，当△OPE为等腰三角形时，x的值为6或5或． 平行四边形存在性问题（一）参考答案 1.解：（1）∵矩形ONEF的对角线相交于点M， ∴OM＝EM，M为OE的中点， ∵O为坐标原点，点E的坐标为（4，3）， ∴点M的坐标为（，）， 即点M的坐标为（2，）； 故答案为：（2，）； （2）如图，有三种情况： ①当AB为对角线时，AD∥BC， ∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）， ∴把B向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得D点坐标为（1，﹣1）， ②当BC为对角线时， ∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），D（1，﹣1）， ∴由线段中点坐标公式得：D'的坐标为（5，3）； ③当AC为对角线时， ∴由线段中点坐标公式得D''的坐标为（﹣3，5）； 综上所述，符合要求的点D的坐标为（1，﹣1）或（5，3）或（﹣3，5）． 2.解：（1）如图，过点B作BM⊥OA于点M． ∴OM＝CB＝2AM＝OA﹣OM＝8﹣2＝6， 在Rt△ABM中，根据勾股定理，得 ， ∴B（2，4）； （2）存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形为平行四边形． 分3种情况： ①如图，当四边形OADB为平行四边形时，BD∥OA， ∵BD＝OA＝8， ∴点D的坐标为（10，4）； ②如图，当四边形OABD为平行四边形时，BD∥OA， ∵BD＝OA＝8， ∴点D的坐标为（﹣6，4）； ③如图，当四边形ODAB为平行四边形时，BO∥DA，BO＝DA， ∴∠BOA＝∠DAO， 作BF⊥OA，DE⊥OA于点F，E， ∴OF＝BC＝2，∠BFO＝∠DEA＝90° 在△BFO和△DEA中， ， ∴△BFO≌△DEA（AAS）， ∴AE＝OF＝2，DE＝BF＝4， ∴OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6， ∴点D的坐标为（6，﹣4）； 综上所述：点D的坐标为：（10，4），（﹣6，4），（6，﹣4）． 平行四边形存在性问题（二） 1.解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0）， ∴AB＝6， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝6， 又C（0，4）， ∴D的坐标为（﹣6，4）， ∵E是OD的中点， ∴E的坐标为（﹣3，2）， 即D（﹣6，4），E（﹣3，2）； （2）存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形， ①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图1， ∴EN∥CD，EN＝CD＝6， ∵CD∥AB， ∴EN∥AB， 又E的坐标为（﹣3，2），EN＝6， ∴N的坐标为（3，2）， ②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图2， ∴EN∥CD∥AB，EN＝CD＝6， ∴N的坐标为（﹣9，2）， ③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图3， 则DE∥CN，DE＝CN， 由坐标与平移关系可得，N（﹣3，6）， ∴N点坐标为（3，2），（﹣9，2），（﹣3，6）． 2.解：（1）∵点A（1，2），点B（2，0）， ∴AB， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4； （2）设点C（x，y）， 当OA，OB为边时，∵四边形OACB是平行四边形， ∴AB与OC互相平分， ∴，， ∴x＝3，y＝2， ∴点C（3，2）； 当OB、AB为边时，∵四边形ABOC是平行四边形， ∴OA与BC互相平分， ∴， ∴x＝﹣1，y＝2， ∴点C（﹣1，2）； 当AO、AB为边时，∵四边形OABC是平行四边形， ∴AC与OB互相平分， ∴，， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴点C（1，﹣2）， 综上所述：点C坐标为：（3，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 平行四边形存在性问题（三）参考答案 1.解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD＝6，AD∥BC， ∵B、点C都在x轴上，点A在y轴上，OA＝4， ∴D（6，4）， ∵OB＝3， ∴OC＝BC﹣OB＝3， ∴C（3，0）； （2）存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵D（6，4），E为线段OD的中点， ∴E（3，2），且A（0，4）， 设点N的坐标为（x，y）， 如图，分情况讨论： ①当AE为对角线时，，， 解得：x＝﹣3，y＝2， ∴N（﹣3，2）； ②当DE为对角线时，，， 解得：x＝9，y＝2， ∴N'（9，2）； ③当AD为对角线时，，4， 解得：x＝3，y＝6， ∴N''（3，6）； 综上所述，平面内存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为（﹣3，2）或（9，2）或（3，6）． 2.解：（1）∵点A（﹣1，3）、B（3，﹣1）， ∴线段AB的中点M坐标为（1，1）； 故答案为：（1，1）． （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A、B坐标代入得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2， ∴E（0，2），N（2，0）， ∴S△EON2， ∵S△MCN＝S△EON， ∴S△MCN＝2， 设点C坐标为（t，0），则CN＝2﹣t， ∴， 解得t＝﹣2或t＝6， ∴C（﹣2，0）或（6，0）； （3）①如图A，当点P在y轴负半轴时， ∵四边形CPQM是平行四边形， ∴PC∥AB， 设PC解析式为y＝﹣x+b，代入点C（﹣2，0）坐标得，b＝﹣2， ∴P（0，﹣2）， 由中点坐标公式得：1+0＝﹣2+xQ，1+（﹣2）＝0+yQ， ∴Q（3，﹣1）． 如图B，当点P在y轴正半轴时， ∵CMPQ是平行四边形，M是AB的中点， ∴点A是QM的中点， 由中点坐标公式得：xQ+1＝﹣1×2，yQ+1＝3×2， ∴Q（﹣3，5）， 综上分析，满足条件的点Q坐标为（3，﹣1）或（﹣3，5）． 故答案为：（3，﹣1）或（﹣3，5）． 菱形的存在性问题（一）参考答案 1.解：（1）如图1， ∵四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点， ∴BC∥OA，B（10，4），D（5，0）， ∴BC＝10，OD＝5， ∵PB∥OD， ∴当PB＝OD＝5时，四边形PODB是平行四边形， ∴10﹣2t＝5， 解得t， ∴当t时，四边形PODB是平行四边形． （2）存在， 当四边形PODQ是菱形，且点Q在点P的右侧，如图2，则OP＝PQ＝OD＝5， ∵∠OCP＝90°，OC＝4， ∴PC3， ∴2t＝3， 解得t， ∵CQ＝PC+PQ＝3+5＝8， ∴Q（8，4）， 当四边形PODQ是菱形，且点Q在点P的左侧，则OQ＝PQ＝OD＝5， ∴QC3， 若点Q在点C右侧，如图3，则Q（3，4）， ∵CP＝QC+PQ＝3+5＝8， ∴2t＝8， 解得t＝4； 若点Q在点C左侧，如图4，则Q（﹣3，4）， ∵CP＝PQ﹣CQ＝5﹣3＝2， ∴2t＝2， 解得t＝1， 综上所述，存在符合条件的点Q，t，Q（8，4）或t＝4，Q（3，4）或t＝1，Q（﹣3，4）． 2.解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（﹣6，8）． ∴∠BAD＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BC＝8， ∴BO10； 由折叠的性质得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD， ∴OE＝BO﹣BE＝10﹣6＝4，∠OED＝90°， 设D（0，a），则OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a， 在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2， 即（8﹣a）2+42＝a2，解得：a＝5， ∴D（0，5）； （2）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）；理由如下： ①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4， ∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）； ②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示： 则OGOE＝2， ∵OA＝8，OD＝5， ∴AD＝DE＝3， ∴E到y轴的距离， ∴OH， ∵EM2﹣MH2＝42﹣（）2， ∴OM2﹣（OM）2＝42﹣（）2， 解得：OM， ∴M（，0）； ③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示： 同②得：M（，0）； 综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）． 菱形的存在性问题（二）参考答案 1.解：（1）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， 即t＝33﹣2t， 解得：t＝11， ∴当t＝11时，四边形PQBA是矩形； （2）不存在某一时刻t，使四边形PQCD是菱形，理由如下： ∵四边形PQCD是菱形， ∴CQ＝CD， ∴2t＝13， ∴t， 此时，DP＝AD﹣AP＝28（cm）， 而DP≠CD， ∴四边形PQCD不可能是菱形． 若四边形PQCD为菱形， ∴PD＝CD＝CQ， ∴28﹣t＝13， ∴t＝15， 设点Q的运动速度为v， ∴15v＝13， ∴vcm/s． 即Q点的运动速度为cm/s，使四边形PQCD为菱形． 2.解：（1）如图（1）： ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB＝OD＝5， ∴PC＝5， ∴t＝2.5； （2）存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形， 如图（2）， ∵四边形ODQP为菱形， ∴OD＝OP＝PQ＝5， 在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝3， ∴t， ∵PQ＝5，PC＝3， ∴CQ＝8， ∴点Q坐标为：（8，4）； （3）如图（3），当P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝3， P2O＝P2D时，作P2E⊥OA， ∴OE＝ED＝2.5； 当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3， ∴P3C＝2； 当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG＝3， ∴OG＝8． ∴P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）． 全等三角形存在性问题参考答案 1.解：（1）当△ABM≌△DCM时， 则， ∵BM＝2t，BC＝12， ∴2t＝6， 解得t＝3； （2）如图，当△ABM≌△NCM， 则， ∴2t＝6， 解得t＝3． ∴CN＝3a＝8， 解得a； 如图，当△ABM≌△MCN时， 则BM＝CN，AB＝MC＝8， ∴BM＝2t＝12﹣8＝4， 解得t＝2， ∴CN＝2a＝4， 解得a＝2； 综上可知，当a或2时，△ABM与△MNC全等． 2.解：（1）①当P在BC上时， 由题意得：BP＝2t（0＜t≤2.5），△ABP的面积SAB×BP4×2t＝4t； ②当P在CD上时，（2.5＜t≤4.5），△ABP的面积SAB×BC4×5＝10； ③当P在AD上时，由题意得AP＝14﹣2t（4.5＜t＜7），△ABP的面积SAB×AP4×（14﹣2t）＝28﹣4t； （2）①当P在BC上时， 由题意得BP＝2t， 要使△DCP≌△DCE，则需CP＝CE ∵CE＝2 ∴5﹣2t＝2， ∴t＝1.5 即当t＝1.5时，△DCP≌△DCE； ②当P在CD上时，不存在t使△DCP和△DCE全等； ③当P在AD上时，由题意得BC+CD+DP＝2t， ∵BC＝5，CD＝4， ∴DP＝2t﹣9 要使△DCP≌△CDE，则需DP＝CE， 即2t﹣9＝2， ∴t＝5.5， 即当t＝5.5时，△DCP≌△CDE； 综上所述，当t＝1.5或t＝5.5时，△DCP和△DCE全等． 等腰三角形存在性问题（一）参考答案 1.解：（1）如图所示，过点P作PH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴AB＝BC＝4，∠ACB＝45°， 依题意，，CQ＝t， 在Rt△ABC中，， ∵PH⊥BC，∠ACB＝45°， ∴△PCH为等腰直角三角形， ∴， ∴PH＝CH＝4﹣t， ∴， 解得：t1＝1，t2＝3， ∴运动时间t1＝1，t2＝3时△PCQ的面积为； （2）如图所示，过点P作PG⊥AD于点G，PH⊥BC于点H， 则△AGP是等腰直角三角形，， ∴AG＝t，则DG＝4﹣t， ∴PD2＝t2+（4﹣t）2， 在Rt△CDQ中，DQ2＝CD2+CQ2＝42+t2＝16+t2， 由（1）可得PH＝CH＝4﹣t， ∴HQ＝HC﹣CQ＝4﹣t﹣t＝4﹣2t， 在Rt△PHQ中，PQ2＝PH2+HQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2， 当PD＝PQ时，t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2， 解得：， 当QP＝QD时，（4﹣t）2+（4﹣2t）2＝16+t2， 解得：（舍去）， 当D P＝D Q时，t2+（4﹣t）2＝16+t2， 解得：x1＝0，x2＝8（舍去）， 综上所述，t＝0或或4或时，△DPQ为等腰三角形． 2.解：（1）设AB＝3x，BC＝4x 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴AC＝5x，5x＝5，x＝1 ∴AB＝3，BC＝4， （2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，理由如下： 当P1D＝P1C即P为对角线AC中点时，△CDP是等腰三角形， ∵AB＝3，BC＝4， ∴， ∴， ∴（秒） 当CD＝P2C时，△CDP是等腰三角形， ∴（秒）， AB的中点也是，此时t＝1.5； CP＝CD，P在BC线段上，此时，t＝4； DP＝DC，P在线段AC上，此时t＝10.6； 综上可知当t＝9.5秒或10秒或1.5秒或4秒或10.6秒时△CDP是等腰三角形． 等腰三角形存在性问题（二）参考答案 1.解：（1）当点P在BC上时，即0≤t≤2，如图1，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t， ∵S△PDQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△CPD， ∴16•4•t•（4﹣t）•2t•4•（4﹣2t）＝11， 整理得t2﹣2t﹣3＝0，解得t1＝﹣1，t2＝3，都不合题意舍去； 当点P在CD上时，即2＜t≤4，AQ＝t，DP＝8﹣2t， ∵S△PDQBC•DP， ∴•4（8﹣2t）＝11，解得t（不合题意舍去）， ∴不存在t的值，使△PQD的面积为11cm2； （2）存在． 如图2，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t（0≤t≤2）， 当DP＝DQ时， ∵DC＝DA ∴Rt△DPC≌Rt△DAQ， ∴PC＝AQ，即4﹣2t＝t，解得t； 当PD＝PQ时， 在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2+BQ2＝（2t）2+（4﹣t）2， 在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（4﹣2t）2+42， ∴（2t）2+（4﹣t）2＝（4﹣2t）2+42， 整理得t2+8t﹣16＝0，解得t1＝﹣44（舍去），t2＝44， ∴t或44时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形． 2.解：（1）当t＝2时，四边形AMNE是矩形．理由如下： 由题意得：AM＝2t，ON＝3t， ∵A（2，2），AE⊥x轴， ∴OE＝2，∠AEN＝90°， ∴EN＝3t﹣2， 当t＝2时，AM＝2t＝4，EN＝3t﹣2＝4， 即AM＝EN， ∵AB∥x轴， 即AM∥EN， ∴四边形AMNE是平行四边形， 又∵∠AEN＝90°， ∴四边形AMNE是矩形； （2）∵AE⊥x轴于点E，A（2，2）， ∴OE＝AE＝2， ∴，∠AON＝45°， ①当ON＝AN＝2时，3t＝2， 解得； ②当ON＝OA时，， 即：， 解得； ③当OA＝AN时，∠ANO＝∠AON＝45°， ∴∠OAN＝90°， ∴， 即：3t＝4， 解得； 综上所述，当t的值为或或时，△AON为等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $