专题05菱形期中复习讲义(13大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题05菱形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透菱形定义，分清与平行四边形的区别 2.牢记性质：四边相等+对角线垂直，对称性记牢 3.掌握3种判定方法，不丢前提条件 4.熟记衍生结论：对角线平分一组对角，可用于角度计算 1.会用性质算边长、对角线，快速解题 2.规范书写推理，证明菱形判定不踩坑 3.搞定折叠、对角线夹角等期中高频模型 4.综合运用知识，应对中档+简单压轴题 1.基础题不丢分，选择填空秒搞定 2.中档题不踩坑，规范步骤拿满分 3.规避高频易错点，减少不必要失分 4.轻松应对压轴基础问，高效提分 题型01.平行线间的距离计算与应用 题型02.菱形的性质及应用 题型03.证明四边形是菱形 题型04.添条件使四边形是菱形 题型05.由菱形的性质与判定求线段长 题型06.由菱形的性质与判定求角度 题型07.由菱形的性质与判定求面积 题型08.菱形与动点问题 题型09.菱形与折叠问题 题型10.菱形的探究型问题 题型11.菱形的最值问题 题型12.菱形与坐标综合问题 题型13.含60角的菱形问题 解答题5题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 知识点02:菱形的性质（中考高频考点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（解答题证明必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 题型01.平行线间的距离计算与应用 【典例】如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是________． 【答案】12 【分析】根据平行线间的距离的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线a与b之间的距离就是垂线段PB的长度， ∵， ∴直线a与b之间的距离就是12cm． 故答案为12． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，从平行线上任意一点到另一条直线的垂线段长度称为平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握平行线间的距离的定义是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（   ） . A．的大小 B．线段的长度 C．的周长 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，得到随着点P的移动，点到的距离不变，即可得出的面积不变，判断即可． 【详解】解：∵直线，点P在直线m上移动， ∴点与直线的距离保持不变， ∵A，B是直线n上的两个定点， ∴点到的距离不变， ∴的面积不变，故D正确； 的大小，线段的长度，的周长都随着点的移动而变化； 故选D． 【跟踪专练2】如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ___________． 【答案】27 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间距离相等，求出的长是解题的关键．过点作，求出的长，再利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作， ，的面积， ， ， ， 点到的距离等于的长度， 的面积． 故答案为：27． 【跟踪专练3】如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 根据题意可知，，，， 在中， ，即 解得： 故选：C． 题型02.菱形的性质及应用. 【典例】已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，进而利用互余解答. 【详解】∵四边形是菱形, ， ， ， ， ， ， ， 故选: C. 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理．根据菱形的性质以及勾股定理可求出，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，以及直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 根据菱形的性质得到，再结合直角三角形性质推出，即可求出菱形的周长． 【详解】解：菱形的对角线相交于点O， ，即， E是的中点，， ， 菱形的周长为， 故选：B． 【跟踪专练4】如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ， ，， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 为直角三角形， ， ， 与不全等， 故③错误； ∵菱形，， ∴ ，，， 根据勾股定理，得， ， 故④正确， 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【跟踪专练5】如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（    ） A．16 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】过作，如图所示，分析出菱形的周长最小时的位置，再由含的直角三角形性质，可判断，过作，如图所示，在中，根据勾股定理得到，最后由菱形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：过作，如图所示： 在菱形中，，， 设，则， ， ， ， ， ，即菱形边长最小是4， 当时，则，即菱形边长最小时，在中，，， ， 过作，如图所示： 在中，，，则， ，由勾股定理可得， 菱形的周长最小时，菱形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、动点最值问题、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，分析出菱形周长最小时的位置，正确记忆相关知识点是解题的关键． 题型03.证明四边形是菱形 【典例】如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定．根据题意，先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可． 【详解】解：如图，过点作于,过点作于 四边形是平行四边形 两张等宽的纸条交叉叠放在一起 四边形是菱形． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，丝带重叠的部分（四边形）一定是__________．    【答案】菱形 【解析】略 【跟踪专练2】如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，，接着利用勾股定理计算出的长，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：连接交于点，如图， 由作法， 四边形为菱形， ，，， 在中，， ， 四边形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练3】依据所标数据，下列平行四边形不是菱形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定定理判断即可，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、内角为、的三角形不是直角三角形，推出四边形的对角线不能互相垂直，不能判定四边形是萎形，故符合题意 、平行四边形的一条对角线平分内角，推出平行四边形的一组邻边相等，能判定四边形是菱形，故不符合题意； 、，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相垂直，能判定是四边形是萎形，故不符合题意； 两条边长为，，夹角为的三角形是等边三角形，得出平行四边形的一组邻边相等，能判定四边形是菱形，故不符合题意； 故选：． 题型04.添条件使四边形是菱形 【典例】如图，添加下列条件不能证明平行四边形ABCD是菱形的是（    ） A． ∠ABD＝∠ADB B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC＝BD 【答案】D 【分析】根据菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意； C、四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意； D、根据四边形ABCD是平行四边形和AC＝BD，得出四边形ABCD是矩形，不能推出四边形是菱形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定的应用，注意：菱形的判定方法有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线与交于点O． （1）添加一个条件________，则可判定四边形是菱形； （2）若，，则与的周长之差为________． 【答案】 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握性质和坡度是解题的关键． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，添加一个条件即可； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可． 【详解】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以添加一个条件， 故答案为：； （2）∵平行四边形中，对角线与交于点O，，， ∴，，， ∴与的周长之差为， 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是__． 【答案】 【分析】证，得出，则，证出四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 即， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 题型05.由菱形的性质与判定求线段长 【典例】如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线、相交于点，，若，则四边形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质．先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 故选：A 【跟踪专练2】如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长_____． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质、勾股定理，设与相交于点D，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，，，可得，则可得，，利用勾股定理可得． 【详解】解：设与相交于点D， 由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的长为（　　） A．8 B．6 C．3 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，尺规作图---角平分线等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．记与交于点O，连接，先证明是菱形，然后由勾股定理求出，再由菱形的性质即可求解． 【详解】解：如下图，与交于点O，连接，    由作图可知，平分，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 题型06.由菱形的性质与判定求角度 【典例】如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为____°． 【答案】30 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的关键；先根据作图方法证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等进行求解即可； 【详解】解：由作图方法可知，， ∴四边形是菱形， ， ， 故答案为：30． 【跟踪专练1】如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2.】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． . 【答案】/度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（    ） A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出② 【答案】A 【分析】根据对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形即可判断． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形， ∴由①推出②错误，由③推出②错误， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型07.由菱形的性质与判定求面积 【典例】一个平行四边形的一条边长是，两条对角线的长分别是和，这个平行四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定和性质，利用平行四边形的性质和勾股定理的逆定理可得，即得平行四边形是菱形，再根据菱形的面积公式计算即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，平行四边形中，，，， 则，， ∵， ∴是直角三角形，，即， ∴平行四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，交于点O，，则的面积等于______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据题意判定是菱形；在直角中，利用勾股定理求得的长度，继而利用菱形的面积公式作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，对角线，交于点O，， ∴是菱形， ∵， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 故答案为：24． 【跟踪专练3】如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，，若，四边形的面积为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得 故选：B． 题型08.菱形与动点问题 【典例】如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则________． 【答案】/度 【分析】过作于，得出，根据含30度角的直角三角形的性质勾股定理，求得，根据的最小值为，得到点在上，即可得出． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形，，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点在上时，可有的值最小，且最小值为， 此时， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，菱形的边长为2，，是边的中点，为菱形内一动点，连接．，点为的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】过A作交的延长线于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到， ，由勾股定理求出，再由，即可得到的最小值． 【详解】解：过A作交的延长线于N， ∵四边形是边长为2的菱形，， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，,通过给出的条件得出直角三角形，假设出未知量，通过勾股定理列出二次函数，求出最值即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设，则，，，由勾股定理得， ， 时，有最小值，最小值为． 题型09.菱形与折叠问题 【典例】如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，相交于点O，设与相交于点求出，证明与重合，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 相交于点O，设与相交于点 ∵沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与重合， ∴． 【跟踪专练1】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当____________ 时，P、、D三点共线． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点．当P，，D三点共线时，分两种情况：①当D在线段上时，连接；②当D在延长线上时，连接，，由翻折的性质易证得，则，设，由菱形的性质及易求得菱形内各个角的度数，然后，根据用x表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下的度数． 【详解】解：当P，，D三点共线时，分两种情况： ①当D在线段上时， 如图，连接， ∵沿翻折至， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵P在菱形的对角线上， ∴， ∴， 又∵， 而， ∴， ∴； ②当D在延长线上时， 如图，连接，， 同上，设， ∵， ∴， 又∵P在菱形的对角线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当或时，P、、D三点共线， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处． (1)求证：； (2)若，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理． （1）由折叠的性质可得，由菱形的性质可得，推出，易证是等腰三角形，结合，得到，进而求出，即可证明结论； （2）由折叠的性质可得，，根据菱形的性质易证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵在菱形中，， ∴， ∵点恰好落在的延长线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得，， ∵在菱形中，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴菱形的边长为． 题型10.菱形的探究型问题 【典例】【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】 (1)求的度数． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）设，利用等腰三角形的性质可得，则； （2）连接，由翻折及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （3）设，讨论分别为时，利用勾股定理求的值. 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∵，，， ∴解得：（舍） 即：； 当时，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍）， 即：， 综上：的长为：或 【跟踪专练1】如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 【答案】(1)矩形 (2)四边形是中母菱形，见解析 (3)四边形是中母菱形，见解析 【分析】（1）从学过的特殊图形中，寻找对角线相等的图形(正方形，矩形，等腰梯形等)； （2）欲证明四边形是中母菱形，只需证明该四边形的对角线即可； （3）通过全等三角形的判定定理证得，然后根据全等三角形的对应边相等的性质推知四边形的对角线，所以四边形是中母菱形. 【详解】（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等， 故答案为：矩形； （2）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵ ， 分别是 ，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是中母菱形； （3）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  四边形是中母菱形. 【跟踪专练2】问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②①中的结论仍成立，见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查菱形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形性质、等边三角形的性质与判定，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题的关键． （1）根据菱形的性质证明和为等边三角形，证明，即可得到结论； （2）①E为BM的中点，是等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论； ②延长至H，使，连接，NH，证明，根据全等三角形的性质得到为等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论． 【详解】解：（1）， 证明：四边形是菱形， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （2）①如图， E为BM的中点，是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②①中的结论仍成立． 证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【答案】(1)图见详解，； (2)，证明见详解； (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当时，四边形为菱形，得出，，得出当点在对角线的交点上时，符合题意，此时； （2）连接、， 证明，得出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，根据，即可得出； （3）连接，，证明，得出，证明，由（2）得四边形为平行四边形，得出，从而得出． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： 过点作交于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，即， 当时，， ， 四边形为菱形， ，， 当点在对角线的交点上时，符合题意， 此时， 故答案为：； （2）； 证明：连接、，如图所示： ， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ； （3）解：连接，，如图所示： 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ， ， 即当时，将平行， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定． 题型11.菱形的最值问题 【典例】如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，当的值最小时，、、三点共线，即求的长度，根据题意判断为等边三角形，且点为的中点，根据直角三角形的性质，求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接，，当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小，即为的长， 由菱形的性质可知，， 又， ∴为等边三角形， ∵点为的中点，， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接，．则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接交于点，推出当点A，P，E三点共线时，取得最小值，等于的长度，然后证明出是等边三角形，得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， 点，点关于所在直线对称，连接交于点， ， ， 当点A，P，E三点共线时，取得最小值，等于的长度， 四边形是菱形，， ， ， 是等边三角形， 点是边的中点， ，， ，即的最小值为． 【跟踪专练2】如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先证明，推出，推出当点与点重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，连接，，，设交于点，，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴，， ∴在直线上， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴（负值舍去）， ∵D，B关于对称， ∴， ∴， ∴当点P与点重合时，的值最小，此时， 根据垂直平分， ∴此时， ∴的值最小为． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用菱形的性质求线段长，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解三角形，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 题型12.菱形与坐标综合问题 【典例】菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，连接，交于点，由菱形的性质得到，由点的坐标可得，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】过C作，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可求得答案． 【详解】解：过C作于E， ∵顶点C的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点B的坐标为即，点的坐标为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，且垂直于y轴，，点P是坐标平面内一点，，则满足条件的点P的坐标为________． 【答案】或或 【分析】根据菱形的性质，证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出菱形的面积，设与y轴交于E，求出的长，设，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 设与y轴交于E， ∵轴，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或0， ∵， ∴或或． 故答案为∶或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，先求出，再根据菱形的性质得出，，求出，，根据作图可知垂直平分，根据中点坐标即可得出答案． 【详解】解：如图，作于G，作于T，    ∵， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，， 由作图得垂直平分， ∴， ∴点E是的中点， ∴，即， 故选：A． 题型12.菱形与坐标综合问题 【典例】边长为10的菱形中，有一个内角为，则该菱形四个顶点之间距离的最大值是______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质证明是等边三角形，进而得出，由勾股定理可得，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，四边形是边长为10的菱形，其中交于O，， ∴，，，，， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴菱形四个顶点之间距离的最大值是． 【跟踪专练1】如图，菱形中，，点，分别在，边上，将沿直线折叠，使点恰好落在的中点处，若，则的长为________．    【答案】/5.6 【分析】过点作交的延长线于点，求出，，设，用表示出，，再在中，利用勾股定理列方程解出即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，    设， 四边形是菱形，，， ，，， 点是的中点， ， 在中， ，， ， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折的性质，解直角三角形，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点若，，则的长是______． 【答案】 【分析】根据菱形中，可知是等边三角形，结合三线合一可得，求出，可得，则是直角三角形，借助勾股定理求出的长即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 将沿直线翻折，得到， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质可证明，得出，作，即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 作交于点，    在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练4】综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长度为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． （1）数量关系：．连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， 即， ∵点为中点， 故平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 【解答题】 1．如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由菱形的性质得出，得出，证出四边形是平行四边形，再由，即可证出四边形是菱形； （2）求出，得出再证出，在中，由勾股定理求出， 即可得出菱形的周长． 【详解】（1）证明：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，四边形 是菱形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴菱形的周长． 2．问题引入：如图1，，，，是线段的中点．连接并延长交于点，连接． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题延伸：如图2，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连接、，且．判断与之间的位置关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，连接，若，，则的长为____________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的长为 【分析】（1）利用证明，可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题； （2）延长交于，证明，可得，，进而证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证明； （3）由（2）可知，，证明，求出，，过点G作于点N，求出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点H， ∵是的中点， ∴， ∵四边形和四边形是菱形，点，，在同一条直线上， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， （3）解：由（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 过点G作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，则，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 4．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平分，可得，利用四边形是平行四边形，求证即可; （2）连接、，根据平分，四边形是矩形，可得和都是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一，可得，，，证明，即可得是等腰直角三角形，即可求解； （3）延长、交于点，连接，求证四边形是菱形，证明可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，． ，． 平分， ． ． ， ． ． （2）如图，连接、， ∵四边形是矩形， ，． ． 平分， ． ． ，，． ． 又是的中点， ，，． ． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． （3）如图，延长、交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ∴四边形为平行四边形． ，平分， ，． ． ． ， ． ∴平行四边形为菱形． ，． 、为等边三角形． ． ， ， ∴四边形为平行四边形． ，． ，， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． 5．已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05菱形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透菱形定义，分清与平行四边形的区别 2.牢记性质：四边相等+对角线垂直，对称性记牢 3.掌握3种判定方法，不丢前提条件 4.熟记衍生结论：对角线平分一组对角，可用于角度计算 1.会用性质算边长、对角线，快速解题 2.规范书写推理，证明菱形判定不踩坑 3.搞定折叠、对角线夹角等期中高频模型 4.综合运用知识，应对中档+简单压轴题 1.基础题不丢分，选择填空秒搞定 2.中档题不踩坑，规范步骤拿满分 3.规避高频易错点，减少不必要失分 4.轻松应对压轴基础问，高效提分 题型01.平行线间的距离计算与应用 题型02.菱形的性质及应用 题型03.证明四边形是菱形 题型04.添条件使四边形是菱形 题型05.由菱形的性质与判定求线段长 题型06.由菱形的性质与判定求角度 题型07.由菱形的性质与判定求面积 题型08.菱形与动点问题 题型09.菱形与折叠问题 题型10.菱形的探究型问题 题型11.菱形的最值问题 题型12.菱形与坐标综合问题 题型13.含60角的菱形问题 解答题5题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 知识点02:菱形的性质（中考高频考点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（解答题证明必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 题型01.平行线间的距离计算与应用 【典例】如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，于点B，，，，，则直线a与b之间的距离是________． 【跟踪专练1】如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（   ） . A．的大小 B．线段的长度 C．的周长 D．的面积 【跟踪专练2】如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ___________． 【跟踪专练3】如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 题型02.菱形的性质及应用. 【典例】已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则的长为_____． 【跟踪专练2】如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为_______． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 【跟踪专练4】如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练5】如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（    ） A．16 B．12 C． D． 题型03.证明四边形是菱形 【典例】如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，丝带重叠的部分（四边形）一定是__________．    【跟踪专练2】如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 【跟踪专练3】依据所标数据，下列平行四边形不是菱形的是（    ）． A． B． C． D． 题型04.添条件使四边形是菱形 【典例】如图，添加下列条件不能证明平行四边形ABCD是菱形的是（    ） A． ∠ABD＝∠ADB B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC＝BD 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，对角线与交于点O． （1）添加一个条件________，则可判定四边形是菱形； （2）若，，则与的周长之差为________． 【跟踪专练2】如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是__． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 题型05.由菱形的性质与判定求线段长 【典例】如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线、相交于点，，若，则四边形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【跟踪专练2】如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长_____． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的长为（　　） A．8 B．6 C．3 D．10 题型06.由菱形的性质与判定求角度 【典例】如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为____°． 【跟踪专练1】如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2.】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． . 【跟踪专练3】下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（    ） A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出② 题型07.由菱形的性质与判定求面积 【典例】一个平行四边形的一条边长是，两条对角线的长分别是和，这个平行四边形的面积是______． 【跟踪专练1】如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，交于点O，，则的面积等于______． 【跟踪专练3】如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，，若，四边形的面积为，则的长为（ ） A． B． C． D． 题型08.菱形与动点问题 【典例】如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则________． 【跟踪专练1】如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，菱形的边长为2，，是边的中点，为菱形内一动点，连接．，点为的中点，连接，则的最小值为__________． 【跟踪专练3】如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 题型09.菱形与折叠问题 【典例】如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当____________ 时，P、、D三点共线． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处． (1)求证：； (2)若，求菱形的边长． 题型10.菱形的探究型问题 【典例】【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】 (1)求的度数． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 【跟踪专练1】如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 【跟踪专练2】问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立；若不成立，请说明理由． 【跟踪专练3】如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 题型11.菱形的最值问题 【典例】如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接，．则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 题型12.菱形与坐标综合问题 【典例】菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，且垂直于y轴，，点P是坐标平面内一点，，则满足条件的点P的坐标为________． 【跟踪专练3】如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 题型12.菱形与坐标综合问题 【典例】边长为10的菱形中，有一个内角为，则该菱形四个顶点之间距离的最大值是______． 【跟踪专练1】如图，菱形中，，点，分别在，边上，将沿直线折叠，使点恰好落在的中点处，若，则的长为________．    【跟踪专练2】如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点若，，则的长是______． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______． 【跟踪专练4】综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【解答题】 1．如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． ∵四边形是菱形， 2．问题引入：如图1，，，，是线段的中点．连接并延长交于点，连接． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题延伸：如图2，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连接、，且．判断与之间的位置关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，连接，若，，则的长为____________． 3．如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 4．在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 5．已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $