精品解析：甘肃凉州区红星乡中学等校2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将、 0、、 1，按从小到大的顺序排列，即可得答案． 【详解】解：对、 0、、 1，按从小到大的顺序排列，， ∴最小的数是． 故选：C． 3. 如图，在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，则点F到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， 由作图痕迹得平分， ， ∴，即点到的距离为4． 4. 已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 5. 如图，是内接正六边形，若的半径为，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的内接正六边形的性质得出，，，是等边三角形，即可证明，，，得出，，，利用扇形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接，，， ∵是内接正六边形， ∴，，， ∴，是等边三角形，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴ ． 6. 在下列事件中，随机事件是（ ） A. 投掷一枚骰子，朝上的点数为7 B. 从只有白球的袋子中摸出红球 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 篮球运动员投篮一次，命中篮筐 【答案】D 【解析】 【分析】随机事件是指可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．投掷一枚骰子，朝上的点数为7是不可能事件； B．从只有白球的袋子中摸出红球是不可能事件； C．任意画一个三角形，其内角和为是必然事件； D．篮球运动员投篮一次，命中篮筐是随机事件， 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内随的增大而减小， A、若两点在不同分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； B、若两点在同一分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； C、当时，两点都在第一象限，，原说法正确，符合题意； D、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意； 8. 如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 9. 如图，中，E、F分别是边和的中点，于点H，的面积为16，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于G，根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质可得出，根据的面积为16可求出，根据同角的正切值相等得出，则可求出，根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长交于G， ， ∵中，E、F分别是边和的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 10. 如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列四个结论：①对任意实数，不等式恒成立；②若方程的两根为，，则；③若点，，在该函数图象上，则；④关于的方程的两根之和为．则结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题针对开口向下、对称轴为的二次函数，逐一验证四个结论：①由顶点为最大值点，证得不等式恒成立，结论正确；②根据交点位置与对称性，推出两根距离范围，结论错误；③通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，结论错误；④分析平移后方程的对称轴与两根和，结论错误，最终确定仅①正确． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴顶点坐标为是最大值点， 故对任意实数，不等式恒成立，①正确； 已知抛物线与轴的一个交点位于与之间，对称轴为直线， 根据对称性，另一个交点在与之间， 设两根为，，可得，， ∴， ∴．即．②错误； ∵二次函数图象的开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越近， 函数值越大，点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，即，③错误； 方程可看作原抛物线向右平移个单位， 则平移后方程的对称轴为， ∴两根之和为．④错误． 二、填空题（共24分） 11. 如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意得、是方程的两不等实数根，由根与系数的关系得，，再根据即可得解． 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 12. 二次函数的顶点坐标是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为， ∴顶点坐标为． 13. 如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，由旋转的性质可知，，，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：设，则， 由旋转的性质可知，，， ①当时，是等腰三角形，则， 在中，， ， ， 解得； ②当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得（负值舍去）， ③当时，过点E作于点F，如图 ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 即， 解得，不符合题意，舍去； 综上可知，的长为或． 14. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E．若，求弧的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，利用等腰三角形的性质证明，进而利用平行线的性质和等腰三角形的性质求出的度数，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接轴，点、在轴上，且，连接、，则的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，易证四边形是平行四边形，则的面积等于，设，由轴，可得，求出，得到，即可求出，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵轴，点、在轴上， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴的面积等于， 设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积等于． 16. 如图，在中，，，，E为边的中点，点D在边上，，与相交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，，，过点E作，则，则，同理，且相似比为：，则可得出，过点D作于点H，得出，由相似三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的数量关系即可求出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，， 过点E作， 则， ∵E为边的中点， ∴，， ∴， 同理：，且相似比为：， ∴，即， 过点D作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵ ∴， 解得：． 17. 如图所示，长宽比为的矩形，将矩形沿着折叠，使点落到宽的中点，点落到点处，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，设与交于点，设，则，根据折叠的性质，可得，根据勾股定理列方程，求出的长，可得的长，再证，根据相似三角形的性质可得，可得的长和的长，再证明，根据全等三角形的性质可得的长，进一步可得的长，根据，可知四边形是矩形，可得，进一步求出的长，根据求解即可． 【详解】解：过点作于点，设与交于点，如图所示： 则， 长宽比为的矩形， 设， ， 是的中点， ， 根据折叠的性质，可知， 设，则， 在矩形中，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ， ， 根据折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， ， 、， 根据折叠的性质可得，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18. 一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有____个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个，第3列最多2个小正方形即可求解． 【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个，第3列最多2个小正方形，如图所示， 搭成这个几何体的小立方块最多有， 故答案为：9． 三、解答题（共66分） 19. 如图所示，在正方形网格内有一四边形，按要求画出下列图形． （1）将四边形向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到四边形． （2）将四边形绕点逆时针旋转得到四边形． 【答案】（1） 解：根据题意，画图如下： （2） 解：根据旋转的性质，画图如下： 【解析】 【分析】（1）根据平移的思想求解即可． （2）根据旋转的性质画图求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 计算及解不等式： （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 不等式两边乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 21. 随着电商的发展，某小区菜鸟驿站去年10月份每日平均接收快递64件，12月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，若去年月每个月日均接收快递件数的增长率不变．求每个月日均接收快递件数的增长率． 【答案】每个月日均接收快递件数的增长率为． 【解析】 【分析】设每个月日均接收快递件数的增长率为．根据题意列一元二次方程，取正数解即可． 【详解】解：设每个月日均接收快递件数的增长率为． 则， 解得：，（舍）， 答：每个月日均接收快递件数的增长率为． 22. 如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求证：． 【答案】（1）是等边三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ， ， 即． 根据旋转的性质可得， 是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出是等边三角形； （2）证明，得到，，得，求出，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：由（1）可知和都是等边三角形， ，，． 在和中， ， ，， ． 又， ， ． 在中，， ， ． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出是等边三角形． 23. 如图，是的直径，M为上一点，N为外一点，，，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． ， ，， ， ，， ， ， ， 为的半径， 与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D． 由（1）知，， ， 垂直平分． ，，， ． ， ， ． 是的直径， ，， ． 24. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为，点C的坐标为． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式． （2）求点D的坐标，并直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）， （2）；或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为，令求出点D的坐标，结合一次函数和反比例函数的性质求出时x的取值范围． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为； 一次函数过点A，C，点A的坐标为，点C的坐标为， ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 令， 解得：，， ， 当时，自变量x的取值范围是或． 25. 如图，中，是的直径，点为上一点，连接、，过点作的垂线，交，于点，、交于另一点，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是直径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，，根据得到，进而得到，然后根据切线的判定即可得证； （2）证明得到，因此，可得，，证明，得到，因此，，，根据勾股定理在求得，进而，由得到，即可求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，小李的家在楼，他想通过无人机向另外一幢楼楼的小张传送一张卡片，两幢楼位于同一水平面上，且小李在窗口看小张家窗口的俯角为，已知两幢楼同规格，且每层楼高均为米．若他使用的无人机的遥控半径为米，问小李能否将卡片送到小张家窗口处？说明你的理由．（参考数据：，，） 【答案】能，理由 过点向另一幢楼的垂线，垂足是点，作示意图如下： 由题意得 米， 在中，， ， ∵， ∴ 米 ， ∵ ， ∴小李能将卡片送到小张家窗口处． 【解析】 【分析】根据题意构造直角三角形，由三角函数，可计算出的长度，与米进行比较即可． 【详解】略 27. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当线段最短时，求点的坐标； （3）当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2）点P的坐标为； （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 3. 如图，在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，则点F到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 无法确定 5. 如图，是内接正六边形，若的半径为，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 在下列事件中，随机事件是（ ） A. 投掷一枚骰子，朝上的点数为7 B. 从只有白球的袋子中摸出红球 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 篮球运动员投篮一次，命中篮筐 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 8. 如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 9. 如图，中，E、F分别是边和的中点，于点H，的面积为16，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 10. 如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列四个结论：①对任意实数，不等式恒成立；②若方程的两根为，，则；③若点，，在该函数图象上，则；④关于的方程的两根之和为．则结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共24分） 11. 如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 12. 二次函数的顶点坐标是 ____． 13. 如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 14. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E．若，求弧的长为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接轴，点、在轴上，且，连接、，则的面积为_____． 16. 如图，在中，，，，E为边的中点，点D在边上，，与相交于点F，则的长为______． 17. 如图所示，长宽比为的矩形，将矩形沿着折叠，使点落到宽的中点，点落到点处，则 ______ ． 18. 一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有____个． 三、解答题（共66分） 19. 如图所示，在正方形网格内有一四边形，按要求画出下列图形． （1）将四边形向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到四边形． （2）将四边形绕点逆时针旋转得到四边形． 20. 计算及解不等式： （1）计算：； （2）解不等式：． 21. 随着电商的发展，某小区菜鸟驿站去年10月份每日平均接收快递64件，12月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，若去年月每个月日均接收快递件数的增长率不变．求每个月日均接收快递件数的增长率． 22. 如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求证：． 23. 如图，是的直径，M为上一点，N为外一点，，，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 24. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数的图象交于点C和点D，其中点A的坐标为，点C的坐标为． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式． （2）求点D的坐标，并直接写出当时x的取值范围． 25. 如图，中，是的直径，点为上一点，连接、，过点作的垂线，交，于点，、交于另一点，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 如图，小李的家在楼，他想通过无人机向另外一幢楼楼的小张传送一张卡片，两幢楼位于同一水平面上，且小李在窗口看小张家窗口的俯角为，已知两幢楼同规格，且每层楼高均为米．若他使用的无人机的遥控半径为米，问小李能否将卡片送到小张家窗口处？说明你的理由．（参考数据：，，） 27. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当线段最短时，求点的坐标； （3）当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $