精品解析：山东泰安市新泰中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 4. 从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 5. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 6. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果函数对定义域内的任意实数，都有，则称函数为“函数”.下列函数是内的“函数”的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数有1个零点 C. 对任意，，都有 D. 若函数在区间上有且只有一个零点，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 实数1080所有正因数有__________个. 13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 14. 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值； （2）解不等式. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 17. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 18. （1）已知函数在上单调递减，求a的取值范围； （2）证明不等式：． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数求导法则判断A，B；根据复合函数求导法则判断C；根据正弦函数求导法则判断D. 【详解】选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：对复合函数求导，得， C错误； 选项D： ，D错误. 2. 有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故选项A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，当时，， 则在上单调递减，故选项C正确； 选项D，时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极小值，故选项D错误. 4. 从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】从五个数中选两个数排列后，减去两组比值相同的情况即可. 【详解】总的有序数对的个数为,因为 ，所以不同值的个数即为不同比值的个数. 在20个比值中，由于 以及，存在两组比值相同的情况，因此实际不同值的个数为. 5. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 6. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可. 【详解】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 7. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，先研究的单调性与函数值的情况，再结合复合函数单调性求得的单调性与函数值的情况，进而结合选项即可得答案. 【详解】令，则, 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增 所以， 又因为，所以的定义域为 所以，根据复合函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减，且 根据以上性质，只有C选项满足. 故选：C 8. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算可得结果. 【详解】∵，∴. ∵，∴. 设，则. 当时，，在上单调递增， ∴，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 当时，，当时，， ∵函数在上不单调， ∴，即， ∴，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果函数对定义域内的任意实数，都有，则称函数为“函数”.下列函数是内的“函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，则，可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”，逐项验证可得答案． 【详解】令，则， 即函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”． 对于A，，，， 当时，，单调递增，则函数是“F函数”．故A正确； 对于B，，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故B错误； 对于C，，，， 所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故C正确； 对于D，，，， 当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数， 则函数不是“F函数”．故D错误. 故选：AC. 10. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解； 【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误； 对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确； 对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误； 对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确； 故选：BD 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数有1个零点 C. 对任意，，都有 D. 若函数在区间上有且只有一个零点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求导，根据导数符号可判断A；根据单调性结合极值可判断B；利用二阶导数可判断C；转化为的图象与直线只有一个交点可判断D. 【详解】函数的定义域为R，则， 对于A，当时，，则在单调递减； 当或时，，则在，单调递增，故A错误； 对于B，由A可知，在处取极大值，在处取极小值， 极大值为且； 又当，，故在R上只有一个零点，故B正确； 对于C，代表该函数为凹函数， 记，则， 又，当时，恒成立，函数为凹函数，故C正确； 对于D，由上知在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上有且仅有一个根等价于函数在上的图象与直线只有一个交点， 所以或，故D错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 实数1080所有正因数有__________个. 【答案】32 【解析】 【分析】分析可得正因数为，确定，利用分步乘法计数原理确定总的正因数个数即可. 【详解】， 设正因数为，则， 由分步乘法计数原理可知，共有种. 故答案为：32 13. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 14. 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得. 【详解】由题可得. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）280；（2） 【解析】 【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案； （2）根据排列数公式，解不等式，即得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【小问1详解】 因为，. 所以，. 由题意. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 17. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 18. （1）已知函数在上单调递减，求a的取值范围； （2）证明不等式：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将函数在上单调递减，转化成在上恒成立即可. （2）证明不等式恒成立，即构造函数在定义域内大于0恒成立，转化成求的最值即可. 【详解】（1）由，则， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即， 构造函数，所以， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值， 即，所以， 所以a的取值范围为． （2）令函数，，求导得：， 令，则， 所以函数在上单调递增，而，， 则存在，使得，即，有， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以取不到等号，所以，所以， 所以． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $