精品解析：江苏无锡市江阴市第二中学2025-2026学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷

江阴二中高一年级3月阶段性检测试卷 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的定义求解即可. 【详解】由题易知，实部为1，虚部为-2. 故选：A 2. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】， 故选：B 4. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 5. 在中，角的对边分别为，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以. 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，， 因为 所以，即，解得， 故选：B 8. 半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为的中点，，从而则，又，，当且仅当，即为的中点时，取得最小值是，故选D. 【易错点晴】本题主要考查平面向量的几何运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. 复数的模是 B. C. D. 若复数满足，则最小值 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，复数的模为, 故A正确； 对于B，两个复数不能比较大小，故B错误； 对于C，设，则， ，所以，故C正确； 对于D，由，可知在复平面上对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 又原点到的距离为，所以最小值为，故D正确. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最小值为 D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角形内角和，根据正弦定理以及二倍角公式，可得A的正误；利用余弦定理整理等式，可得B的正误；由正弦定理可得角与边的等量关系，三角形面积与的函数解析式，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得CD的正误. 【详解】由，且，则，即， 由正弦定理可得，则，由，则， 即，可得，解得，故A错误； 由，根据余弦定理，则，解得，故B正确； 由，则，， 所以的面积，由， 则 ， ， 由，则，即， 易知当时，取得最大值，为，故C错误； ， ， ， 由，则，即， 可得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，求得的坐标，代入，即可求得点的坐标, 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 则， 又， 所以， 所以，则的坐标为. 故答案为：. 13. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】一 【解析】 【详解】因， 则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 14. 如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，是中点，故； 由，，得； 是上靠近的四等分点， 由定比分点公式得 . 为向量与的夹角，所以. 因为，， 所以， ，. 进而． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律得到，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，即可得解； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，再求出k的值. 【小问1详解】 因为， 所以. 设与的夹角为， 则，又，所以， 故与的夹角为. 【小问2详解】 因为，所以， 即，即， 所以，即，解得. 16. 在复平面内，复数 （其中）. （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）或4；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果 【详解】（1）因为复数为实数，所以， 所以或4； （2）因为复数为纯虚数，所以， 所以 （3）因为对应的点在第四象限，所以 解不等式组得，， 即的取值范围是. 【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. （1）求sin B的值； （2）求c的值. （3）若的平分线交BC于点D，求AD的长. 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）方法一，根据（1）的结果求，再根据正弦定理求的值；方法二，根据余弦定理求； （3）根据，代入面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理=， 可得，所以sin B=. 【小问2详解】 方法一　根据条件，b<a，∴B为锐角， 由（1）sin B=，所以cos B=， 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 由正弦定理=可得c=3. 方法二　由余弦定理， 得(， 整理得， 解得或(舍去)， 所以. 【小问3详解】 ， 即，得. 18. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. 【小问3详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 19. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴二中高一年级3月阶段性检测试卷 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 10 3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 8. 半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 A. 2 B. 0 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. 复数的模是 B. C. D. 若复数满足，则最小值 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最小值为 D. 的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点，，若，则点的坐标为________． 13. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 14. 如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值. 16. 在复平面内，复数 （其中）. （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. （1）求sin B的值； （2）求c的值. （3）若的平分线交BC于点D，求AD的长. 18. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $