第七章 复数单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数单元测试卷 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，，则（） A． B． C． D． 2. 复数的虚部为（） A． 1 B． -1 C． 2 D． -2 3. 若复数，则复数的模为（） A． B． C． D． 4. 已知复数（）为实数，则实数的值为（） A． 0 B． 1 C． -1 D． 2 5. 复数在复平面内对应的点位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 6. 已知复数满足，则的模的最小值为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 7. 已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 8. 已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（    ） A． B． C．1 D．4 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。） 9. 下列关于复数的说法正确的是（） A． 若，则 B． 若，则 C． 若为纯虚数，则 D． 复数（）的模长为 10. 已知为虚数单位，则（    ） A． B．若，则的充要条件是 C．若复数，则 D．复数，则 11. 已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（    ） A．，n为整数 B．复数z为实数的充要条件是 C．对于任意的， D．满足的z仅有一个 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 若复数（）为纯虚数，则实数______．。 13. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______． 14. 已知复数，满足(表示的共轭复数)，则______. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （13分）已知复数，，且为实数，求实数的值。 16. （15分）已知复数（），当为何值时， (1) 是实数？ (2) 是纯虚数？ 17. （15分）已知是复数，（为虚数单位）为实数，且. (1)求复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 18. （17 分）已知复数满足，且的虚部为 2， (1) 求复数； (2) 若在复平面内对应的点在第二象限，求的值。 19. （17 分）已知复数的实部与虚部的差为． (1)若，且，求复数的虚部； (2)当取得最小值时，求复数的实部． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数单元测试卷 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据复数加法法则，实部与实部相加，虚部与虚部相加，。 2. 复数的虚部为（） A． 1 B． -1 C． 2 D． -2 【答案】A 【解析】先化简复数，，根据复数虚部的定义，复数（）的虚部为，故该复数虚部为 1。 3. 若复数，则复数的模为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，复数模长公式为，则。 4. 已知复数（）为实数，则实数的值为（） A． 0 B． 1 C． -1 D． 2 【答案】B 【解析】复数为实数的充要条件是虚部为 0，即，解得。 5. 复数在复平面内对应的点位于（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A 【解析】化简，其在复平面内对应的点为，位于第一象限。 6. 已知复数满足，则的模的最小值为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】A 【解析】设（），则，即，表示复平面内以为圆心，1 为半径的圆。表示圆上的点到原点的距离，圆心到原点的距离为 2，故的最小值为。 7. 已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据是关于的方程的一个根，代入计算即可求解. 【解析】因为是关于的方程的一个根， 所以，即，所以， 解得：， 故选：. 8. 已知复数满足，且，那么实数不可能取的值是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】令复数，代入模长公式，再代入，化简列方程组即可求得. 【解析】令，则分别带入，中得 当时，，或； 当时，解得； 综上：或或. 故选：A 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。） 9. 下列关于复数的说法正确的是（） A． 若，则 B． 若，则 C． 若为纯虚数，则 D． 复数（）的模长为 【答案】ABC 【解析】 A 选项：实数的共轭复数是其本身，故 A 正确； B 选项：复数模长的运算性质，，故 B 正确； C 选项：设纯虚数（，），则，故 C 正确； D 选项：复数（）的模长为，故 D 错误。 10. 已知为虚数单位，则（    ） A． B．若，则的充要条件是 C．若复数，则 D．复数，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的模的定义和运算法则可以判断AD对，虚数不能比较大小能判断C对，举一个反例可以判断B错. 【详解】A．根据模的运算法则，，A对； B．当成立，B错； C．虚数不能比较大小，复数，则，C对； D．复数，D对. 故选：ACD 11. 已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（    ） A．，n为整数 B．复数z为实数的充要条件是 C．对于任意的， D．满足的z仅有一个 【答案】BC 【分析】根据复数的定义与共轭复数，模的计算，以及充要条件的定义，即可判断正误. 【详解】解：令， 对于A， ， 当n为偶数时，，A选项错误； 对于B，若复数z为实数，则，，所以，符合， 反之若，则，所以，因此，即复数z为实数， 综上，复数z为实数的充要条件是，B选项正确； 对于C，令，， 则 ， ， ，C选项正确； 对于D，已知，则，即， 所以， 当时，得或， 当时，，无解， 所以或，满足的z有2个，D选项错误； 故选：BC． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 若复数（）为纯虚数，则实数______．。 【答案】2 【解析】纯虚数的定义为实部为 0 且虚部不为 0，即，解得。 13. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______． 【答案】2 【分析】将根代入方程，化简即可得到，列方程组即可求得. 【详解】将代入方程得：， 即，即， 所以，解得， 所以. 故答案为：2 14. 已知复数，满足(表示的共轭复数)，则______. 【答案】 【分析】由复数相等定义可得，根据即可求出结果． 【详解】由得 所以，又所以 则， 则 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （13分）已知复数，，且为实数，求实数的值。 【解析】首先求出， 再计算。 因为为实数， 所以其虚部为 0，即，解得。 16. （15分）已知复数（），当为何值时， (1) 是实数？ (2) 是纯虚数？ 【解析】(1) 复数为实数的条件：虚部为 0 且实部分母不为 0， 即， 解得， 故。 (2) 复数为纯虚数的条件：实部为 0 且虚部不为 0、实部分母不为 0， 即， 解得， 故或。 17. （15分）已知是复数，（为虚数单位）为实数，且. (1)求复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【分析】（1）设（，），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出； （2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出. 【详解】（1）根据题意，设复数（，）， 则为实数，即，解得， 所以，. 又∵，∴，得， 所以复数. （2）由（1）知，对应的点在第四象限， 所以解得：，即. 所以实数的取值范围是. 18. （17 分）已知复数满足，且的虚部为 2， (1) 求复数； (2) 若在复平面内对应的点在第二象限，求的值。 【解析】(1) 设（）， 由题意得， 代入得，解得或， 故或。 (2) 由在复平面内对应的点在第二象限，得， 则。 19. （17 分）已知复数的实部与虚部的差为． (1)若，且，求复数的虚部； (2)当取得最小值时，求复数的实部． 【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得，再结合题意可得，再确定在复平面内对应的点的坐标即可； （2）先求出函数取最小值时对应的值，再结合复数的除法运算即可得解. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以， 又，所以，即， 则， 所以复数的虚部为． （2）因为，所以当时，取得最小值， 此时，， 则， 所以的实部为． 学科网（北京）股份有限公司 $