精品解析：湖南永州市宁远一中崇德学校2025-2026学年上学期高二第一次月考检测数学试卷

崇德学校2026年上期高二第一次月考检测卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，根据复数除法的计算法则求出复数，再根据共轭复数的定义求出即可得解. 【详解】因为复数， 所以. 故选：A 2. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向右平移1个单位 D. 向右平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移变换的规则即可得解. 【详解】将函数的图象向左平移1个单位， 得到函数的图象，即的图象. 故选：A 3. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，结合零次幂的性质进行求解即可. 【详解】因， 所以要使函数有意义，需满足且， 所以函数的定义域为， 故选：C 4. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以， 所以，故， 故选：B． 5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 6. 已知则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. 7. “ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ） A. 66 B. 75 C. 78 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可. 【详解】若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有（个）； 若千位数字是7，则共有（个）； 若千位数字是8，则共有（个）． 故符合条件的四位数共有（个）． 故选：B. 8. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 除以5所得的余数是1 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断ABC；根据二项式展开式的通项即可求解D. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ，故A错误． 因为， 所以， 所以，故B错误． 由于为展开式各项系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故D确． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ［多选题］下列说法正确的是（ ） A. “对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题 B. 命题“，”的否定是“，” C. 设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D. 设a，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，是无理数，是有理数，故A错误；对于B，由全称量词命题与存在量词命题定义知其正确；对于C，，可取，，不符合且，而且可以推出，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C错误；对于D，若，但时，有，而可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向右移个单位长度后，图象关于y轴对称，则的最小值为 D. 若关于x的方程在上有两个实数根，则实数m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用降幂公式、和角公式与辅助角公式将化成正弦型函数，由正弦型函数的最小正周期判断A；利用代入检验法判断B：根据图象平移后的函数，结合偶函数特征求得，根据的范围求得的值，判断C；将方程的根的情况转化为两个函数图象的交点情况，利用正弦函数的图象求得m的取值范围判断D． 【详解】对于A，因 ，故的最小正周期为，故A错误： 对于B，因为时，，且，即函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，将的图象向右移个单位长度后，可得的图象， 由的图象关于y轴对称，则， 则，解得，又，故的最小值为，故C正确； 对于D，由得，即， 因，设，则，关于x的方程有两个实数根， 等价于函数与的图象在上有两个交点，所以， 解得，故D正确. 故选：BCD． 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A 恰有一个极值点 B. 有最小值但没有最大值 C. 直线与曲线的公共点个数最多为4 D. 经过点只可作的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断C；由导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，的定义域为，， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故是唯一的极值点，故A正确； 对于B，函数在上的最小值为， 又因为当时，且，当且时，， 当且时，， 所以既无最小值也无最大值，故B错误； 对于C，由B选项作出函数的大致图象如图所示， 直线恒过点， 当足够大时， 直线与曲线有2个交点， 直线与曲线有2个交点， 则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确； 对于D，易知点不在的图象上，设切点为， 则，解得， 则经过点只可作曲线的一条切线，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】由的面积可得点的横坐标，再由抛物线定义可求. 【详解】由题意，，， ，，所以， 则， 由抛物线的定义知，. 故答案为：5. 14. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率. 【详解】由题意， 若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种， 若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种， 若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种， 若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种， 若甲第五个上场，乙则可以第12,3个上场，有种， 共有种， 而所有的上场顺序有种， ∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：, 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和为． （1）求的展开式中含的项； （2）若，求． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和可得出关于的等式，解出的值，再利用二项展开式通项可求出展开式中含的项. （2）令可得出的值，令可得出的值，即可得出的值． 【小问1详解】 由题意得的展开式的二项式系数和为，解得． 展开式的通项公式为， 令，解得，代入通项公式得． 【小问2详解】 因为， 所以令，得， 令，得， 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，分别是与的中点. （1）求证:平面; （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接与，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：取中点，连接， 在中，因为分别是与的中点，所以，且， 又因为在直三棱柱中，为的中点， 所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：因为平面，且，所以平面， 又因为为等腰直角三角形，则两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，所以直线与平面所成的角的余弦值为. 17. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得， 解得，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 所以 所以． 18. 已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）当直线的斜率为零时，直接计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题可知，. 在中，由勾股定理得， 则，即， 所以，故的面积是. 【小问3详解】 当的斜率为时，； 当不与轴重合时，设直线的方程为，、， 联立得， 所以，， 由韦达定理可得，. ， 故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，求得，可求切线方程； （2）求导得，分，两种情况讨论，可得单调性. （3）不妨设，可得，要证，需证，令，即证，利用导数证明即可. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，. ①当时，，在上单调递减. ②当时，令，得， 故在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 不妨设， 由，可得 所以 整理可得，即， 要证，即证， 即证. 令，即证， 令，其中，则， 所以在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇德学校2026年上期高二第一次月考检测卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向右平移1个单位 D. 向右平移3个单位 3. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 7. “ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ） A. 66 B. 75 C. 78 D. 90 8. 已知，则下列描述正确的是（ ） A B. C. D. 除以5所得的余数是1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ［多选题］下列说法正确的是（ ） A. “对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题 B. 命题“，”的否定是“，” C. 设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D. 设a，，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数图象向右移个单位长度后，图象关于y轴对称，则的最小值为 D. 若关于x方程在上有两个实数根，则实数m的取值范围为 11. 对于函数，下列说法正确是（ ） A. 恰有一个极值点 B. 有最小值但没有最大值 C. 直线与曲线的公共点个数最多为4 D. 经过点只可作的一条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____________. 13. 已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则______. 14. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和为． （1）求的展开式中含的项； （2）若，求． 16. 如图，在直三棱柱中，分别是与的中点. （1）求证:平面; （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 17. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知和为椭圆上两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $