湖南长沙市明达高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

2025下学期长沙市明达中学12月月考数学教师卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ BDBA DCAD 9 ACD 10 ACD 11 ACD 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义求解即得. 【详解】因，， 则. 故选：B 2．复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【答案】D 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由可知，虚部为1120. 故选：D 3．已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数乘的运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B． 4．已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据递推公式一一计算即可. 【详解】因为，， 所以，，，. 故选：A 5．已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式可得答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当 即时取等号. 故的最小值为8. 故选：D 6．若，则 A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据同角三角函数间的关系，待求式化为正切即可. 【详解】因为， 所以选C. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的关系，属于中档题. 7．若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得长方体对角线长得外接球直径，再计算球的表面积即可． 【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这道题考查的是椭圆的离心率.抓住已知角，设，先在中用一次余弦定理解出与的关系，然后在中再用一次余弦定理求出与的关系，最后得出结论即可. 【详解】设，由，得，由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理得，解得或（舍去）， 在中，， ，解得离心率. 故选：D. 二、多选题 9．下列各式不正确的是（    ） A．若，，则B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案． 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B，若，，则，B正确； 对于C，若，，则，C错误； 对于D，若，，则，D错误. 故选：ACD 10．记等差数列的前项和为，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设等差数列的公差为，由题意可得，计算可得判断A；可求判断B；，可判断C；计算可得判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确． 故选：ACD． 11．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 【答案】ACD 【分析】分别分析椭圆与双曲线的性质，可判断ABC的真假；联立方程组，解方程组可得椭圆与双曲线公共点的个数，判断D的真假. 【详解】对椭圆：焦点在轴上，且，，所以，所以椭圆的焦点为，离心率为. 对双曲线：焦点在轴上，其渐近线方程为. 所以，AC正确，B错误. 对D：由， 所以或或或. 即椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．以为圆心，5为半径的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据圆心和半径结合圆的标准方程即可得结果. 【详解】以为圆心，5为半径的圆的标准方程是. 故答案为：. 13．已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于 ． 【答案】 【分析】直接运用等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，公比， 所以该数列的前4项的和为， 故答案为： 14．椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先根据椭圆方程及椭圆的定义得出焦点坐标及，再根据圆与椭圆的位置关系结合两点间的距离公式计算求解． 【详解】 椭圆，， ， 根据椭圆的定义，椭圆上任意点满足，右焦点坐标， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， ， ， ，当在的延长线与椭圆交点时取等号， ， ， 故答案为：． 四、解答题 15．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； （4）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c; (1)若， ， ，求a; (2)若， ， ，求B; 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理直接求解. 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以. （2）在中，， ， ， 由正弦定理得，，即，由，得， 所以. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； （2）由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； （3）由（1），，又， 则到直线的距离为：.    18．已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由等比数列的定义及通项公式可得结果； （2）由等差数列和等比数列的前项和计算可得结果； （3）利用错位相减法求前项和的方法计算可得结果. 【详解】（1）由，得，， 当时，，则，解得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，则. （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（1）知，所以，所以， 即，， 两式相减得， 所以. 19．已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii） 【分析】（1）由已知渐近线方程，设设双曲线的方程为，代入点求解即可； （2）（i）设直线的方程为,联立直线与双曲线，由韦达定理代入关系式，化简整理得的关系，求得定点； （ii）由（2）得的关系，代入韦达定理，代入面积表达式，换元结合基本不等式求最值即可.. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 又，， 所以 同理，， 所以，所以， 由消去得，， 所以， 所以， 整理，得， 即 整理，得， 解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过点. （ii）因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令， 则，， 因为在上单调递减， 所以， 所以得的取值范围是.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市明达中学12月月考数学答题卡 数学·答题卡 班级：____________________ 帖 条 形 码 处 姓名：____________________ 一、单选题 （共40分） 二、多选题（共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市明达中学2025下学期高二12月月考 数学试卷 命题人：何光明 审题人：陈家乐 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 3．已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 4．已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 5．已知，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 6．若，则 A． B． C． D．2 7．若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各式不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．记等差数列的前项和为，，，则（　　） A． B． C． D． 11．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 三、填空题 12．以为圆心，5为半径的圆的标准方程是 . 13．已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于 ． 14．椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 四、解答题 15．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 16．在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c; (1)若， ， ，求a; (2)若， ， ，求B; 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 18．已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 19．已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $