精品解析：湖南省永州市宁远县宁远一中崇德学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

宁远一中崇德学校2025年高二12月月考试卷 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的除法运算可求得. 【详解】， 所以复数在复平面内所对应的点是，位于第二象限． 故选：B. 2. 已知直线与直线垂直，则的值为（ 　 ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直的直线所满足的系数关系，列式即可求得参数值. 【详解】因为两直线垂直所以：， 解得：. 故选B. 【点睛】本题考查直线垂直与系数之间的关系，熟练掌握垂直、平行等条件与限制条件，注意避免漏解与多解的情况发生. 3. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据等比中项可得，分两种情况利用通项公式求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，，舍去， 故，所以，即， 所以. 故选：. 4. 抛物线的焦点到直线的距离（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 分析】 由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由抛物线可得焦点坐标为， 根据点到直线的距离公式，可得， 即抛物线的焦点到直线的距离为. 故选：B. 5. 三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举基本事件空间，可得概率. 【详解】设三人为，，，则参加晚会的情况有，，，，，，，共种情况， 其中恰有一人参加晚会的情况有种， 故所求的概率为， 故选：B. 6. 在等差数列中，若，则数列的前13项和（ ） A. 260 B. 520 C. 1040 D. 2080 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质可得，即可求出. 【详解】，∴. ∴. 故选：C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】，再根据诱导公式、倍角公式计算即可. 【详解】， 故选：. 8. 已知点是椭圆上的动点，过点作圆的切线，为其中一个切点，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点坐标为，由结合点在椭圆上，利用二次函数性质即可求解. 【详解】设点坐标为，因为，，圆的半径为1， 所以， 又，即， 所以. 因为，所以. 故选：B. 二、多选题 9. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为9 B. 焦距为10 C. 若，则的面积为9 D. 的周长为20 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得． 【详解】解：由椭圆的方程得： . 对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确； 对B.焦距为B错误； 对C.由题意得：，① 由椭圆定义得：， 即，② ②-①得：， 的面积为，故C正确 对D，的周长为，故D错误； 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 将图象向右平移个单位，得到函数的图象 C. 的图象关于直线对称 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；利用三角函数图象变换可判断B选项的正误；利用代入法可判断C选项的正误；利用正弦型函数的有界性可判断D选项的正误. 【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则， ，得， 所以，，得，，得， 所以，A项错误； 将的图象向右平移个单位， 得到函数的图象，B项正确； ，故C项错误； 的最小正周期为，所以若，则，故D项正确， 故选：BD． 11. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆可能相切 C. 当圆上有且只有4个点到直线的距离为1时，则 D. 设与圆交于，两点，则中点的轨迹方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，化直线为点斜式判断；B选项，根据直线经过的定点在圆内判断；C选项，结合半径长度，点到直线的距离求解；D选项，根据垂径定理判断出即可得解. 【详解】A选项，整理得，， 可知该直线经过，A选项正确； B选项，整理圆的方程为：， 注意到， 可知直线经过的定点在圆内，则直线必和圆相交，不可能相切，B选项错误； C选项，当圆上有且只有4个点到直线的距离为1时， 则圆心到直线的距离小于， 即，解得，C选项正确； D选项，由垂径定理和直线经过定点可得，， 则的轨迹是以为直径的圆上运动， 又中点是，， 则的轨迹是，D选项错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知空间向量，，且，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据空间向量平行公式计算求解. 【详解】因为，所以其对应坐标成比例，即，解得. 故答案为：6. 13. 已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出图形，设圆台上、下底面的圆心分别为、，则外接球球心在直线上，设，根据圆台的几何性质可得出关于的等式，解出的值，可求出球的半径，结合球体的体积公式可求得球的体积. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为、，取该圆台的轴截面， 则该圆台的外接球球心在直线上，连接、， 设，则， 由，即， 即，解得， 因为该圆台的外接球半径为， 因此，所以该圆台的外接球的体积为. 故答案为；. 14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由曲线y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b与曲线y=3+有公共点，圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b的取值范围． 【详解】由曲线y=3+， 得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4， ∵直线y=x+b与曲线y=3+有公共点， ∴圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2， 即 ∵0≤x≤4， ∴x=4代入曲线y=3+，得y=3， 把（4，3）代入直线y=x+b，得bmin=3﹣4=﹣1，② 联立①②，得． ∴实数b的取值范围是[﹣1，1+2]． 故答案为. 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理． 四、解答题 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且． （1）求角； （2）若，三角形的面积为．求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角形的面积公式可求出的值，再利用余弦定理可求出的值，即可求出的值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得： ， 所以． 由，得，所以． 因为，故． 【小问2详解】 由已知及（1）的结论得，， 则，即． 由余弦定理可得， 即，即， 所以， 故. 16. 已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别是、，到双曲线渐近线的距离是，并且离心率为 （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为的直线过点与双曲线交于、两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，结合可得出、的值，由此可得出双曲线的标准方程； （2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式可求出的面积. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离为， 又因为，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设、，由（1）及题设知、， 所以直线方程为，联立，消得：， ， 由韦达定理可得，， 所以， 又因为，所以， 即的面积为. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. （1）求证：是平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离； （3）求与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由，，得平面，可得是平面的一个法向量； （2）由点到平面距离向量求法，可求得点到平面的距离； （3）求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法，即可求得与平面所成角的大小. 【小问1详解】 如图，以为原点，建立空间直角坐标系D－xyz， 正方体的棱长为2， 则 ， ， ， ，， ，， 平面，则是平面的一个法向量. 【小问2详解】 因为是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离是： . 【小问3详解】 因为点是的中点，则，， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 则平面的一个法向量， 设与平面所成角为 ，则 ＝， 所以与平面所成角的大小. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，求得，当时就，推得，得到数列是等比数列， 进而求得其通项公式； （2）由（1）知，设，利用错位相减法求和，即可得到答案； （3）用反证法进行代数证明. 【小问1详解】 解：由数列满足， 当时，，解得， 当时，， 两式相减，可得， 整理得，即， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，设， 则， 则， 两式相减，可得， 所以. 【小问3详解】 证明：由（1）知，可得， 假设存在使得成等差数列， 由于单调递减，所以,所以， 代入得，即. 设，则，矛盾. 所以数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 19. 已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线（点P在点的右上方）被圆截得的线段的长为c，且． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆C于点M，N（异于），设直线的斜率分别为，证明为定值，并求出该定值； （3）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的斜率为k（），则直线的方程为，由直线被圆截得的线段的长为c，可求出，联立方程，结合题意可得P的坐标为，结合，即可求解； （2）设直线l的方程为，联立方程，由韦达定理及斜率公式即可求解； （3）由（2）得直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，由三角形的面积公式，结合（2）的结论可得，继而即可求解. 【小问1详解】 由已知有，又由，可得． 设直线斜率为k（），则直线的方程为， 由已知得，解得， 联立，消去y整理得，解得或． 又点P在点的右上方，所以P的坐标为， 所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为． 联立，消去x整理得， ． 所以 . 【小问3详解】 由（2）得直线的方程为， 直线的方程为， 联立两条直线方程，解得，所以． 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁远一中崇德学校2025年高二12月月考试卷 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知直线与直线垂直，则的值为（ 　 ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 4. 抛物线的焦点到直线的距离（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，若，则数列的前13项和（ ） A. 260 B. 520 C. 1040 D. 2080 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是椭圆上的动点，过点作圆的切线，为其中一个切点，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为9 B. 焦距为10 C. 若，则的面积为9 D. 的周长为20 10. 已知函数部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到函数的图象 C. 的图象关于直线对称 D. 若，则 11. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆可能相切 C. 当圆上有且只有4个点到直线的距离为1时，则 D. 设与圆交于，两点，则中点的轨迹方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知空间向量，，且，则__________. 13. 已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为__________. 14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且． （1）求角； （2）若，三角形面积为．求． 16. 已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别是、，到双曲线渐近线的距离是，并且离心率为 （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为的直线过点与双曲线交于、两点，求的面积. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. （1）求证：是平面的一个法向量； （2）求点到平面距离； （3）求与平面所成角的大小. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求证：数列中任意不同三项都不能构成等差数列． 19. 已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线（点P在点的右上方）被圆截得的线段的长为c，且． （1）求椭圆C的方程； （2）过点直线l交椭圆C于点M，N（异于），设直线的斜率分别为，证明为定值，并求出该定值； （3）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $