精品解析：云南临沧市凤庆县凤山镇前锋中学2025～2026学年九年级下学期3月综评数学试题

2025～2026学年九年级下学期3月综评数学试题 一．选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在、0、1、2这四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个几何体，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个几何体可能是下面的（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象在（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第四象限 7. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ） A. 3000 B. 4000 C. 6000 D. 60000 10. 按一定规律排列的单项式：x，，，，…，第n个单项式为（ ） A B. C. D. 11. 已知与相似，，那么度数可能是（ ） A. B. C. D. 12. 已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 13. 将多项式分解因式，下列结果正确的是（　　） A B. C. D. 14. 《九章算术》中记载一道题，大意为：如图，今有一门（矩形），高比宽多6尺8寸，门的对角线恰好为1丈（1丈尺，1尺寸）．问门高、宽各是多少?设门高为x尺，则根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，已知四边形是矩形，为边上的动点，连接，过点作分别交于点，下列说法中，正确的有（　　）个 ①的最小值为；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 17. 若的整数部分是a，小数部分是b，求______． 18. 计算的结果是__________． 19. 如图①，将一个底面积为的圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面的中央．现用一个注水管沿大容器内壁匀速持续地注水，水杯内水面的高度h（）与注水时间t（）的图像如图②所示，则注水速度为________． 三．解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，在中，点D在上，点E在上，且． （1）请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 22. 某学校准备购进一批足球和篮球，从体育商城了解到：足球单价比篮球单价少25元，用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等． （1）求足球和篮球的单价各是多少元； （2）若该学校准备同时购进这两种足球和篮球共80个，并且足球的数量不多于篮球数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 23. 小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． （1）转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； （2）请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 24. 如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 25. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足二次函数关系． 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）根据表中数据，直接写出的值为__________，跳水的最大高度为__________． （2）求满足二次函数关系式； （3）在（1）（2）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 26. 【初步感知】 （1）如图1，正方形的四个顶点均在上，点E在劣弧上，连接，在上取一点F，使得，连接，求证：； 【拓展延申】 （2）如图2，小军在电脑上画了一个，其中，，．点P在边上，且，同时在上设置动点D，并设置如下程序：点D以点P为起点沿方向向终点A运动，随着点D的运动，关联点E在上运动，且始终保持，以为边在右侧作等边感应区，求在点D运动的过程中，点F所经过的路径长．（结果保留） 27 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作交y轴于点E． （1）求点A，B，C的坐标； （2）点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作轴于点F，当时，求的长； （3）在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年九年级下学期3月综评数学试题 一．选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在、0、1、2这四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，属于基础题，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．先将五个数排序得，从而可得答案． 【详解】∵， 在，0，1，2这四个数中，比小的数是是， 故选：A． 2. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里， 故选：B． 3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根，判断方程是一元二次方程，再根据判别式即可得到关于k的不等式，求出k的取值范围，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意可知， 解得且， k的最大整数值是， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义及根的判别式；根据题意得出关于k的不等式是解答此题的关键． 4. 如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 一个几何体，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个几何体可能是下面的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，不符合题意； B．从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，不符合题意； C．从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，不符合题意； D．从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，符合题意． 6. 反比例函数图象在（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数（）的图象；时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解： 函数图象在二，四象限． 故选：B． 7. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出和的度数，最后根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以， ∵正五边形的每条边相等， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线等知识点，根据作法得到是线段的垂直平分线是解题的关键． 根据作法得到是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线的性质解答即可． 【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，则 ∴是的中位线， ∴． 故选B． 9. 要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ） A. 3000 B. 4000 C. 6000 D. 60000 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本数量除以所求量占样本的比例即可估计总量． 由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用标记的鱼数除以样本中标记鱼的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：（条）； 故选：A． 10. 按一定规律排列单项式：x，，，，…，第n个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查与算术平方根有关的探究规律探究．通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，…，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】解：通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵，…， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：B． 11. 已知与相似，，那么的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质，对应角相等，但对应顶点不确定，需讨论对应或的情况，从而求出的可能值． 【详解】解：∵与相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应，则； ∴可能为或． 只有C符合． 故选：C． 12. 已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点．过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于D，过点B作于E， 设 间的距离为， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在等腰直角中，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 13. 将多项式分解因式，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故选：D． 14. 《九章算术》中记载一道题，大意为：如图，今有一门（矩形），高比宽多6尺8寸，门的对角线恰好为1丈（1丈尺，1尺寸）．问门高、宽各是多少?设门高为x尺，则根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门框高为x尺， ∴门宽为尺． 根据题意得：． 故选：C． 15. 如图，已知四边形是矩形，为边上的动点，连接，过点作分别交于点，下列说法中，正确的有（　　）个 ①的最小值为；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，证明，得出，求出，得出，根据x的范围即可得出的最小值，判断①正确；根据，，求出最小值，判断②正确；根据，得出点G在以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，根据当M、G、D三点共线时，最小，求出最小值即可判断③错误；根据勾股定理，根据二次函数性质求出最值即可，判断④错误． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即， ∴， ∴， ∴当时，最小，且最小值为，故①正确； ∵，， ∴当时，有最小值，且最小值为，故②正确； ∵， ∴点G在以为直径的圆上运动， 如图，以的中点M为圆心，为半径画弧，连接， 则， 根据勾股定理得：， 当M、G、D三点共线时，最小，且最小值为：，故③错误； 连接，如图所示： ∵，， ∴根据勾股定理得： ， ∵， ∴当时，有最小值，且最小值为， ∴的最小值为，故④错误； 综上分析可知：正确的有2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，矩形的性质，二次函数性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 二．填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．利用二次根式有意义的条件得，利用分式有意义的条件得，求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得：，且， 故答案为：且． 17. 若的整数部分是a，小数部分是b，求______． 【答案】## 【解析】 【分析】先估算的范围，求出整数部分a，原数减去整数部分得出小数部分b，再代入求解即可． 详解】解：， ，即， 整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是正确确定的取值范围． 18. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算以及因式分解，根据运算法则即可求解． 【详解】 故答案为： 19. 如图①，将一个底面积为的圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面的中央．现用一个注水管沿大容器内壁匀速持续地注水，水杯内水面的高度h（）与注水时间t（）的图像如图②所示，则注水速度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像，一元一次方程的应用，从函数图像中准确获取信息是解题的关键．根据图象可得水杯的高为，水杯满水杯的时间为，设匀速注水的速度为，依据注水的体积就是圆柱形水杯的容积建立方程，即可解答． 【详解】解：根据图象可得水杯的高为，水杯满水杯的时间为（）， 设匀速注水的速度为， ， 解得， 即匀速注水的速度为． 故答案为：． 三．解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值． 先计算二次根式的乘法、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 21. 如图，在中，点D在上，点E在上，且． （1）请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． （2）根据你添加条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】（1），（答案不唯一） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【小问1详解】 解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 22. 某学校准备购进一批足球和篮球，从体育商城了解到：足球单价比篮球单价少25元，用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等． （1）求足球和篮球的单价各是多少元； （2）若该学校准备同时购进这两种足球和篮球共80个，并且足球的数量不多于篮球数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）足球的单价为50元，篮球的单价为75元； （2）购买足球60个，购买篮球20个最省钱，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一次函数的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据“用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等”，再建立方程求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，花费为元，再建立一次函数，结合一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的根， （元）， 所以足球的单价为50元，篮球的单价为75元； 【小问2详解】 购买足球60个，购买篮球20个最省钱； 理由如下：设购买足球个，则购买篮球个，花费为元， 由题意得：， 足球的数量不多于篮球数量的3倍， ， ， ， ，而， 随增大而减小， 当时，最小． 购买足球60个，购买篮球20个最省钱． 23. 小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演．规则是：有两个相同的转盘（甲盘，乙盘），每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜．否则小亮获胜． （1）转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是__________； （2）请用树状图或列表法分析这个游戏是否公平． 【答案】（1） （2）游戏不公平 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率． (1)直接利用概率公式计算即可； (2)先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出配成紫色的结果数和配不成紫色的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：转动转盘甲一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：这个游戏不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中配成紫色的有5种，配不成紫色的有4种， ，因此游戏不公平． 24. 如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得四边形是平行四边形．根据三角形中位线定理，、，根据四边形是矩形，，故，对角线垂直的平行四边形为菱形，即可得证； （2）根据矩形周长为22，则，由中位线性质得，菱形面积，即，进而即可得到，再根据勾股定理可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点，交于点，交于点， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 、分别是、的中点， ，， ， ， ，分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：矩形的周长为22， ， ， 四边形是菱形， ，且， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题以平行四边形的中点四边形为背景，融合三角形中位线定理、菱形判定、矩形性质与完全平方公式，通过对角线的位置与数量关系推导结论，体现数形结合与转化与化归的数学思想． 25. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足二次函数关系． 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）根据表中数据，直接写出的值为__________，跳水的最大高度为__________． （2）求满足的二次函数关系式； （3）在（1）（2）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）根据表格中数据先求出对称轴，然后设出顶点式，再由待定系数法求解函数解析式，即可求解，以及跳水的最大高度； （2）根据（1）中待定系数法即可得到答案； （3）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴抛物线对称轴为， ∴设抛物线表达式为：， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， 解得， ∵抛物线开口向下， ∴跳水的最大高度为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）即可得到二次函数关系式为； 【小问3详解】 解：对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴米， 对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 26. 【初步感知】 （1）如图1，正方形的四个顶点均在上，点E在劣弧上，连接，在上取一点F，使得，连接，求证：； 【拓展延申】 （2）如图2，小军在电脑上画了一个，其中，，．点P在边上，且，同时在上设置动点D，并设置如下程序：点D以点P为起点沿方向向终点A运动，随着点D的运动，关联点E在上运动，且始终保持，以为边在右侧作等边感应区，求在点D运动的过程中，点F所经过的路径长．（结果保留） 【答案】（1）见详解，（2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，弧长公式，构造等边三角形证明三角形全等是解题的关键． （1）先证，然后根据全等三角形的性质回答即可； （2）以为边在的右侧作等边三角形, 连接, 证明，求出，由此得出点在以为直径的圆弧上运动，确定点F的运动轨迹是，求出弧长即可． 【详解】(1)证明：四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）以为边在的右侧作等边三角形, 连接, 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆弧上运动， 当点D与点P重合时，点F在的中点上， 以为直径作出交于点, 连接, 则点运动轨迹为，为 起点，为终点， ， 为等边三角形， 点所经过的路径长为. 故答案为：. 27. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作交y轴于点E． （1）求点A，B，C的坐标； （2）点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作轴于点F，当时，求的长； （3）在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）当时，，从而得点C的坐标；当时，，解得或，从而确定点A、B的坐标； （2）设，由构造方程，求得，从而求得点P的坐标，再利用一次函数的性质求的点E，最后利用勾股定理求解即可； （3）分是矩形的边和是对角线两种情况，利用矩形的性质、一次函数的图象及性质及平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴点C坐标为， 当时，，解得或， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴，解得或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴， 设直线：，把代入可得： ，解得：， ∴直线：， ∵， ∴设：， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴， 把代入，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：存在一点G，使以P，E，Q．点G的坐标为或 （i）当是矩形的边时，有两种情形： ①如解图①，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵，， ∴点E向右平移，向上平移1个单位得到点Q， ∴将点P向右平移，向上平移1个单位得到点G， ∴，即 ； ②如解图②，四边形是矩形时， ∵直线的表达式为， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵四边形是矩形 ∴ ∴, ∵, ∴， ∵, ∴， ∴,即，解得：， ∴, ∵， ∴,解得：， ∴ ∴． ∵， ∴点P向右平移6，向上平移4个单位得到点Q， ∴将点E向右平移6个单位，向上平移4个单位得到G， ∴，即． （ii）当是对角线时，设 ∵, ∴, ∴， ∵Q是直角顶点， ∴，即，整理得：， ∵， ∴该方程无解， 综上所述，满足条件的点G坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数及一次函数的性质、勾股定理、平移的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质及待定系数法求一次函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $