精品解析：云南省凤庆县凤山镇前锋中学2024-2025学年下学期九年级3月月考数学试卷

2025年凤庆前锋中学九年级3月月考数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，负数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系 ，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到 1300000000 千瓦以上的目标．数据1300000000用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（　　　）． A. B. C. D. 6. 如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日-8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 点（-2，-1）在它图象上 D. 它的图象在第一、三象限 9. 同一直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（ ） A. 1 B. C. 1009 D. 0 11. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 2024年10月30日，“神舟十九号”载人宇宙飞船搭乘长征二号运载火箭从酒泉卫星发射升空，如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点A的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 13. 丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行了随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ） A. 扇形统计图中的a为 B. 本次抽样调查的样本容量是1000 C. 在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为 D. 在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为400人 14. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 15. “广州塔”以其独特的几何美学吸引了全世界的关注，其设计充满了曲线与几何的融合，展现了建筑美学理念．建筑设计师在创作过程中，运用了黄金分割比例，使建筑在视觉上更具协调性和美感．黄金分割的比值约为，这个比值范围正确的是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 16. 分解因式：_______． 17. 圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是_____． 18. 等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时，． 19. 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是________． 三、解答题：本题共8小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 21. 如图，在菱形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形形状．请证明你的结论． ①；②． 选择的条件：_______（填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 22. 哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话． 用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍． 一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元． （1）根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？ （2）若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？ 23. 在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）小张恰好坐在①号座位的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率． 24. 如图，在中，． （1）利用直尺（不带刻度）和圆规在边上作点，使得，连接，与的角平分线交于（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，则______，到距离______． 25. 脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … 23 24 25 26 27 28 … 身高 … 156 163 170 177 184 191 … （1）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）小林在某月测量自己的脚长是，买了一双新鞋．过了一段时间，小林明显感觉鞋子变小，已经不合脚了．经测量，他此时的脚长达到了．请根据（1）中求出的函数解析式，估算一下这段时间小林身高增长了多少． 26. 已知抛物线（a，b为常数）经过点，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值． （3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围． 27. 如图，是的直径，弦于点是弧上一点，的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，若点是的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年凤庆前锋中学九年级3月月考数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，负数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，乘方运算，绝对值，先化简各数，再根据小于0的数是负数，可得负数的个数． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴负数有，，，一共3个． 故选：C． 2. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系 ，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到 1300000000 千瓦以上的目标．数据1300000000用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可求解． 【详解】解：； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 4. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， ， ，，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（　　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是理解二次根式有意义的条件：被开方数非负．根据二次根式有意义的条件可得，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，二次根式有意义， 则有，解得． 故选：A． 6. 如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：三角尺与其投影相似，且相似比为：， 三角尺的面积与投影的面积比为：， 故选B． 7. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日-8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握：轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此分析即可得解． 【详解】解：A．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．此图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 8. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 点（-2，-1）在它的图象上 D. 它的图象在第一、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的关系式，可以判断出（-2，-1）在函数的图象上，图象位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，进而作出判断，得到答案． 【详解】解：由于k=2>0，根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y随x的增大而减小，因此A选项符合题意，而B选项不符合题意， 反比例函数y=，即xy=2，点（-2，-1）坐标满足关系式，因此C选项不符合题意； 由于k=2，因此图象位于一、三象限，因此D不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性，在每个象限内，y随x的增大而减小是解题的关键． 9. 同一直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象的能力． 根据图象可得当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的上方，即可确定不等式的解集． 【详解】解：由图象可知， 当时，一次函数图象在正比例函数的图象的上方， 的取值范围是， 故选：A． 10. 当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（ ） A. 1 B. C. 1009 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的求值， 先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，进而求解即可． 【详解】解：当和时， ， ∴， ∵当时，． ∴其和等于0． 故选：D． 11. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为， 则2023的通信资金为： 万元， 2024的通信资金为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 12. 2024年10月30日，“神舟十九号”载人宇宙飞船搭乘长征二号运载火箭从酒泉卫星发射升空，如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点A的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦定义求解即可． 【详解】解：根据题意，，千米， 由得千米， 故选：A． 13. 丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行了随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ） A. 扇形统计图中的a为 B. 本次抽样调查的样本容量是1000 C. 在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为 D. 在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为400人 【答案】D 【解析】 【分析】根据各部分百分比之和等于1可得a的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用乘可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘以对应的百分比可得选择自驾方式出行的人数． 【详解】解：A．扇形统计图中的a为：，故本选项正确，不符合题意； B．本次抽样调查的样本容量是：，故本选项正确，不符合题意； C．在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为：，故本选项正确，不符合题意； D．在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为：（人），故选项错误，D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 14. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图， 平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 15. “广州塔”以其独特的几何美学吸引了全世界的关注，其设计充满了曲线与几何的融合，展现了建筑美学理念．建筑设计师在创作过程中，运用了黄金分割比例，使建筑在视觉上更具协调性和美感．黄金分割的比值约为，这个比值范围正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 16. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握分解因式方法是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面展开图的面积； 故填：． 18. 等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时，． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理，分两种情况：当在的左侧时；当在的右侧时；分别计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当在的左侧时， 由题意可得：， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， 延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴； 如图：当在的右侧时， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， 此时， ∴； 综上所述，或， 故答案：或． 19. 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是________． 【答案】∠1+∠2=2∠A 【解析】 【分析】延长BE与CD相交于点A′，设∠AED=x，∠ADE=y，根据折叠的性质得∠A′ED=x，∠A′DE=y，根据三角形的内角和定理以及平角的定义，得出∠A与∠1+∠2的关系． 【详解】解：延长BE与CD相交于点A′，如图， 设∠AED=x，∠ADE=y， ∵△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠A′ED=x，∠A′DE=y， ∵∠A+x+y=180，∠1+2x=180，∠2+2y=180， ∴∠1+∠2+2（180∠A）=2×180， ∴∠1+∠22∠A=0， ∴2∠A=∠1+∠2， 故答案为：∠1+∠2=2∠A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角． 三、解答题：本题共8小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了立方根、算术平方根、乘方、绝对值、分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）利用立方根、算术平方根、乘方、绝对值进行求解； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式 ， ∵且， ∴，，， ∴只可以取1， 当时，原式． 21. 如图，在菱形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形的形状．请证明你的结论． ①；②． 选择的条件：_______（填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）见解析 （2）若选①，则四边形为矩形，理由见解析；若选②，则四边形为矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，等边三角形的判定及性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）在菱形中，，，可得，由角平分线的定义可知，，进而可知，即，可得四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）若选①，根据菱形的性质可得，，则为等边三角形，则，再根据“三线合一”得，结合（1）即可证明四边形为矩形； 若选②，根据菱形的性质可得，，再根据“三线合一”得，结合（1）即可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 证明：在菱形中，，， ∴， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 若选①，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴为等边三角形，则， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形； 若选②，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形． 22. 哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话． 用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍． 一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元． （1）根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？ （2）若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？ 【答案】（1）A型商品的进价160元；型商品的进价150元 （2）至多购进A型商品80件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． （1）根据“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”列出方程进行计算即可； （2）表示出利润，再根据“利润不多于9800元”列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴（元）， 答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元． 【小问2详解】 解：设商场购进A型商品m件，则购进A型商品件， ， 解得， ∴至多购进A型商品80件． 23. 在一次郊游中，小张与小李两位同学发现一个圆桌旁有4个座位，如图所示，两位同学想坐下休息一会（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）小张恰好坐在①号座位的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法求小张与小李恰好相邻而坐的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算、画树状图或列表法求概率，正确列出表格得到所有的可能结果是解答的关键． （1）根据题意直接计算概率即可； （2）先列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的可能结果数，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个座位，每个座位被选择的概率相同， ∴小张恰好坐在①号座位的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①、②、③、④这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中小张与小李恰好相邻而坐的8种， ∴小张与小李恰好相邻而坐的概率为． 24. 如图，在中，． （1）利用直尺（不带刻度）和圆规在边上作点，使得，连接，与的角平分线交于（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，则______，到距离______． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作的中垂线交于D，作平分线交于E即可； （2）利用面积法求出，再根据，推出，求出即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示： ； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ， ． 过点作于点，于点． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即到距离为， 故答案为：；． 25. 脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … 23 24 25 26 27 28 … 身高 … 156 163 170 177 184 191 … （1）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （2）小林在某月测量自己的脚长是，买了一双新鞋．过了一段时间，小林明显感觉鞋子变小，已经不合脚了．经测量，他此时的脚长达到了．请根据（1）中求出的函数解析式，估算一下这段时间小林身高增长了多少． 【答案】（1） （2）小林身高估计增长了 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法即可求解； （2）分别算出当时，当时小林的身高进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格信息得到，当脚长逐渐增大时，身高也在逐渐增大， ∴选择， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴， 检验，当时，，符合题意， ∴能近似地反映身高和脚长的函数关系； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴， ∴他此时脚长达到了时，这段时间小林身高估计增长了． 26. 已知抛物线（a，b为常数）经过点，． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值． （3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点坐标公式计算解题即可； （3）求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性结合图象解题即可． 【小问1详解】 解：把，代入， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴解得 【小问3详解】 令，则，解得． 令，则，解得． ∵点C在抛物线上，且在第一象限， ∴由图象可得，的取值范围是或． 27. 如图，是的直径，弦于点是弧上一点，的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，若点是的中点，求的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据垂径定理可得，，，根据同弧所对圆周角相等，等量代换得到，且，，由此即可求解； （2）如图所示，连接，设的半径为，由垂径定理，勾股定理得到，证明，得到，由（1）可知，（负值舍去），代入计算即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵是直径，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，设的半径为， ∴，则， ∵，， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴， 由（1）可知，且点是的中点， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，则， ∴，整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$