微观与直观融为一体的导数与函数的极值和最值 讲义-2026届高三数学二轮复习（解锁“高考数学八大基本思想”专题系列）

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——18微观与直观融为一体的 导数与函数的极值和最值 导函数是高中数学中综合性最强的内容之一，导函数是建立在函数、三角函数、解析几何等前提知识的基础之上，是这些知识的综合应用与升华.导函数题目通常出现在高考数学试题的压轴部分，是高分段学生必争的题目.这表明导函数在衡量学生数学能力、区分学生数学水平方面具有重要作用. 导函数具有多方面的重要功能.第一，导函数是研究函数性质的重要工具.第二，导函数在解决实际问题中具有广泛应用.第三导函数是连接初等数学与高等数学的桥梁. 解锁一：导数与函数的极值、最值的本质属性 1.函数极值的定义 设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，我们就说是 函数的一个极大值；如果对附近的所有的点，都有，我们就说是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值.点是极值点. 2.函数最值的定义: 设函数的定义域为I，如果存在自变量的一个值，使（对于任意的）I， (1)都有，则称是函数的最大值； (2)都有，则称是函数的最小值. 3.解锁导数与函数的极值、最值定义 (1)判定导数运算式符号的常用技巧： ①分解与配方：分解成几个同号因式之积或配成几个同号之和； ②换元(等式代快、代入或三角换元或多次求导)与构造(构造函数：一个函数，分为两类：抽象函数、具体函数：分离、变形、变换；两个函数，研究两个函数的交点或相对位置关系问题)，将问题转化为另一变量或其它函数问题； ③放缩代换：将被研究的代数式放大或缩小为另一个易于判定符号的式子； ④特例估算； ⑤讨论整合； ⑥表格法. (2)有关最值要注意 ①最值是函数值，因此用重要的不等式求最值时要求“一造、二定、三相等”； ②最值定理(导数部分):如果在闭区间上定义的函数的图象是一条连续不断的曲线，那 么它必有最大值与最小值，且所有极值与端点的函数值中，最大者是函数的最大值，最小者是函数的最小值．如一元二次函数，且极值点即为对称轴点.函数若仅有一个极值那么这个极值一定是它的相应最值； ③最值的本质就是函数值的边界值、图象的最高点与最低点的纵坐标.； ④求最值比求值域方法更多些，比如，因为最值仅是两个值，所以可以扩大函数自变量的取值范围求最值，只需检验能够取到最值即可，否则改成其它方法. 3.导数与函数的极值、最值的本质属性 导数帮助定位极值候选点，而最值需结合极值与端点综合判断.导数的本质属性是描述函数在某点的瞬时变化率，即曲线在该点的切线斜率， 若函数在某点可导且取得极值，则该点导数必为，但导数为的点不一定是极值点；极值是局部概念，指函数在某点领域内的最大值(极大值)或最小值(极小值)，极值点比出现在区间内部，端点不能是极值点，可导函数的极值点满足：必要条件：，充分条件：导数在该点两侧符号相反(左正右负极大；左负右正极小)，函数也可能在不可导点取得极值(如，)；. 最值是整体概念，指函数在整个定义域上的最大值或最小值，在闭区间上，连续函数的最值只可能出现在区间内的极值点、区间端点，求最值步骤：(1)求的驻点及不可导点，(2)计算这些点及端点的函数值，(3)比较后确定最大值与最小值. 解锁二：求解导数与函数的极值、最值的原则 1.求函数极值的原则 第一步：求函数的定义域； 第二步：选择方法.先定义后导数； 第三步，用导数要先求导，后找点（导数的零点和无意义的点），再列表探点（函数极值的可能点，以及其导数在这些点附近的符号.特例，一个极值不用列表）； 第四部：由表格，指出函数何时取得极值(一定要确保导数在其零点两侧或导数无意义的点(可疑点)两侧函数值异号； 第五步：回答问题. 说明:对于的零点仅有一个也可用讨论法代替列表法. 探点1.已知且关于的函数在上有极值，则与的夹 角取值范围为 探究:关于的方程有两个不等实根,所以,解得,故选. 探点2.已知，且，现给出如下结论：① ；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的结论序号为 . 探究1：因为，由，得，由，得或，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．又，，，.所以.所以均大于零，或者.又为函数的极值点，后一种情况不可能成立，如图．所以.所以； 探究2：与有三个不同的交点. 2.求函数最值的原则 第一步:搞清变量； 第二步:确定变量的取值范围； 第三步:先定型，后选法；初等法：一元函数值域法（先单调性法，后因形而异）；二元函数：几何意义法、重要的不等式、换元法；高等法：只能用函数性质法. 第四步:求解运算； 第五步:回答问题. 3.利用导数求函数最值的步骤 (1)用导数法求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的 一个是最小值，得出函数在上的最值. 说明:函数的极值是函数的局部概念，而函数的最值是函数的整体概念；极值不一定是最值，但如果连续函数在开区间只有一个极值，则极值就是相应的最值. 探点.上定义运算 “”:为实数),设 ，令. (I)如果在处有极值,求的值; (Ⅱ)在(I)的条件下，函数在是减函数,求的取值范围; (III)记的最大值为,若对任意成立,求的最大值. 探究，所以.因为在处有极值,所以，解得，此时，由一元二次函数性质知在符号相反，所以满足题意; (Ⅱ)由(I)知,有题意函数在是减函数,所以解 得或，故的取值范围为; (III)①当时,最大值为或,所以； ②当时,最大值为或或,所以 ,综上,所以的最大值为. 悟惑: ❶应用导数要“准”、“灵”、“巧”; ❷研究单调性的本质就是研究导数的符号、研究极值本质就是研究极值的大小或极值的符号、研究最值本质就是函数值的极端值. 解锁三：导数与函数的极值、最值的有关性质 1.极值的性质 (1)局部性：极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小； (2)非唯一性：函数的极值可以有多个的，即一个函数在某区间上火定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (3) 极大值与极小值大小的不确定性：极大值或极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； (4)极值点出现在内部：函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. (5)与导数的关系 若函数在极值点可导，则该点的导数必为零（费马引理），但导数为零的点不一定是极值点（如在处） (6)极值点判定方法 一阶导数符号变化法；二阶导数数判别式 (7)不可能点也可能为极值点（如：在处不可导，但取得极小值0）.. 2.最值的性质: ①有界性； ②自变量的不唯一性.如正弦函数； ③函数图象的最高点与最低点； ④一个变量的不等式或恒()成立. 探点.已知函数 . (1)若对任意，且，都有恒成立，求的取值范围； (2)若对于任意恒成立，求的最大整数值. 探究:(1)设，则在单调递增，所以对恒成立，即 对恒成立.--- 在单调递减，在上单调递增，所以，即，所以的取值范围为. (2) ，设，当时， ，设，则在单调递增，又 ，在上图象连续不断，所以使得，即，并且当 ，---在单调递减，在单调递增，所以，可求，所以 ，因为，所以的最大整数值为. 解锁四：导数与函数的极值、最值综合应用 1.导数的二级应用：利用导数研究函数极值、最值的应用 (1)极值的应用 ①求最值 ②与几何量有关的个数的问题，常见的类型: ❶方程根的个数； ❷函数零点个数； ❸过一点的切线条数； ❹两个函数图象公共点的个数. 隐含构造函数解题的思想！ 探点.已知函数. (I)若函数无极值点，求的取值范围； (Ⅱ)若函数无单调性，求的取值范围； (Ⅲ) 若函数在上无最值，求的取值范围； (Ⅳ)若函数图象与轴有且只有一个公共点，求的取值范围. 探究: (I)因为函数无极值点，所以函数单调，所以，此时单调递增，所以即， 故的取值范围为； (Ⅱ)因为函数无单调性，所以，解得，故所求的取值范围为； (Ⅲ)若满足题意； 若，则 (Ⅳ)①由(I)知当时，单调递增，而，所以当时，若函数图象与轴有且只有一个公共点；②若，则，有两个不相等的实根，不妨设为，且，则，. 随着的变化的变化情况如右表： 由得，所以 ，同理，，所以，令得，即，此时，，即当时，函数图象与轴有且只有一个公共点，综上所述的取值范围是. 探点2.已知函数在点处的切线方程为 (I)若对于区间上任意两个自变量的值都有求实数的最小值； (Ⅱ)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围. 探点: (I)可求在上的最大值为，最小值为， 故的最小值为. (Ⅱ)设切点为则,从而过点的切线方程为:,将代入切线方程得,即,设, ,可求实数的取值范围为. 悟惑：对于简单函数的切线条数的判定要善于画图结合切线的定义去分析判断. 探点.已知曲线及点，则过点可向引条切线？ 探究：不含参数的过原点的三次函数，应用图象分析即可.填. (2)最值应用的常见问题 ①求值域； ②比较“大小” (两个结构不同的数的大小(构造函数利用最值得进行演绎推理)或集团大小)； ③研究不等式解得性质，即不等式恒成立、有解(可成立)、无解(恒不成立); ④证明函数不等式； ⑤研究与函数曲线最高点和最低点有关的问题; ⑥函数极值点的偏移 ⑦生活中的优化问题: ❶用料最省——几何问题的最优化或函数问题的最优化； ❷利润最大——销售问题的最优化； ❸效率最高——行程问题的最优化； ❹其它问题的最优化. 探点1.设，，，则 A. B. C. D. 探究：设，且 ，当时，所以在上单调递减，所以在设则 ，且，当时，，此时，所以在单调递增，所以，即，所以,故选. 悟惑： ❶利用导数证明函数不等式的基本类型: (ⅰ)移项构造函数直接证明不等式； (ⅱ)移项构造函数间接证明不等式； 利用单调性或最值构造出一个不等式再让变量赋值，将问题转化到证明一个新的不等式； 利用单调性或最值构造出一个不等式再利用最值构建新的一个命题 (ⅲ)利用最值或赋值得一个通式，再研究和式或奇式的不等式。 探点2.已知函数存在两个不同的零点. (1)求函数的最值； (2)求证. 探点： (1),无最小值. (2)由题意知，两式相减得，所以.要证只需证，即.不妨设，令，则，只需证.设，则只需证在上.---- ❷利用导数解生活中的优化问题的一般步骤： (ⅰ)搞清所有变量与已给变量之间的关系； (ⅱ)列式， (ⅲ)求导，并确定的零点； (ⅳ)列表论述函数的极值点，并比较极值与端点值的大小； (ⅴ)回答问题. 2.函数极值点的偏移. (1)极值点偏移的定义:我们知道二次函数的顶点就是极值点，若的两根为，则两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移；已知函数的极值点为，且的两根为，若，则称的极值点“左偏”；若，则称的极值点“右偏”.即若，则称的极值点偏移. (2)极值点偏移的解题策略: ①构造函数法 设或，后求判定最值的符号，最后再利用函数单调性说明或，从而得到 与之一成立. ②构造函数不等式 利用极值点的偏移构建一个等价不等式，然后再证明不等式恒成立. ③对数平均值不等式 ，则。 案例感悟： 探点1.设和是函数的极值点， ，试比较(I)与的大小；(Ⅱ)与的大小. 探究:，由题意知是的两个零点，所以 ，解得，此时 .当时，当时，，所以是极小值点；当时，，当时，，所以是极大值点. (I)设，则.设，则对有在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，即（当且仅当或时取等号）. (Ⅱ)的最小值为，而 ,即. 题思： ①比较两个变式大小，先想中间媒介，后想运算法，即构建函数;为了说明问题可多次求导，但比一定对整体求导；在多次求导时要有清醒的目的性； ②求导的目的是为了论述导数的符号，因此在求导之前要充分考虑求导后易于判定导数符号，为此在求导之前常需调整函数解析式的形式. 探点2.已知函数，曲线在点处的切线方程为. (I)求、的值； (Ⅱ)如果当时，，求的取值范围. 探究:(I)，由于直线的斜率为，且过点，故即，解得. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，所以.设函数 ，则. ①若，由知，当时，.而，故当时，，可知；当时，，仍有.从而当时，，即； ②若.由于当时，，而，故当时，，可得与题设矛盾； ③若，此时,而，故当时，，可得与题设矛盾。综上，的取值范围为. 探点3.已知函数有两个不同的零点. (1)求实数的取值范围；(2)求证；(3)求证. 解：(1)探究1:分离参数.由得，设，则 ，所以在单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，由正、反比例函数和自然对数函数的图象可知当， 所以，解得，故实数的取值范围为. 探究2:由知，因为，所以前式可变为， 设，则此函数的定义域为，当时，设，因为，所以，即 上单调递增，在上单调递减，所以 是函数的极小值点，所以，所以，即时有两个不同的零点，故实数的取值范围为 . (2)由(1)知，不妨设.构造函数，则 ，当时，，所以当时，，所以在上单调递减，此时，即，易即.由知，当时，所以在单调递减，所以，即. (3)构造函数，则，当时，，所 以在上单调递减，所以，即当时，，所以，所以，故 悟惑:遇到前含有变量就要想到是否将这个变量提出或除掉. 3.利用导数证明等式 悟惑1.对二项式函数的多次求导赋值或求导升次后再求导、赋值，可推得有关二项式系数的恒等式. 悟惑2.可导的奇函数的导数是偶函数. 悟惑3:由题意知，两边对求导得，即，所以是奇函数. 探点.若则= 探究1（三角公式）：移项平方得 ，所以，故选 探究2（引进辅助角）： 令，则 ，故 探究3（极值与导数关系）:设，即 探究4（利用算理）：设,则 反向时取等号，即，所以 4.导数的三级应用：三次求导、构造导数研究表面与导数无关的不等问题. 探点1.已知函数. (Ⅰ)讨论方程在区间()内的解的个数； (Ⅱ)求证： 探究：(Ⅰ) 由，得。所以，方程在区间内解的个数即为函数的图像与直线交点的个数。当时, . 当在区间内变化时, , 变化如下: 若，则；若，则；若，则.所以，当或 时，该方程无解；当或时，该方程有一个解；当时，该方程有两个解. + 0 － 增 减 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，所以.所以 所以所以 .因为.所以 . 探点2.已知函数. (I)若函数在上为增函数，求正实数的取值范围； (II)当时，求函数在上的最大值和最小值； （III）当时，证明：对大于1的任意正整数，都有. 探究：(I)由函数知，又函数在上为增函数，所以对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立，所以，故正实数的取值范围为; (II)当时，.当时，故在区间上单调递减；当时，故在区间上单调递增，所以函数在上有唯一的极小值点，故，.因为 ，所以，因此，综上所述，函数在上的最大值是最小值是; （III）法一:由(II)知，当时，在区间上为增函数。当时，令，则，，故，所以,即从而可得下列不等式相加得 ,即，即对大于1的任意正整数，都有. 法二：积分. 探点3.已知函数． (I)讨论的单调性； (II)设，证明：当时，； (III)若函数的图象与轴交于两点，线段AB中点的横坐标为，证明：． 探点： (I)（i）若，则单调递增.（ii）若且当时，，当时，所以单调递增，在单调递减; （II）设函数则 ，当.故当，; （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，所以，从而的最大值为不妨设由（II）得，所以，所以，从而，由（I）知， 探点4.当时恒成立，求实数的取值范围. 探究:分离：无法代端点，不分离.. 探点5.已知函数 . (I)若函数无零点，求实数的取值范围； (Ⅱ)若是函数的两个不同的零点，求证： 探究:(I)由函数无零点知，关于的方程无正根.由得，，则此函数的定义域为，且，所以当时，，此时在单调递增，当时，，此时在单调递减.所以当时，最大，最大值为.可证，所以，所以得取值范围为，故实数的取值范围为； (Ⅱ)因为是函数时，. 探究: (I)，解得. (Ⅱ)探究1：设，则 ，设所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以. 探究2：当时，，令，则，所以，所以，即，记 ，则当时， ，所以，所以，所以. 说明:证明函数不等式的常用方法. ①利用基本的不等式； ②利用第一问中的函数最值构造一个不等式，然后通过赋值证明所证不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $