精品解析：四川南充市2026届高考适应性考试（二诊）数学试卷

南充市高2026届高考适应性考试（二诊） 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，用0.5毫升黑色字迹笔书写. 一、单项选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，解得，则集合， 因为 ，则，则集合， 所以. 2. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】先化简得到，再利用二项展开式的通项计算的系数 【详解】化简得到， 的展开式通项为。 令 ，即，得到， 故的系数为. 4. 在中，，，若，，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以与为基底表示，再结合向量的数量积运算求解 【详解】因为 又与共线，可设，则， 同理与共线，设，又 所以 又 所以，解得 故 所以 又 故 5. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换，将已知条件转化为关于的关系式，再结合，求出，最后用正切和角公式计算. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 化简可得：， 又因为，所以， 所以， 所以. 6. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的右支交于点，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线的标准方程求出焦点、的坐标，再利用三角形内切圆的性质以及双曲线的性质，推导出、的横坐标，设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到、两点横坐标的关系，结合内切圆圆心的位置特点，求出、的纵坐标与、两点坐标的关系式，进而得到、的表达式，再计算. 【详解】由双曲线，得：，，， 所以焦点，， 过的直线与右支交于，，且， 设内切圆与边的切点为，根据切线长性质，有 ， 又，解得，， 以为起点向右移动4个单位得， 因此内切圆圆心在直线上， 设，，，不妨点在第一象限，同理， 由三角形面积公式：， 又的周长的一半， 内切圆半径，且，得， 由焦半径公式，代入得，故， 同理，于是 当直线的斜率不存在时， 可得，代入到双曲线方程中， 得 ，，此时； 当直线的斜率存在时， 设直线的斜率为，则， 代入双曲线方程得， 由韦达定理， 计算， ； ； 于是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 7. 假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比为10%.记事件，事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设，则 D. 设，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设元件总数为，寿命为年的元件数为，根据给定条件可得，进而求出，再结合条件概率公式及错位相减求和法逐项判断. 【详解】设元件总数为，寿命为年的元件数为，依题意，， 整理得，则， 两式相减得，，因此，而， 则数列是首项为，公比为的等比数列，， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，设， 则， ， 两式相减得 ，因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8. 在中，，，分别是边，，边的中点，若，，，则的长度为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】 如图所示，由三角形重心性质可知， 因为是的中点，所以， 所以，得，解得， 可知，所以. 9. 已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为、，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用四点共面，可得，再进一步确定，进而得到，再计算得，结合得到的范围． 【详解】解：如图，延长 分别交平面 、平面于， 平面与棱，分别相交于 ， 连接交于，又为正四面体，不妨设正四面体的边长为， 为的重心，为的中点，， ，设， ， 共面，，解得， 即，又，，， ， 即，即， ，， ，且， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10. 已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形， 底面，， ，为上一点，. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求直线与平面 所成角的正弦值； （3）若为 上一点，，求. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用外积分的长度规定结合求的值； （2）求出平面 的法向量，向量法求直线与平面 所成角的正弦值； （3）设，，由与均垂直，求出的值，得到，再由，求的值. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面为矩形， 底面， 以为原点， 分别为轴，轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由， ，得， ，， ， ， ， 化简得， 即，又，解得 . 【小问2详解】 若为线段的中点，有， ，设平面 的一个法向量为， ，令，则，即， 又，设直线与平面 所成角为， 则. 【小问3详解】 为 上一点，设，， 则，设，， ，又，， 则有，解得， 所以，， 又，则. 11. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，是的一个极值点，，是两个不同的零点，记，，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）判断是否可能为等腰三角形，并说明理由. 【答案】（1） （2）函数 的定义域为 . ， 令 ，则 ，即 . 解得. 当时， ，所以，所以 . 所以当时， ，单调递增；当时， ，单调递减. 所以在处取得极大值.所以. 又 ，所以 ，. （ⅰ）证明： 令 ，则. 因为 ，所以 恒成立，所以 恒成立， 所以 是减函数. 因为，所以 ，即 ，即得证. 要证，只证， 因为当时，单调递减，所以只需证 . 由 ，得，即. 所以. 令 ，则 恒成立， 所以 是增函数. 因为 ，所以 . 所以得证. 综上，得证. （ii）由（i）得， ，所以 ， 又 ，所以. ， 因为 ，所以 . 所以 . 所以若 为等腰三角形，则，即 是的中点，即， 与矛盾，所以 不可能是等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得曲线在点处的切线斜率，即可写出相应的切线方程； （2）（i）先求出函数的极值点，再根据函数有两个不同零点得到相关等式，通过构造函数并分析其单调性来证明不等式；（ii）假设为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到等式，通过分析等式是否成立来判断是否可能为等腰三角形. 【小问1详解】 函数 的定义域为 . ， 所以 . 所以曲线在点处的切线方程为，即 . 【小问2详解】 略 12. 已知椭圆的离心率，. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条斜率存在且不为零的直线，，分别交于，和，，且满足. （ⅰ）证明：直线，的斜率之和为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）设​斜率为，斜率为​，，，，， 直线过，直线方程为， 代入椭圆方程整理得：  ， 由弦长公式可知：  计算得​： ，同理可得： 由题设，  整理得，即. 因（两条不同直线），故 . 即​斜率之和为定值. （ii）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆中，再结合已知条件可求得椭圆方程. （2）设过的直线方程，与椭圆联立，（i）中利用韦达定理和弦长公式分别写出与， 由即可证明直线，的斜率之和为定值. （ii）将四边形面积表示为（ 为两条直线夹角），结合基本不等式可求出最值. 【小问1详解】 由题意可知解得： 椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，两条直线夹角为 ，四边形对角线为， 面积为 计算得： ​​， ， 设两直线倾斜角为，，则， ， 化简可得： ，  令，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 进一步化简得： 令，则，这是关于的开口向下二次函数， 对称轴，故在（即​）时取最大值，  ​ 因此四边形面积的最大值为​. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市高2026届高考适应性考试（二诊） 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，用0.5毫升黑色字迹笔书写. 一、单项选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 4. 在中，，，若，，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角 ，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线 与的右支交于点 ，.设与的内切圆圆心分别是，，直线，的斜率分别是，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 7. 假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比为10%.记事件，事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设，则 D. 设，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8. 在中， ，，分别是边 ，，边的中点，若，，，则的长度为_____________. 9. 已知正四面体外接球的球心为，，过点， 的平面 与棱，分别相交，记在平面 两侧的几何体的体积分别为、，则的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10. 已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形， 底面，， ，为上一点，. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求直线与平面 所成角的正弦值； （3）若为 上一点，，求. 11. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，是的一个极值点，，是两个不同的零点，记，，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）判断是否可能为等腰三角形，并说明理由. 12. 已知椭圆的离心率，. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条斜率存在且不为零的直线，，分别交于 ， 和 ， ，且满足. （ⅰ）证明：直线，的斜率之和为定值； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $