解答题77分三轮冲刺保分强化训练(15)-2026届高三数学三轮复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(15) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（25-26高三下·重庆·月考）在中，角所对的边分别为，. (1)求； (2)若是边上一点，，，求的面积. 2．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，直三棱柱中，分别是的中点，． (1)证明：平面； (2)当时，求二面角的余弦值． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点.当最大时，求点的坐标； 5．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 2．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 3．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 4．（25-26高三下·重庆·月考）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 5．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值． $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(15) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（25-26高三下·重庆·月考）在中，角所对的边分别为，. (1)求； (2)若是边上一点，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两角差的余弦可得，故可得，从而可求得. （2），在、中分别利用余弦定理可得的关系，从而求得故可求面积. 【解析】（1）由已知可得，所以，故. 因为， 即， 故， 所以， 又， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以； （2）设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 所以可得，所以 2．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，，，. (2). 【解题思路】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【解析】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，. （2）由于， ， 所以. 3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，直三棱柱中，分别是的中点，． (1)证明：平面； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用三角形的中位线证明线线平行，再根据线面平行判定定理证明； （2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，再用空间向量法求二面角的余弦值即可． 【解析】（1） 连接交于点，连接， 在直三棱柱中，是矩形， ∴是的中点，又∵是的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2）∵，∴， 在中，，∴， 在直三棱柱中，平面，平面，平面， ∴，， ∴两两垂直． 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， ∴，令，则， 设平面的法向量为， ∴，令，则， ∴． ∴二面角的余弦值为． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点.当最大时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）设点，直线的倾斜角分别为，分三种情况，当时，，当时，可得，即可求解； 【解析】（1）解：由题意可得，，即， 又，得，又，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知， 设点，直线的倾斜角分别为， 故， 当时，，此时， 当时，， 则， 当且仅当时，等号成立， 当时，， 则有， 当且仅当时，等号成立， 综上所述，当且仅当时，有最大值，即有最大值， 所以当点的坐标是或有最大值. 5．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大. 【解题思路】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可； （2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算； （ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值. 【解析】（1）根据直方图可得，， 由题知，，则， 等品的质量指标值不小于， 即. （2）（ⅰ）指标值在和的总件数为， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是. ，， ，， 分布列为： . （ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品， 由题知，， 由（1）知，等品的概率为， 则，于是， ， 记， 则， 则递增， 递减， 故当时利润最大. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【解题思路】（1）由结合等比数列的定义并验证首项即可求解. （2）迭代原式并相减后得到，使用累加法结合等比数列的前项和即可求解. 【解析】（1）由题意得，则， 则，整理得， ，解得， ，解得，故， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则. （2）因为，迭代得， 两式相减得，即， 令，则， 当时，（常数），且， 故是以4为首项，3为公比的等比数列， 取，共7个奇数，可得 ， ， ， 将以上各式相加，可得， 易得是以4为首项，为公比的等比数列的前7项和， 则有，其中， 则. 2．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【答案】(1)，的数学期望为； (2)； 【解析】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 3．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【解题思路】（1）求导后讨论的取值，从而判断导函数的正负，确定单调区间. （2）根据（1）的结论，以及零点存在定理确定不等式，进而求解的取值范围. 【解析】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 4．（25-26高三下·重庆·月考）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）先设点，再应用斜率公式结合点在双曲线上计算得出即可求解双曲线方程； （2）设直线，再联立方程得出韦达定理，再应用斜率公式计算求解. 【解析】（1）设，，，且， 则． 又焦距为，则，， 双曲线的标准方程为：． （2）由（1）知，设，． 因为不与重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，，，， ，， 可得， ． 5．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据线面垂直的性质，判断线线垂直. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求出直线方向向量和平面的法向量，进而求出线面角的正弦值. （3）根据三棱锥外接的性质，求出球心和半径，进而根据向量法，求出点到平面的距离的最大值. 【解析】（1）设O为的中点，连接， 由题得， 所以为正三角形，则， 所以平面，平面，． （2）由（1）可知两两垂直，故以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. （3）设外接球的球心为，分别过和外心作平面和平面的垂线， 垂线的交点就是球心，易求，则外接球的半径， 又，所以点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为. $