精品解析：安徽合肥一六八中学2025-2026学年高三数学第十二次限时训练试题

2025-2026学年高三数学第十二次限时训练试题 时间：120分钟 满分：150分 命题：刘大锐 审题：马文政 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 11. 如图1，在等腰梯形中，，且，O为的中点，沿将翻折，使得点A到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ） A. 在翻折过程中，与可能垂直 B. 在翻折过程中，二面角的最大值为 C. 当三棱锥体积最大时，与所成角大于 D. 点P在平面内，且直线与直线所成角为，若点P的轨迹是椭圆或圆，则三棱锥的体积的取值范围是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的所有项均为正整数，，若，则所有可能的值为__________. 13. 将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是__________. 14. 实数，满足，则的最小值是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若D为AB中点，，，求的面积. 16. 在正项等比数列中已知，. （1）求数列的通项公式； （2）令，若，若在数列任意相邻两项与之间插入一个实数（），从而形成一个新的数列，求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 18. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． （1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． （3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 19. 已知函数，为自然对数的底数. （1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）当时，，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三数学第十二次限时训练试题 时间：120分钟 满分：150分 命题：刘大锐 审题：马文政 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再根据并集含义即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先，再根据复数的模和除法运算即可求解. 【详解】由条件可知， 所以的虚部为1. 故选：C 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积公式，求向量的模. 【详解】. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法并结合二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】设，则， . 故选：B. 5. 设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】把转化为，得，即是递增数列，反之推导即可求解. 【详解】由得，所以， 又，所以是递增数列， 反之，等比数列的各项均为正数，且数列是递增数列，所以，即有， 所以，即， 所以“”是“数列是递增数列”的充要条件. 故选：C 6. 已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 7. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即， 解得，所以椭圆的离心率为.   故选：A. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和. 【详解】由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆. 由得， 的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型直接计算；当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球，根据古典概率模型得到；分别计算出再根据条件概率公式即可得到的值；由，再分别计算出对应的每个概率即可. 【详解】表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型，选项A正确； 当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球， 根据古典概率模型，选项B错误； 表示和同时发生，，当发生，即从甲袋取出一个红球放入乙袋， 此时乙口袋中装有3个红球，1个白球，， 根据条件概率公式可得，选项C正确； 综合以上分析得到 ，选项D正确. 故选：ACD 10. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别是定义在上的偶函数和奇函数，由可得，可解出，，再逐个验证选项即可. 【详解】函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足可得，即，与联立， 可得，， ，所以，A选项错误； ，故B选项正确； 函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增， 若，则，有，所以，C选项正确. 令， 设，当且仅当即时，取最小值为1， 所以方程有两个不相等的实数根，则，D选项正确； 故选∶BCD． 11. 如图1，在等腰梯形中，，且，O为的中点，沿将翻折，使得点A到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ） A. 在翻折过程中，与可能垂直 B. 在翻折过程中，二面角的最大值为 C. 当三棱锥体积最大时，与所成角大于 D. 点P在平面内，且直线与直线所成角为，若点P的轨迹是椭圆或圆，则三棱锥的体积的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当时，可证平面平面，从而可证；对B，在平面内，过点作，交于，以判断点在平面内的射影在直线上，作出二面角的平面角并求出二面角的正切值，得解；对C，当三棱锥的高等于，此时三棱锥体积最大，可求异面直线与所成角；对D，根据圆锥曲线的定义，判断二面角的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥的体积的取值范围. 【详解】如图1： 在未折起之前，有，， ， 由平面几何知识，易得，，所以. 所以，，. 对于A，沿将翻折，则点轨迹为一个圆，且圆面一直和垂直，如图2： 当时，此时，又，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 又平面，平面平面，， 所以平面. 又平面，所以，故A正确. 对于B，在平面内，过点作，交于， 由，可得平面，所以点在平面内的射影在直线上， 过点作得平行线交于，连接， 因为平面，所以即二面角的平面角，则， 易知四边形为矩形，所以，又， 所以，即二面角有最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当三棱锥的高等于，此时高取得最大值，又底面不变，所以三棱锥的体积最大. 如图： 取中点，连接，，则即为异面直线与所成角， 在中，，，， 所以， 所以，故C错误； 对D：点在平面内，且直线与直线所成角为， 所以点在以为顶点，直线为轴的两个圆锥的侧面上，如图， 若点的轨迹是椭圆，所以平面要与圆锥的侧面相交，与均为翻折过程中二面角的平面角， 根据圆锥曲线的概念，二面角应该在之间取值，且不能为（此时点的轨迹是圆）， 当二面角或时，由上面图3，可得此时棱锥的高为， 所以， 当二面角时，此时点的轨迹是圆，此时棱锥的高为1，， 所以点在平面内，且直线与直线所成角为，且点的轨迹是椭圆或圆时，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的所有项均为正整数，，若，则所有可能的值为__________. 【答案】1或4.##4或1 【解析】 【分析】由，，可得，再分为奇数时、为偶数求解即可. 【详解】因为， 当为奇数时，， 即，解得， 与矛盾； 所以为偶数， 所以，即， 解得； 当为奇数时，， 即，解得； 当为偶数时， 所以，即， 解得 综上，的值为1或4. 故答案为：1或4. 13. 将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两直线的位置关系求的关系式，再根据古典概型概率公式求和，最后根据点与圆的位置关系，列不等式，即可求解. 【详解】若，则，即，且， 则满足条件的为，所以； 若两直线重合，则，则，所以不成立， 所以两直线相交的概率, 则，得. 故答案为： 14. 实数，满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简得到，由，由，求得，得到，转化为图象上的点到直线上一点的距离，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由， 因为，可得， 所以， 又由，可得，所以在上单调递增， 又因为，则， 则， 表示函数图象上的点到直线上一点的距离， 则其最小值为图象与直线平行的切线到直线的距离， 设切点为，其中，由，可得， 令，解得，可得，即切点为， 可得切点为到直线距离为， 即的最小值是. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若D为AB中点，，，求的面积. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）将已知条件转化成，利用余弦定理得出，化简得，再代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则，所以， 因为在中，，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由及得. 在中，利用余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积为. 16. 在正项等比数列中已知，. （1）求数列的通项公式； （2）令，若，若在数列任意相邻两项与之间插入一个实数（），从而形成一个新的数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列方程组，即可求解； （2）首先求，再根据分组求和法，公式法和错位相减法求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 则，且，所以； 【小问2详解】 ，则， ， ， ， 设， 设， 则， ， ， ， ， 所以， 所以. 17. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面，则平面，又因为平面， 所以平面， 又因为平面平面，，平面平面， 所以平面. （2） 连接，因为平面，面， 所以，由勾股定理得， 同理可得，即， 因为，所以. 平面与平面所成角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，结合勾股定理即可得到，再由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得平面； （2）利用勾股定理即可证明，再建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明略. 由上知为的交点，且由平行线性质得， 得到，故， 过作直线的平行线，则两两垂直， 如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 得到，， ，， 设平面的法向量为， 则，令， 解得，，故， 设平面的法向量为， 则，令， 解得，，故， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 18. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． （1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． （3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 【答案】（1）0.7 （2） 买方乙要在该厂购买400箱这种零件， 若乙选择方案一，则成交的金额为万元 若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则， 所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为万元 因为，所以方案二更优惠； （3） 设丙用方案一购买箱， 则丙用方案一需要支付的金额为元， 方案二需要支付的金额的期望为元， 所以丙购买的金额的期望为万元 因为为减函数，所以越大，越小， 故应该选择箱使用方案一，箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠. 【解析】 【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解； （2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断； （3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策. 【小问1详解】 买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二， 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元 故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数，为自然对数的底数. （1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）当时，，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得直线的斜率，继而可解； （2）令，则，题意可转化为有两个零点，对求导，分和求出的单调性，可知使得即可. （3）变形不等式，参变分离后，利用换元法变形不等式，利用导数考查函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 ，所以，又     所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即 【小问2详解】 因为，， ， 令，则，所以， 题意可转化为有两个零点， ， 当时，， 若，则，则，所以在上单调递减， 所以在上至多一个零点，故不成立； 若，令 可得， 令可得，令可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当趋近时，趋近正无穷，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 所以要使有两个零点， 则，即， 令，则在上单调递增， 又因为，所以由可得. 故实数a的取值范围为：. 【小问3详解】 不等式 可整理为，     令，， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以，又， 所以令，则     令， 则     令， 则     令，， 则，，     所以单调递减，， 所以，单调递减，， 所以， 所以， 所以单调递减，     所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $