精品解析：安徽合肥一六八中学2025-2026学年度高三第一学期限时训练（十）数学试题

2025-2026学年度高三第一学期数学第十次限时练 数学试卷 命题：周培祥 审题：张海宾 一、单选题 1. “”是“幂函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求出的值，再结合函数单调性判断条件. 【详解】是幂函数，则，求解得，， 时，在区间上单调递减，充分性成立， 时，在区间上单调递增，故舍去， 若幂函数在区间上单调递减，则，必要性成立， 因此“”是“幂函数在区间上单调递减”的充要条件， 故选：A 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，当，，不妨取，则，A错； 对于B选项，若，不妨取，，则，B错； 对于C选项，若， 则，故，C对； 对于D选项，若，且函数在上为增函数， 则，不妨取，，则，D错. 故选：C. 3. 在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到，再结合余弦定理、基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以， 又， 所以， 故选：B 4. 若函数是偶函数，且在上是增函数，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数性质及单调性分段求解不等式. 【详解】由偶函数在上是增函数，得在上是减函数，， 不等式化为或，即或， 解得或，所以的解集为. 故选：C 5. 对，记，函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示与的较大者，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，取图象较高者即可得的图象. 【详解】和都是偶函数， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时， 在同一平面直角坐标系中作出和的图象，如图： 表示与的较大者，所以图象是两个图象较高的， 故选：A. 6. 已知点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，若不等式对所有满足条件的，及对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可知，结合基本不等式“”的代换可得的最小值，分离参数，结合二次函数性质可得参数范围. 【详解】由已知可得，且，都是正数， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式需对所有满足条件的，，及对任意实数恒成立， 所以有对任意实数恒成立， 所以，即对任意实数恒成立， 令，当时，，所以， 故选：D. 7. 如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，且，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断. 【详解】设，则， 可设，则，解得， 故，即， 令，则，故在上单调递增， ∴，即，则，A正确； ∵，令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴，在处取得极小值，无极大值， B、C均正确，D错误． 故选： D. 二、多选题 9. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 有且仅有两个零点 D. 在上的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，结合极值点、零点、导数的性质逐一判断即可. 【详解】. A：因为，所以A正确； B：因为当时，单调递增， 当时，单调递减，且， 所以是函数的极值点，因此B正确； C：，或， 由，因此有且仅有三个零点，所以C不正确； D：当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上的最小值为，因此D正确， 故选：ABD 10. 下列说法，正确的有（ ） A. 在斜三角形中，恒有 B. 已知，则的最大值为 C. 已知实数满足，则. D. 已知点是圆上的动点，且，点是直线上的动点，则的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据结合两角和的正切公式分析判断；对于B：设，利用辅助角公式可得，运算求解即可；对于C：设，整理可得，结合不等式分析可得，，即可得结果；对于D：分析可知为圆的直径，整理可得，进而可得最小值. 【详解】对于选项A：因为，则存在， 又因为， 整理可得，故A正确； 对于选项B：设，即， 则 ， 其中，当时取得等号， 即，解得， 不妨取为锐角，可知，，符合题意， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：设，可得， 则即为， 整理可得， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 且，即，当且仅当，即时，等号成立， 若，可得，， 则，所以，故C错误； 对于选项D：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线，即的距离， 因为，则，可知为圆的直径， 又因为， 所以的最小值为1，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ） A. 为等腰三角形 B. C. 与底面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据题意求出、后，利用勾股定理逆定理判断即可；对于B：设点A在底面的投影为，可知四边形是边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可. 【详解】对于选项A：由侧面是全等的直角三角形，且是公共的斜边， 则，则， 故，故为等腰三角形，故A正确； 对于选项B： 设点A在底面的投影为，连接， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以，同理可得：， 可知四边形是边长为1的正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以，故B正确； 对于选项C：因为，， 可知与底面所成角为， 其正弦值为，故C错误； 对于选项D：设点到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 三、填空题 12. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，代入所求从而得到结果. 【详解】由题意得：，解得：， ，解得：， 所以. 故答案为：. 13. 不共面的四个点到平面的距离都相等，这样的平面共有_________个． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解． 【详解】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥， ①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥由四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个， ②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个， 所以满足条件的平面共有7个， 故答案为：7． 14. 、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数. 【详解】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. （1）求在上的值域； （2）若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，由范围，求出范围，然后得到函数在区间上的最值，即求出函数在该区间上的值域； （2）由求得，由正弦定理求得，根据题意列关于的不等式，基于的取值范围，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得. 由题意可得. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 故在上的值域为. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以，所以， 则，则. 因为，所以，则，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，所以， 即的取值范围是. 16. 已知数列的前项和为，，设. （1）证明：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可；运用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 由，得， ，得， 故，所以数列是等比数列； 【小问2详解】 由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 故， 则. 17. 如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，. （1）求证：平面； （2）当时，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出相应辅助线，借助中位线与等分点的性质可得四边形为平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，设出，求出平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 在上取点，使得，取中点， 连接、、，由，为的中点， 故，，，， 故且，故四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 由为直径，故，由， 则，， 以为原点，、为、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由平面，故轴， 则、、、、， 则，，，， 又，则，故， 由在圆上，可设，， 则， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，故， 设与平面所成角为， 则， 则当，即或时，有最大值， 当时，，则，与点重合，不符； 当时，，则，符合要求； 故与平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，在全体学生中抽取人调查，得到如下列联表： 活动 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 40 70 110 报名参加答题活动 60 30 90 合计 100 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道试题，选手参与该轮答题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道试题答完，本轮答题结束已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道试题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． （i）当时，求甲同学在一轮答题过程中答题数量的数学期望； （ii）假设甲同学每轮答题至少答对前两题中的一道，本轮答题得分，否则得分记甲答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式． 附：，其中． 【答案】（1）该校学生报名参加答题活动与性别有关联； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题设给出的列联表，计算的值并与临界值比较即可， （2）（i）首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，即可求解； （ii）根据题意可得，，时，，再利用构造法求出. 【小问1详解】 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 （i）设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 因此. （ii）每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意，，，当时，则， 显然，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列，， 又，则数列是常数列，即， 因此，解得， 所以数列的通项公式是. 19. 已知函数的导函数． （1）求的最大值； （2）当时，若是曲线在点处的切线方程． ①证明：对于定义域内任意成立； ②设过点的直线与直线垂直，，与轴的交点分别为，，表示的面积．是否存在实数，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的最大值为 （2）①证明见解析；②存在实数，满足，的取值范围为 【解析】 【分析】（1），求导，可得的单调性，进而可求得最大值； （2）①令，求导，可判断的单调性，进而可证得结论；②求得直线，的方程，进而求得与轴的交点，的坐标，表示出，结合已知可得，利用换元法可求的取值范围. 【小问1详解】 令，得， 令，得，得； 当时，，所以 在单调递增； 当 时，，所以 在 单调递减。 因此，是极大值点，所以， 所以的最大值为； 【小问2详解】 ①由题意可得 令， 当，，由（1）知在单调递增， 若，，； 若，，。 所以是的极小值点，也是最小值， 所以， 所以； ②直线 的方程为， 令，得，故， 直线与垂直，且过点， 因为，所以，所以的方程为， 令，得，所以， 所以， 所以 由，得， 所以， 由（1）知，且， 当，所以， 所以， 令，则 ， 函数，当且仅当，即时取等号， 又，， 又， 所以存在实数，满足，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三第一学期数学第十次限时练 数学试卷 命题：周培祥 审题：张海宾 一、单选题 1. “”是“幂函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是偶函数，且在上是增函数，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 对，记，函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，若不等式对所有满足条件的，及对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值 二、多选题 9. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 有且仅有两个零点 D. 在上的最小值为 10. 下列说法，正确的有（ ） A. 在斜三角形中，恒有 B. 已知，则的最大值为 C. 已知实数满足，则. D. 已知点是圆上的动点，且，点是直线上的动点，则的最小值为1 11. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ） A. 为等腰三角形 B. C. 与底面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题 12. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是___________ 13. 不共面的四个点到平面的距离都相等，这样的平面共有_________个． 14. 、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为_____. 四、解答题 15. 已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. （1）求在上的值域； （2）若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 16. 已知数列的前项和为，，设. （1）证明：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 17. 如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，. （1）求证：平面； （2）当时，求与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，在全体学生中抽取人调查，得到如下列联表： 活动 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 40 70 110 报名参加答题活动 60 30 90 合计 100 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道试题，选手参与该轮答题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道试题答完，本轮答题结束已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道试题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． （i）当时，求甲同学在一轮答题过程中答题数量的数学期望； （ii）假设甲同学每轮答题至少答对前两题中的一道，本轮答题得分，否则得分记甲答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式． 附：，其中． 19. 已知函数的导函数． （1）求的最大值； （2）当时，若是曲线在点处的切线方程． ①证明：对于定义域内任意成立； ②设过点的直线与直线垂直，，与轴的交点分别为，，表示的面积．是否存在实数，满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $