精品解析：安徽合肥一六八中学2025-2026学年高三第十四次限时训练数学试题

2025-2026学年高三数学第十四次限时训练试题 时间：120分钟 满分：150分 命题：范忠 审题：李卉 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 数列满足，则满足的的最小值为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 5. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 C. 关于点对称 D. 在区间上的最大值为2 6. 已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C. 若圆和圆共有2条公切线，则 D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为 10. 已知函数，，.则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内有零点 C. 若，，均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 11. 在正四面体ABCD中，质点M，N的初始位置均在正四面体顶点A处，它们每隔1秒钟都沿着正四面体的棱移到另一个顶点1次.当M，N在同一位置时，将各自独立等可能地移向另三个顶点之一；当M，N在不同位置时，移到对方位置的概率均为，往另两个位置移动的概率均为.记为n秒后M，N在同一位置的概率，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 2秒后M，N在B处相遇的概率为 D. 4秒后M，N首次回到A处且途中恰经过B，C，D各1次的概率大于 三、填空题 12. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则____________． 13. 已知单位向量，向量满足方程，且，则的最小值为___________. 14. 设，函数（e是自然对数的底数，）.从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为__________. 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． （1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； （2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 17. 如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. （1）若，证明：； （2）若，，求长度的取值范围. 18. 造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为 （1）求a的值; （2）当点在C上时，求证： （3）如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调增区间； （2）设函数，若函数的最小值是，求m的值； （3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点A，在函数的图象上都存在一点B，使得，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三数学第十四次限时训练试题 时间：120分钟 满分：150分 命题：范忠 审题：李卉 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集及交集定义即可得解. 【详解】，， 又，. 故选：B. 2. 记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐个计算，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 即复数在复平面内对应的点位于第二象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第二象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第三象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第三象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第四象限， 故的最小值为. 故选：C. 3. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件对目标表达式进行化简，再通过构造乘积形式利用基本不等式求最小值． 【详解】，， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为． 故选：A． 4. 数列满足，则满足的的最小值为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论当时得到，当时得到，从而利用等比数列的前项和公式求得，进而得到，解之即可. 【详解】因为当时，，， 所以， 当时，， 所以当时，是以，的等比数列，故， 所以， 故，即， 因为，，所以，即， 所以的最小值为. 故选：A. 5. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 C. 关于点对称 D. 在区间上的最大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式可得，然后由正弦函数最小正周期，图象变换规则，对称性，单调性可判断选项正误. 【详解】. 对于A，由题可得，则，故A错误； 对于B，由A可知，，将图象向左平移个单位， 得到的图象解析式为， 易知为偶函数，图象不关于原点对称，故B错误； 对于C，代入，得， 则在时取得最大值，图象关于对称，不关于中心对称，故C错误； 对于D，时，， 注意到在上单调递增，在上单调递减， 则当，即时，，故D正确. 故选：D 6. 已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知方程根据指数幂与对数转换为同结构的式子，，从而构造函数，利用单调性化简方程为，结合对数与指数函数关系，取对数运算转换为有两个根，根据函数的单调性确定函数取值情况，从而可得实数的取值范围. 【详解】对得， 而函数在上为增函数， 所以，对两边同时取自然对数， 得，即， 所以与图象恰好有两个交点， 又，则在单调递增；在单调递减， 而，当时，，当时，， 故， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数方程化同结构函数值的式子结合单调性化简成自变量之间的关系式，遇到方程可两边取自然底数的对数，将参数方程转换为参变分离的结构，从而构造新函数结合导数求单调性与取值情况，即可得参数范围. 7. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】小圆柱的底面半径为r (0r5)，小圆柱的高分为2部分，上半部分在大圆柱内为5，下半部分深入半球内为h (0h5)，由于下半部分截面和球的半径构成直角三角形，即+，从而可以找出体积表达式进而利用函数知识求出最值． 【详解】小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0h5)，小圆柱的底面半径设为r (0r5)，由于和球的半径构成直角三角形，即+，所以小圆柱体积，(0h5)，求导，当0h时，体积单调递增，当h5时，体积单调减．所以当h=时，小圆柱体积取得最大值，，故选B. 【点睛】先由几何关系找出体积表达式，再通过导数求最值是本题的关键． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，，则，由题意，结合椭圆定义可列关于的方程由此即可得解. 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为， 不妨设，则， 点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且， 所以， 又是的中点， 所以， 所以是正三角形， 所以，可得， 设，， 所以，即， 所以，解得， 又，所以，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是想办法用含的式子表示出，从而即可顺利得解. 二、多选题 9. 已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C. 若圆和圆共有2条公切线，则 D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 10. 已知函数，，.则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内有零点 C. 若，，均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 11. 在正四面体ABCD中，质点M，N的初始位置均在正四面体顶点A处，它们每隔1秒钟都沿着正四面体的棱移到另一个顶点1次.当M，N在同一位置时，将各自独立等可能地移向另三个顶点之一；当M，N在不同位置时，移到对方位置的概率均为，往另两个位置移动的概率均为.记为n秒后M，N在同一位置的概率，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 2秒后M，N在B处相遇的概率为 D. 4秒后M，N首次回到A处且途中恰经过B，C，D各1次的概率大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据是否在同一位置建立递推关系；通过转移概率建立方程，求解通项；对特定路径进行组合计数，计算概率，根据以上关键点对选项进行逐一分析. 【详解】选项A： 的初始位置均在点处，1秒后： 若均移动到同一顶点（）的概率为. 若移动到不同顶点的概率为，但此时不在同一位置. 因此，，选项A正确. 选项B： 通过递推公式， 可得通项为：，所以选项B错误. 选项C： 2秒后在处相遇说明，第一秒时均不在处，第二秒时均在处. 共有四种情况的路径： ①当时，概率为. ②当时，概率为. ③当时，概率为. ④当时，概率为. 所以，2秒后在处相遇的概率为：. 所以选项C正确. 选项D：分情况讨论 ①当在这4秒中经过的路径完全相同时，比如：. 共有6种路径，总概率为：. ②当在这4秒中经过的路径完全不相同时即在处完全不相遇时，比如：. 共12种情况，此时概率为：. ③当在这4秒中经过的路径中有一次相遇时即在处相遇一次时，当相遇发生在第一次移动或第三次移动后时，比如： . 共有12种情况，此时概率为：. 当相遇发生在第二次移动后时，比如： . 共有6种情况，此时概率为：. 综合以上三种讨论，满足D选项的总概率为：.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由任意三角函数定义可得，然后由二倍角余弦公式可得答案. 【详解】因为角的始边与x轴的非负半轴重合， 终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点， 所以，则． 故答案为：. 13. 已知单位向量，向量满足方程，且，则的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先需要将向量用坐标表示，通过题中的已知条件，可以得出向量的运动轨迹，根据已知条件可以推断出三点共线，作出图像，结合图像进行求解. 【详解】设， 因为向量满足方程， ∴，∴， 整理得，同理可得，. 故得运动轨迹为， 如图所示：，. 又，故三点共线， 据图可以看出，当且仅当时，，的值最小为. 故答案为：2. 14. 设，函数（e是自然对数的底数，）.从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为__________. 【答案】##0.15 【解析】 【分析】利用导数的应用研究函数的零点，进而，得，结合列举法和古典概率公式即可求解. 【详解】由题意知，有序实数对有100个. 由，得， 令， 所以，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；当时，， 所以， 要使有两个零点，则， 即，得，即. 满足该条件的有序实数对有： 对于，可以取，共8个； 对于，可以取，共5个； 对于，可以取，共2个； 对于到，没有满足题意的. 所以所求事件的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的应用研究的零点，进而，得，结合列举法计算即可. 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 在三角形中，所以， 即， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 ，所以， 由余弦定理得，所以， 则， 所以的周长为. 16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． （1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； （2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 0 2 3 4 5 6 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲单场获胜分为直接获胜和常规时间战平后点球获胜，分别求得其概率，结合互斥事件概率的加法公式，求得单场获胜的概率，再利用重复试验的概率公式，即可求解； （2）先求得甲单场比赛积分分别为3分，2分和0分的概率，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况： ①直接获胜，其概率为； ②常规时间战平后点球获胜，其概率为， 所以甲单场获胜的概率为， 则三场比赛恰有两场获胜的概率为. 【小问2详解】 解：甲单场比赛的积分有3种情况： 单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为； 单场比赛积0分，其概率为， 设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为， 可得，， ，， ，， 所以随机变量分布列为： 0 2 3 4 5 6 则期望为. 17. 如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. （1）若，证明：； （2）若，，求长度的取值范围. 【答案】（1）证明见详解； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明垂直平面与平面的交线，利用平面与平面垂直的性质定理来证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理证得两直线垂直； （2）建立空间直角坐标系，将垂直关系、线段长度都转化成坐标运算，设，通过解得或，分别代入计算可得结果. 【小问1详解】 设平面平面， 平面平面，平面， 又平面，平面平面，， ，， 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面， 即. 【小问2详解】 在中由余弦定理可得，则有, 即. 又 以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则， 设，则, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 同理可求平面的一个法向量为， 由于平面平面，则，故则. 又，， ，解得或. 若，则; 若，则. 综上所述，长度的取值范围. 18. 造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为 （1）求a的值; （2）当点在C上时，求证： （3）如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 方法一：因为，所以曲线C的方程为， 可化为，即， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法二：同上曲线C的方程为， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R， 则根据定义， 因此，即， 所以，当且仅当且时取等号. （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线C上的点满足的条件，结合可求a的值； （2）当点在C上时，方法一：利用解不等式求解；方法二：利用求解；方法三：设点P在x轴与直线上的射影分别为Q，R，利用求解即可. （3）讨论直线的斜率，当斜率存在时，设直线AB的方程为，其中，利用弦长公式，三角形面积公式可得，再结合换元法以及三角函有界性可求四边形面积的最小值. 【小问1详解】 因为O在曲线上，所以O到的距离为，而， 所以有，即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得 当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设， ，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为， 联立 化简得到， 所以 则， 故， ， 同理，所以， 令， 令， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增，当，即时，， 此时， 综上所述四边形面积的最小值为 【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调增区间； （2）设函数，若函数的最小值是，求m的值； （3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点A，在函数的图象上都存在一点B，使得，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）1；（3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h（x）的最小值，从而求出m的值即可； （3）根据OA和OB的关系，问题转化为﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）＝﹣x2lnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）＝，设q（x）＝x2（e﹣lnx），根据函数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可． 【详解】（1）当时，，，， 令，∵，∴，所以函数的单调增区间是； （2）函数，则，令，得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，. 当，即时，函数在上递增， 函数的最小值为， 即，解得或(舍去)，所以. 当，即时， 函数在上递减，在上单调递增， 函数的最小值，解得（舍去）. 综上所述，m=1. （3）由题意知，，， 先考虑函数，在上恒成立，函数在上单调递增， 故，所以，即在上恒成立， 即在上恒成立，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减，所以. 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以. 综上所述，m的取值范围为. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $