精品解析：湖北省十堰市竹溪县第二高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

高一年级3月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 3. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 是最小正周期为的偶函数 B. 是最小正周期为的奇函数 C. 在上的最小值为 D. 在上单调递减 4. 已知，是方程的两根，且，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数，则下列结论错误的是（    ） A. 的最大值为 B. 在上单调递增 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数 D. 若，则 11. 已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则=__________． 13. 已知、、为△的三内角，且角为锐角，若，则的最小值为______. 14. 人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为．已知，、、、，若，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 化简下列各式： （1）； （2）. 16. 已知锐角满足. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数. （1）求的值； （2）在△ABC中，若，求的最大值. 18. 已知函数f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为π （1）求ω的值； （2）求f（x）的单调增区间 （3）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-，]上有两个零点，求实数a的取值范围． 19. 已知函数()，的最小正周期为. （1）求的值域； （2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围； （3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级3月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，则 ， ． 故选：A． 2. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 所以 ，选D. 3. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 是最小正周期为的偶函数 B. 是最小正周期为的奇函数 C. 在上的最小值为 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】化简得，利用周期公式可判断B；再由偶函数定义可判断A；根据的范围求出函数的值域可判断C；求出的单调区间可判断D. 【详解】 由将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 可得， 可得其周期为，故B错误；，故A正确； 因为，所以，所以， 故的最小值，故C正确； 由得，所以的单调递减区间为，、时的单调递减区间分别为、， D错误. 故选：AC. 4. 已知，是方程的两根，且，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可. 【详解】由题知，，是方程的两根， 所以，即， 因为，， 所以，， 所以， 因为， 所以， 故选：B 5. 若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得再由，从而可得的范围. 【详解】， ，， . 故选A. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的思想，首先通过参变分离，将参数的范围问题转化为求函数的值域问题，本题中解题的关键再由结合三角函数的范围可得参数的范围，属于基础题. 6. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦型函数的图形与性质可求得，进而根据对恒成立列不等式组，求解的范围，再逐项判断即可. 【详解】根据三角函数的性质可知，函数的最大值为3， 又因为的图象与直线相邻两个交点的距离为， 所以的最小正周期，则，解得， 所以. 由对恒成立，得对恒成立， 所以，， 解得. 结合选项可知，当时，，故B正确. 故选：B. 7. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用降幂升角公式及余弦的和差角公式，得到，即可求出结果. 【详解】因为，整理得到， 即， 又，得到，所以，即， 故选：A. 8. 如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，.设，，利用直角三角函数以及切线的性质表示出，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值. 【详解】连接，.设，， 在中，， 由得，. 在中，， ， . 令，则，且， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数，则下列结论错误的是（    ） A. 的最大值为 B. 在上单调递增 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：令，解得， 当时，取到最大值为2，故A错误； 对于选项B：因为，则， 且在内单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于选项CD：，不是最值， 所以直线不是的图像的对称轴，故C错误； 的图像关于点对称，故D错误； 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数图象可得、，结合五点法求参数，即可得的解析式，再应用代入法判断对称点，由图像平移及正弦函数的性质判断函数的奇偶性，利用诱导公式、倍角余弦公式求的值. 【详解】由图象知：，故A正确，又，即， ∴，可得，则， 又，故，得：，. 又，则有， 综上，. ∴，即不是对称点，B错误； ，显然不是偶函数，C错误； ，则， 又，且，D正确. 故选：AD. 11. 已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意化简得或，结合且即可判断AB；结合平方关系以及即可判断CD. 【详解】因为，其中且， 所以， 所以或，即或. 因为且，所以，所以，B正确，A错误； 因为，所以，所以，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则=__________． 【答案】 【解析】 【分析】用辅助角公式化简，运用二倍角的余弦公式可以求出 的值. 【详解】, . 【点睛】本题考查了辅助角公式和二倍角的余弦公式，考查了余弦的诱导公式，考查了数学运算能力. 13. 已知、、为△的三内角，且角为锐角，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形内角的性质结合，可得，由目标函数式并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中为锐角， 【详解】、、为△的三内角，为锐角， ∴ 故有，即可得 ∴，当且仅当时等号成立 ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了由三角形内角间的函数关系，利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用 14. 人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为．已知，、、、，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用定义得到，进而得到，同理可得，，从而利用余弦和角公式得到，故，得到，利用二倍角公式求出，从而求出. 【详解】因为，， 所以 ， 因为，所以． 因为， 所以 ， 因为，则， 所以． 因为， ，所以． 又因为，， 所以， 所以． 故答案为： 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 化简下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1） ； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据两角和与差的正弦、余弦公式，以及特殊角的三角函数值，准确运算，即可求解； （2）将角表示成为，再利用两角和与差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）由两角和与差的正弦、余弦公式，可得： . （2）由 16. 已知锐角满足. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用公式，转化为的一元二次方程求解； （2）首先根据诱导公式化简，然后转化为关于的齐次式子，然后再上下同时除以，代入求值. 【详解】解：（1）依题化简可得： 或 为锐角 （2）原式 将代入上式，原式 【点睛】本题考查三角函数恒等变形，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型. 17. 已知函数. （1）求的值； （2）在△ABC中，若，求的最大值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、倍角公式与辅助角公式将函数解析式化简，再可求的值即可； （2）由A，B为三角形的内角，，可求得，从而，展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得的最大值. 【小问1详解】 ∵ ， ∴. 【小问2详解】 由题意可知，， 而可得：，即， ∴， ∵，∴，， ∴的最大值为. 18. 已知函数f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为π （1）求ω的值； （2）求f（x）的单调增区间 （3）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-，]上有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)1.(2) [-+kπ，+kπ]，k∈Z，(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用三角函数周期公式可求的值． （2）由正弦函数的单调性可求的单调增区间． （3）作出函数在上的图象，从图象可看出 ，可求当曲线与在∈上有两个交点时，2，即可得解实数的取值范围． 【详解】（1）由三角恒等变换的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2 -）+2 =sin2 +cos2 +sin2 -cos2 +1+cos2 =sin2 +cos2 +1， 又因为T==π，所以． （2）由2kπ- 2+ 2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ +kπ，k∈Z， 可得f（x）的单调增区间为：[-+kπ，+kπ]，k∈Z， （3）作出函数在上的图象如图： 函数g（x）有两个零点，即方程有两解， 亦即曲线与在x∈上有两个交点， 从图象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1， 所以当曲线与在x∈上有两个交点时， 则2 ，即实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题． 19. 已知函数()，的最小正周期为. （1）求的值域； （2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围； （3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值求值域即可． （2）根据函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，再结合三角函数的性质求解即可． （3）由（1）可知.实数满足对任意，都存在，使得成立等价于成立．换元后，分类讨论求出左边式子的最小值，即可列不等式求解. 【详解】（1）函数 ∵的最小正周期为.，∴，∴. 那么的解析式则取值范围是； （2）方程；在上有且有一个解， 转化为函数与函数在上只有一个交点. ∵，∴ 因为函数在上增，在上减， 且， ∴或，所以或 （3）由（1）可知，∴. 实数满足对任意，都存在，使得成立.即成立， 令， 设，那么 ∵，∴，可得在上恒成立. 令，其对称轴，∵上， ∴①当时，即，，所以； ②当，即时，，所以； ③当，即时，，所以； 综上可得，存在，可知的取值范围是. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型  1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；  2、问题中的条件是分类给出的； 3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；  4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $