精品解析：黑龙江哈尔滨市南岗区第四十七中学2025-2026学年九年级下学期学情调研(一)数学试题

哈47中学2025-2026学年度下学期学情调研（一）初四数学试题 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“班级”、“准考证号”等信息在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 6 2. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 萧红故居是呼兰区著名的红色教育基地，全年累计接待来自全国各地的研学参观游客约621000人次，将数据621000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 如图，该几何体由5个小正方体组合而成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图像沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于D，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，用一些相同的小正方形，拼在一起，排成如下的一些大正方形，按这个规律排列下去，第7个图形中有（ ）个黑色的小正方形． A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 9. 如图，在中，．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，在内两弧交于点P，射线交于点D．若，则的度数为（ ） A. 80° B. 72° C. 64° D. 78° 10. 如图，在正方形中，，P为对角线上的动点，交折线于点Q，设，的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 分解因式：______． 13. 不等式组的解集为____________. 14. 在一个不透明的布袋中有2个红球和3个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好是白球的概率为_____． 15. 半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为______． 16. 如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 17. 某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 18. 定义一种新运算*，规定运算法则为：，则___． 19. 已知等腰中，，，高，则的值为____． 20. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，，点在线段上从点A至点运动，连接，以为边作等边，点和点A分别位于两侧，连接．下列结论：①；②；③点从点A运动到点时，的运动路程是4；④连接面积的最大值为．其中正确结论的序号为_____． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点D在格点上），满足的面积是3，且； （2）点在的边上，且满足．（保留作图痕迹，体现作图过程）， （3）连接，并直接写出的值． 23. 某校开展了以“养成读书好习惯”为主题的读书活动，学校对部分学生四月份读书量进行了随机抽样调查，读书量为2本书的占，并对所有随机抽取学生的“读书量”单位：本）进行了统计，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图，样本众数是_____本； （3）已知该校有3200名学生，请你估计该校学生中，四月份“读书量”超过3本学生人数． 24. 定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形叫作“和谐四边形”，把这条对角线叫作这个四边形的“和谐线”． （1）如图1，在四边形中，平分，求证：四边形是“和谐四边形”： （2）如图2，在中，，，在平面内找一点D，使得以点A，B，组成的四边形是满足的“和谐四边形”，且为和谐线，请直接写出所有满足条件的的度数． 25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？ （2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件． 26. 已知，在中，弦，弦与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若为的直径，延长交于，过点作于，交于，交的延长线于，过点作交的延长线于G，连接，，，若，，求的面积． 27. 已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点为上一点，点在轴正半轴上，与轴交于点，，设点D的纵坐标为，的长度为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，点在延长线上，连接，点在上，连接，，过C作交于，连接，平分，点在的正半轴上，连接，，，若，求及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈47中学2025-2026学年度下学期学情调研（一）初四数学试题 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“班级”、“准考证号”等信息在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； C，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选C． 3. 萧红故居是呼兰区著名的红色教育基地，全年累计接待来自全国各地的研学参观游客约621000人次，将数据621000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，其中满足，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 4. 如图，该几何体由5个小正方体组合而成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图就是从正面看到的图形解答即可． 【详解】该几何体的主视图为 左视图为 俯视图为 故选D． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图．掌握主视图就是从正面看到的图形，左视图就是从左面看到的图形，俯视图就是从上面看到的图形是解题关键． 5. 将二次函数的图像沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【详解】解：将函数图象沿x轴向右平移2个单位长度， ∴平移后解析式为：． 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC． 【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°， 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°， 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°． 故选A． 7. 如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于D，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线定理得，结合等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与相切于点C，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图所示，用一些相同的小正方形，拼在一起，排成如下的一些大正方形，按这个规律排列下去，第7个图形中有（ ）个黑色的小正方形． A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律问题，根据所给图形发现黑色小正方形个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形的黑色小正方形的个数特点，可得第个图中黑色小正方形的个数可表示为，据此解答即可求解． 【详解】解：由图可知，从第2个图开始，每个图都比前面的图多2个黑色的小正方形， ∴第个图中黑色小正方形的个数为：（个）， ∴第7个图形中黑色的小正方形的个数为：（个）． 故选：B． 9. 如图，在中，．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点P，射线交于点D．若，则的度数为（ ） A. 80° B. 72° C. 64° D. 78° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由等边对等角以及角平分线，，则，在中，由三角形内角和定理，即可求解． 详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 10. 如图，在正方形中，，P为对角线上的动点，交折线于点Q，设，的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形的性质，二次函数图象和性质，分类讨论，是解题关键． 因为点Q运动轨迹是折线，故分两种情况讨论：当点Q在上或当点Q在上，分别计算其面积，再结合二次函数图象的基本性质解题即可． 【详解】解：∵在正方形, ，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当点Q在上时，， ∴， ∵， ∴, ∴； 当点Q在上时，， ∴, ∵， ∴ ∴； ∴该函数图象前半部分是开口向上的抛物线，后半部分为开口向下的抛物线， 即 故选：B. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得． 12. 分解因式：______． 【答案】2a（a-2b）2 【解析】 【分析】首先提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： =2a（a2-4ab+4b2） =2a（a-2b）2． 故答案为：2a（a-2b）2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 13. 不等式组的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14. 在一个不透明布袋中有2个红球和3个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好是白球的概率为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率的定义，确定所有等可能结果总数与摸到白球的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，布袋中共有球 （个），所有球除颜色外无其他差别，每个球被摸到的可能性相等， 其中摸到白球的等可能结果共有种， 根据概率公式可得：． 15. 半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长为， 故答案为：． 16. 如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴树的高度． 17. 某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 【答案】64 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 18. 定义一种新运算*，规定运算法则为：，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列式计算即可． 【详解】解：． 19. 已知等腰中，，，高，则的值为____． 【答案】或2 【解析】 【分析】分两种情况：当高在内部时，当高在外部时，分别利用勾股定理，并结合正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：如图，当高在内部时， ， ∵，高， ∴， ∴， ∴； 如图，当高在外部时， ， ∵，高， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或2． 20. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，，点在线段上从点A至点运动，连接，以为边作等边，点和点A分别位于两侧，连接．下列结论：①；②；③点从点A运动到点时，的运动路程是4；④连接面积的最大值为．其中正确结论的序号为_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，再利用角的等量代换，即可得出结论①正确；②连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确；③延长至，使，连接，通过，，可分析得出点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到，从而得出结论③正确；④过点作于点，在上截取，连接，证明，则，进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：①设与的交点为，如图所示： 在矩形中，对角线相交于点， ∴，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴ ∴，故①正确； 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论②正确； ③如图，延长至，使，连接， ， ∴点在的垂直平分线上，则 点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到， ， 设，则 解得： ， 点运动的路程是， 故结论③正确； 如图，过点作于点，在上截取，连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则，， ∴ ∴当时，面积的最大值为． 故④正确， 综上所述，正确结论的序号为①②③④． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再根据特殊角三角函数值求出，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，特殊角三角函数值，二次根式的混合运算等知识点．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序及熟记特殊角三角函数值． 22. 如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点D在格点上），满足的面积是3，且； （2）点在的边上，且满足．（保留作图痕迹，体现作图过程）， （3）连接，并直接写出的值． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，，再根据的面积是3画图即可； （2）根据构建，即，即可； （3）先证四边形是平行四边形，再证，得即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：点E的位置如图所示： 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 某校开展了以“养成读书好习惯”为主题的读书活动，学校对部分学生四月份读书量进行了随机抽样调查，读书量为2本书的占，并对所有随机抽取学生的“读书量”单位：本）进行了统计，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图，样本的众数是_____本； （3）已知该校有3200名学生，请你估计该校学生中，四月份“读书量”超过3本的学生人数． 【答案】（1）60名 （2）图见解析，3 （3）960人 【解析】 【分析】（1）根据读书量为2本书的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数； （2）用调查的总人数减去读书量分别为1本、2本、3本、5本的人数得到读书量为4本书的人数，即可补全条形统计图，再根据众数的定义即可求解； （3）用3200乘上读书量为4本和5本的人数占比，即可求解． 【小问1详解】 解：（名）， 答：本次调查一共抽取了60名学生； 【小问2详解】 解：读书量为4本书的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： 由图可得，读书量为3本书的学生人数最多， 所以样本的众数是3本； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生中，四月份“读书量”超过3本的学生人数为960人． 24. 定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形叫作“和谐四边形”，把这条对角线叫作这个四边形的“和谐线”． （1）如图1，在四边形中，平分，求证：四边形是“和谐四边形”： （2）如图2，在中，，，在平面内找一点D，使得以点A，B，组成的四边形是满足的“和谐四边形”，且为和谐线，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】（1）见解析 （2）所有满足条件的的度数为或或 【解析】 【分析】（1）根据，， 平分，可得，，进而求得，根据等角对等边，可证是四边形的和谐线． （2）根据为和谐线，点D在之内，点A、B、C、D组成的凸四边形为和谐四边形，有三种情况，逐项分析画图，求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 将四边形分成和， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， ∴是四边形的和谐线； 【小问2详解】 根据为和谐线，点D在之内， 当为对角线，四边形有三种情况． 第一种：， 如图，以A为圆心，为半径画圆，以B为圆心，为半径画圆，点D位于线段下方两圆交点上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 第二种：不等于、、、，如图: 以点B为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆，两圆在下方的交点就是点D， 则，，， ∵四边形四条边都相等，且， ∴四边形是正方形， ∴； 第三种：当只等于时，如图， 以B为圆心，为半径画圆，点F为中点，的中垂线和圆相交，下方的交点即为D， 过点B作于点E，的中点为点N，连接， 此时，四边形为矩形(3个角是直角的四边形是矩形)， ∵点F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的中点为点N，是直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， 在直角中，， ∵， ∴； 综上，所有满足条件的的度数为或或． 25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？ （2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件． 【答案】 A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元； A种纪念品最多购进80件． 【解析】 【分析】设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为元，根据数量总价单价结合用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论． 【详解】设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元． 设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件， 根据题意得：， 解得：． 答：A种纪念品最多购进80件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 26. 已知，在中，弦，弦与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若为的直径，延长交于，过点作于，交于，交的延长线于，过点作交的延长线于G，连接，，，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等弦对等弧得到，则有，再根据等弧对等弦即可证明； （2）连接，，先证明，得到，再证明，利用全等三角形的性质即可证明； （3）设，先证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，推出；在上取点，使，连接，易证，得到，，进而推出，设，，利用勾股定理表示出，通过证明，求出，；过点作于点，再通过证明，推出，利用等腰直角三角形的性质求出的值，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴； 过点作于点， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点为上一点，点在轴正半轴上，与轴交于点，，设点D的纵坐标为，的长度为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，点在延长线上，连接，点在上，连接，，过C作交于，连接，平分，点在的正半轴上，连接，，，若，求及的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）首先表示出，，然后根据求出即可求解； （2）如图，过C作轴于，，首先求出，，然后表示出，解直角三角形表示出，得到，，然后利用勾股定理求解即可； （3）如图，过点F作轴于点N，过点G作轴于点M，设与x轴交于点P，首先求出，得到，，证明出，得到，由（2）得，，证明出等腰直角三角形，得到，，设，代入求出，所在直线的表达式为，求出轴，，求出所在直线的表达式为，联立求出，设，解直角三角形求出，设，利用求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：直线与轴、轴分别交于点、， 当时，， ∴，即， 当时，， 解得， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 直线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过C作轴于， ∵ ∴，， ∴， ，设点D的纵坐标为， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ∴； 小问3详解】 解：如图，过点F作轴于点N，过点G作轴于点M，设与x轴交于点P， ∵将代入得， 解得 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 由（2）得， ∵， ∴C为中点， ∴垂直平分， ∴ ∴等腰直角三角形 ∴， ∴， 设 ∴ 解得 ∴ ∴同理所在直线的表达式为 ∵ ∴轴， ∴， ∵， ∴同理所在直线的表达式为， ∴将和联立得， 解得 ∴ ∵F在直线上，设 ∴， ∴， ∴，即 解得 ∴ 设， ∵ ∴， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $