精品解析：北京景山学校2025-2026学年高一第二学期学情调研数学试卷

2025-2026学年高一年级第二学期学情调研 数学试卷 2026.04 一､单选题（共8小题，每小题5分，合计40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定集合B，根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】由题意可知，则， 所以， 故选：C 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式将所求正弦转化为余弦，再结合余弦倍角公式计算即可. 【详解】由题. 故选：D 4. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倍角公式计算即可. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数商数关系及两角和的正弦公式求出，代入两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又因， 所以， 所以. 故选：C 6. 已知角，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可. 【详解】由，，则， 则， ， 所以 . 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和角的正切公式可得，结合角的范围即得答案. 【详解】由已知可得：， 所以， 又，则，故. 故选：C. 8. 数学家威廉•邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观､精巧的图示就能完整传达数学定理的证明.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（四边形为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合直角三角形中三角函数的定义，准确化简，即可求解. 【详解】在中，因为，可得， 在直角中，可得 在直角中，可得， 所以 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时， C. 的解集为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数函数的图象性质逐项解决即可. 【详解】对于A：函数的定义域为， 故A正确； 对于B：函数在单调递减，所以当时， 函数，故B正确； 对于C：函数在单调递减，， 即，解得， 故C错误； 对于D：， 故D正确. 故选：ABD 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角公式，辅助角公式，正切的两角和公式求解即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 11. 已知为锐角，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式先求出可判断B；再由同角的三角函数关系可得A；由二倍角的正弦公式可得C；利用和角的正切公式可得D. 【详解】对于A、B，，则， ，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以， 由， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题（共3小题，每小题5分，合计15分） 12. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【详解】原式 13. 已知正实数，满足，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用代换法，结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，上式取等号， 则的最小值是, 故答案为： 14. 十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在中，，．根据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角函数的定义可得，再根据余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由题意，在中，易得， 则, 故答案为： 四､解答题（共5小题，合计77分） 15. 已知都是锐角，且，， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正切公式进行求解； （2）利用同角三角函数的基本关系式分别求出，，的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅角公式可得，由此即可求出的最小正周期； （2）根据，可得，在结合正弦函数的性质，即可求出结果. 【小问1详解】 解： 所以最小正周期为； 【小问2详解】 ， ，的值域为. 17. 已知以下四个式子的值都等于同一个常数 ； ； ； . （1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数. （2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）选第四个式子，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)选第四个式子，由即可求三角函数式的值； (2)由题意，设一个角为，另一个角为，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值 【详解】（1）由第四个式子： （2）证明： 【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得答案； （2）利用单调性的定义可证明； （3）利用奇偶性与单调性把不等式转化二次不等式恒成立问题，分离变量，利用对勾函数求最值可得答案. 【小问1详解】 由题意，定义在上的函数为奇函数， 得，解得， 此时， 则， 所以函数是上奇函数，所以. 【小问2详解】 由（1）知 ， 定义域为，函数在上单调递增， 证明如下： 任取，则 ， 由及在上单调递增，得， 则， 即，所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 依题意，对任意的，成立， 因为为定义在上奇函数， 则， 又因为函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 即， 而在上单调递增， 当且仅当时，取到最小值6， 因此，所以实数的取值范围是. 19. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学､物理､天文等学科. （1）记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； （2）若角满足，求的值； （3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和两角和的余弦公式，进行三角恒等变换，求出公式即可； （2）根据二倍角公式和两角和的正弦公式，以及同角三角函数的平方关系，求出的公式，并求出结果； （3）根据诱导公式，和余弦的三倍角公式，列出方程，求出结果即可. 【小问1详解】 . 即. 【小问2详解】 由（1）及已知得：解得：， 又 . 由得：， . 【小问3详解】 即 ， 等式两边同除得：，即， 化简得：，解得：（舍） 由题意知黄金分割值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级第二学期学情调研 数学试卷 2026.04 一､单选题（共8小题，每小题5分，合计40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 数学家威廉•邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观､精巧的图示就能完整传达数学定理的证明.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（四边形为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时， C. 的解集为 D. 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知为锐角，，则（　　） A. B. C. D. 三､填空题（共3小题，每小题5分，合计15分） 12. 计算：__________. 13. 已知正实数，满足，则的最小值是_____. 14. 十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在中，，．根据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为____________． 四､解答题（共5小题，合计77分） 15. 已知都锐角，且，， （1）求的值； （2）求值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域. 17. 已知以下四个式子的值都等于同一个常数 ； ； ； . （1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数 （2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数单调性，并用定义法证明你的结论； （3）若对任意的不等式成立，求实数的取值范围. 19. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学､物理､天文等学科. （1）记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； （2）若角满足，求的值； （3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $