专题7.2 复数的四则运算（10类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦复数的四则运算核心知识点，系统梳理加减乘除的代数法则、几何意义，以及求参数、分解因式、方程根等应用，构建从基础运算到几何意义再到实际应用的递进式学习支架。 该资料特色在于融合数学眼光、思维与语言，通过几何意义运用培养空间观念，如复数加减法的向量表示；借助运算推理提升逻辑思维，如复数方程根的求解。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题7.2 复数的四则运算 【知识梳理】 1 【考点1：复数加减法的代数运算】 3 【考点2：复数加减法几何意义的运用】 4 【考点3：根据复数的加减运算结果求参数】 6 【考点4：复数代数形式的乘法运算】 6 【考点5：复数范围内分解因式】 7 【考点6：复数范围内方程的根】 9 【考点7：复数的除法运算】 9 【考点8：根据复数乘法运算结果求参数】 10 【考点9：根据除法运算结果求参数】 10 【考点10：共轭复数的概念及计算】 11 【知识梳理】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 7．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当时，方程有两个不相等的实根 ，； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 8．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【考点1：复数加减法的代数运算】 1．（25-26高三上·河南·开学考试）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建三明·期末）设复数满足，且，则______. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：； 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）计算； （2）计算． 5．（25-26高一下·辽宁朝阳·月考）（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 【考点2：复数加减法几何意义的运用】 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 3．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.（填“外心”“重心”或“垂心”） 4．（2026高三·全国·专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D分别对应复数，求第四个顶点所对应的复数． 5．（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【考点3：根据复数的加减运算结果求参数】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为_________． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________. 4．（24-25高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 5．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 【考点4：复数代数形式的乘法运算】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）若（为虚数单位）为纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建莆田·二模）已知复数，则（   ） A． B．3 C． D．5 3．（25-26高一下·福建厦门·月考）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古包头·一模）若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【考点5：复数范围内分解因式】 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 2．（25-26高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 3．（25-26高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 4．（25-26高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 5．（25-26高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【考点6：复数范围内方程的根】 1．（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，是实系数一元二次方程的两根，则，的值为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知方程的两个复数根是和，则（    ） A． B． C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 5．（25-26高三下·上海·月考）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 【考点7：复数的除法运算】 1．（2026·湖北襄阳·一模）设i是虚数单位，，则（   ） A． B． C． D． 2．（湖北十堰市2026届高三下学期3月调研考试数学试题）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·北京·月考）在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26高一下·福建厦门·月考）计算：______． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）设是虚数单位，__________． 【考点8：根据复数乘法运算结果求参数】 1．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则___________. 2．（2026·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 5．（多选）（25-26高二上·云南保山·期末）若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【考点9：根据除法运算结果求参数】 1．（2026高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·河南·模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南商丘·期中）若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值. 5．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【考点10：共轭复数的概念及计算】 1．（2026·广东广州·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·一模）已知复数，复数为复数的共轭复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高三下·海南·月考）若复数z满足：是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为i B．z在复平面上对应的点位于第一象限 C． D． 5．（多选）（2026·浙江·模拟预测）设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 复数的四则运算 【知识梳理】 1 【考点1：复数加减法的代数运算】 3 【考点2：复数加减法几何意义的运用】 5 【考点3：根据复数的加减运算结果求参数】 8 【考点4：复数代数形式的乘法运算】 9 【考点5：复数范围内分解因式】 11 【考点6：复数范围内方程的根】 13 【考点7：复数的除法运算】 15 【考点8：根据复数乘法运算结果求参数】 17 【考点9：根据除法运算结果求参数】 18 【考点10：共轭复数的概念及计算】 21 【知识梳理】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 7．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当时，方程有两个不相等的实根 ，； 当时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 8．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【考点1：复数加减法的代数运算】 1．（25-26高三上·河南·开学考试）设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 故选：D 2．（24-25高一下·福建三明·期末）设复数满足，且，则______. 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可计算. 【详解】设，所以，由， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值：； 【答案】 【分析】利用复数加减运算法则计算出答案. 【详解】. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）5；（2） 【分析】利用复数的加减运算法则计算即可. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 5．（25-26高一下·辽宁朝阳·月考）（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或1，或2. 【分析】（1）利用复数加减运算法则计算出答案； （2）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案； （3）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案. 【详解】（1）； （2），故，解得， （3），故， 解得或1，或2. 【考点2：复数加减法几何意义的运用】 1．（25-26高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义，，结合，可得，再由即可求解． 【详解】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为， 设复数在复平面内对应的点的坐标为，，， 则，又， 所以，即， ， ，当且仅当在线段上取等号， ，且， ，当时取等， 综上，当点在时等号同时成立，取得最小值3， 即的最小值为3． 故选：C 3．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.（填“外心”“重心”或“垂心”） 【答案】外心 【分析】设对应点为，根据复数的向量表示及向量减法的几何意义得，即可得结论. 【详解】设对应点为，且， 根据向量减法的几何意义知，即到三角形三个顶点的距离相等， 所以在复平面内对应的点为的外心. 故答案为：外心 4．（2026高三·全国·专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D分别对应复数，求第四个顶点所对应的复数． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，结合平行四边形法则求解即可. 【详解】由平行四边形法则得对应的复数, 所以第四个顶点所对应的复数为6． 5．（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 【考点3：根据复数的加减运算结果求参数】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算结合复数的概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________. 【答案】 6 11 【分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解. 【详解】因为(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)， 所以x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i， ∴，解得. 故答案为：6，11. 4．（24-25高一下·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】2 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可． 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 5．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再利用其对应的点所在象限得不等式组，故可求参数的范围； （2）利用夹角公式可求夹角. 【详解】（1）由题意， ， 第一象限需满足：，解得 . （2）当 时，点 ， ， 设的夹角为，则， 且. 【考点4：复数代数形式的乘法运算】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）若（为虚数单位）为纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，根据复数的概念可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】因为（为虚数单位）为纯虚数， 所以，解得. 2．（2026·福建莆田·二模）已知复数，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 3．（25-26高一下·福建厦门·月考）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 4．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的乘法可得， 而复数对应的点在第三象限，故， 所以即实数的取值范围是. 5．（2026·内蒙古包头·一模）若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用化简原式，计算求解． 【详解】， ， ． 【考点5：复数范围内分解因式】 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 2．（25-26高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【详解】（1） . （2）. 3．（25-26高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用平方差公式即可得解； （2）将原式配成完全平方式，再根据，利用平方差公式即可得解； 【详解】（1） （2） . 4．（25-26高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先应用求根公式再写成两个因式相乘； （2）先应用求根公式再写成两个因式相乘. 【详解】（1）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 故. （2）由方程可知， 所以方程有两个共轭虚根为， 5．（25-26高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【详解】（1）； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【考点6：复数范围内方程的根】 1．（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 3．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，是实系数一元二次方程的两根，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，是共轭复数，即可得，，再由根与系数的关系求解. 【详解】因为（）是实系数一元二次方程的两个根， 所以，是共轭复数， 则，，即实系数一元二次方程的两个根是， 所以，． 故选：AB 4．（多选）（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知方程的两个复数根是和，则（    ） A． B． C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用实系数方程的虚根特征，结合韦达定理求出，进而求得答案. 【详解】由题意可得，则解得，A正确，B错误， 因为，所以，在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，C正确，D正确. 故选：ACD. 5．（25-26高三下·上海·月考）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，结合，再由可求b的取值范围. 【详解】由题意可知实系数方程有两个虚数根， 设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以，则， 实系数方程有虚数根， 则, 则实数的取值范围为. 【考点7：复数的除法运算】 1．（2026·湖北襄阳·一模）设i是虚数单位，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法计算公式求解. 【详解】由得. 2．（湖北十堰市2026届高三下学期3月调研考试数学试题）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则. 3．（25-26高三下·北京·月考）在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数对应的点得出复数，再应用复数除法计算化简求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则复数， 复数，则复数的虚部为. 4．（25-26高一下·福建厦门·月考）计算：______． 【答案】 【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）设是虚数单位，__________． 【答案】/ 【分析】根据复数的除法的运算以及复数的周期性即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 【考点8：根据复数乘法运算结果求参数】 1．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则___________. 【答案】21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 2．（2026·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【详解】， 由已知得，解得， 故选：D 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 【答案】B 【分析】先写出，的代数形式，根据列方程组求解. 【详解】∵向量，向量对应的复数分别是，， ∴，. 又∵， ∴，解得， 故选： 5．（多选）（25-26高二上·云南保山·期末）若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 则或． 【考点9：根据除法运算结果求参数】 1．（2026高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【详解】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 2．（2026·河南·模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案. 【详解】，所以， 解得， 故选：B. 3．（24-25高二下·河南商丘·期中）若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的周期性及复数的除法运算法则，结合复数实部与虚部相等即可求解. 【详解】由题意可知，， 因为复数的实部和虚部相等， 所以，解得， 所以． 故选：C． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值. 【答案】. 【分析】将化简后，令实部与虚部相等求解即可. 【详解】∵， ∴ ∵的实部与虚部相等， ∴， 解得. 5．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【考点10：共轭复数的概念及计算】 1．（2026·广东广州·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，则， 所以. 2．（2026·河北张家口·一模）已知复数，复数为复数的共轭复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由复数可得， 因此， 所以. 3．（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以，解得. 4．（多选）（25-26高三下·海南·月考）若复数z满足：是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为i B．z在复平面上对应的点位于第一象限 C． D． 【答案】BD 【详解】因为， 所以复数z的虚部为1，故A错误； 复数z对应的点为，在第一象限，故B正确； 又因为，复数z的共轭复数为，所以，故C错误； ，故D正确. 5．（多选）（2026·浙江·模拟预测）设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错误. 【详解】选项A，计算得：，， 因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误； 选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选项C，设，则， 若，则虚部，得，故，故C正确； 选项D，，故，由两边约去得，不一定有， 例如满足条件，但，故D错误. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $