精品解析：江苏海安市实验中学2025-2026学年高二下学期第一次学情检测数学试题

实验中学高二年级第一次学情检测 数学 命题：高峰 审核：解祥峰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因l是一条直线，，为两个不同平面，， 当时，可过直线作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得， 又，所以，又，所以，故充分性成立； 当时，当且时符合，但推不出，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件． 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得，再由共轭复数的概念可解. 【详解】因为， 所以． 故选：C 4. 年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（ ） A. 月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B. 月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C. 根据图象，这一天时所对应的温度为 D. 根据图象，这一天时所对应的温度为 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线图逐项判断. 【详解】A. 由折线图知：月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低，故正确； B. 由折线图知：月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为，故正确； C.根据图象，这一天时所对应的温度约为，故错误； D. 根据图象，这一天时所对应的温度为，故正确， 故选：C 5. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出； 【详解】由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 综上，. 6. 甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有人出的是布.则下列结论错误的是（   ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记“石头”，“剪刀”，“布”，列举样本空间以及确定事件分别对应的样本点，利用事件的关系，结合古典概型计算概率，逐项判断得结论. 【详解】记“石头”，“剪刀”，“布”， 则样本空间，总数为. 对于A：事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，所以与不会同时发生，即与互斥，故A正确； 对于B：事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，因为，所以与不可能互为对立事件，故B错误； 对于C：事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，所以，故C正确； 对于D：由C可知，；事件包含的样本点为，故； 事件包含的样本点为，故. 所以，故D正确. 故选：B. 7. 在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，l与所成的角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两向量夹角的余弦值，再由线面角与两向量夹角的关系即可得出结论. 【详解】易知， 所以， 即，又，所以. 8. 2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦，剩下两人分别体验另外两个项目，第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验，剩下一人体验剩余的项目根据分类原理即可计算. 【详解】根据题意可知第一类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦， 剩下两人分别体验另外两个项目，则有种方案， 第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验， 则有种方案，综上总共有种方案. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，再根据复数的概念，实部、虚部概念，复数模的定义依次判断. 【详解】对于A，因为，所以的实部为1，故A正确； 对于BC，，所以的虚部为2，为纯虚数，故B错误，C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（ ） A. 若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B. 若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C. 若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D. 若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 【答案】ABD 【解析】 【分析】采用捆绑法结合排列数的运算判断A；采用插空法结合排列数的运算判断B；利用对称性结合排列数的运算判断C;先排歌曲和歌曲，然后再利用安排其它歌曲判断D. 【详解】6首歌曲的全排列总数为种.要求B、C、D三首必须连续，采用捆绑法. 将B、C、D看作一个整体，与A、E、F共同进行排列， 将、C、D视1个元素，与另外3个元素进行全排列，共有种排法， B、C、D这个整体内部进行全排列，共有种排法，故总安排方式为种，故A正确； 要求B、C、D任意两首不连续，采用插空法，先将A、E、F三首歌曲进行全排列，共有种排法， A、E、F排好后形成4个空位（包含首尾），从这4个空位中选3个插入B、C、D，共有种排法. 总安排方式为种，故B正确； 要求在之前演唱且无需连续，利用对称性分析， 在全排列中，在前和在前概率均等，各占总数的一半. 故总安排方式为种，故C错误； 要求必须先演唱，必须不最后演唱，先确定的位置，固定在第1位，有1种排法， 再确定的位置，不能在第1位，也不能在第6位， 只能在第2、3、4、5位中选择，共有种排法， 则剩余的4首歌曲在剩下的4个位置进行全排列，共有种排法， 总安排方式为种，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最大值为__________. 【答案】54 【解析】 【详解】对求导得， 令，得，都在区间内. 因为，， ，， 这四个值中最大值为，所以的最大值为. 13. 加德学校召集高二年级5个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余4个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的方法种数为______． 【答案】16 【解析】 【详解】若高二（1）班有1名家长发言，则有种情况， 若高二（1）班没有家长发言，则有种情况， 所以共有种情况. 14. 长方体的底面是一个正方形，其边长为4，长方体的高为，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为______，这个八面体的体积和长方体的体积之比为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】八面体的表面积是两个四棱锥的侧面积之和，利用长方体的棱长，结合勾股定理求出四棱锥侧面三角形的边长，判断侧面三角形的形状，再用面积公式计算单个四棱锥侧面积，进而得到八面体表面积；利用棱锥体积公式计算单个四棱锥体积，进而得到八面体体积，最后求出两者体积之比。 【详解】如图所示，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系 根据题意可得各点坐标为：， ， 因为八面体共8个全等的等腰三角形，以为例： 可得， 三角形的高为，故 所以总表面积为：. 长方体体积为： 由八面体是两个四棱锥组合而成，四棱锥底面是正方形，面积为， 可得每个四棱锥的高为，总体积 所以八面体的体积和长方体的体积之比为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点. （1）用向量，，表示向量； （2）求； （3）求. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用中线向量公式，结合向量的线性运算即可求解； （2）利用基底表示向量，先求基底的数量积，问题即可求解； （3）利用基底的数量积运算即可求向量的模. 【小问1详解】 因为是的中点，所以， 又因为为线段上靠近三等分点，所以， 又因为是的中点，所以， 则； 【小问2详解】 因为，，， 所以， ， 所以 【小问3详解】 16. 中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. （1）求续航能力在区间内的实验次数； （2）估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得，得到续航能力在区间内的频率，进而得到答案； （2）根据题意，利用频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率，得到在中的有1次，在中的有6次，结合古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得， 解得，即续航能力在区间内的频率为， 所以续航能力在区间内的实验次数为次. 【小问2详解】 根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里. 【小问3详解】 由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为， 所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验， 则在中的有1次实验，在中的有6次实验， 设在中的有1次实验为，在中的有6次实验分别为， 可得 所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有种不同的取法， 设事件“这2次实验中有续航能力在中的实验”， 可得，共有6个基本事件， 所以事件的概率为 可得这2次实验中有续航能力在中的实验的概率为. 17. 已知函数，． （1）若在点处取得极值． ①求的值； ②证明：； （2）求的单调区间． 【答案】（1）①1；②证明见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）①先由在点处取得极值，求出参数的值；②经分析函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即时，取得最小值，即可得证； （2）分和两种情况讨论函数的单调区间即可. 【小问1详解】 ①由于函数，得， 因为在点处取得极值， 所以,所以， 经检验的导函数在区间上小于，在区间上大于， 故在点处取得极小值． ②由①得，，． 令，解得． 当x变化时，，的变化情况如表所示． x 1 － 0 ＋ 单调递减 1 单调递增 所以，当时，取得最小值． 所以，即． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令解得， 的解集为， 的解集为， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． （1）证明：平面ACE⊥平面PCD． （2）求二面角E－AC－D的余弦值． （3）求点D到平面PAC的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量关系证明和的垂直，进而证明面面垂直； （2）求解平面和平面的法向量，进而求解二面角夹角余弦值； （3）求平面的法向量和，结合点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 如图所示，取中点，连接，因为为正三角形，故. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，中点， 故. 所以，，， ，故； ，故. 因为，且平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 平面即为底面，取其一个法向量. 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. 所以. 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. ，由点到平面距离公式可得：， 所以点到平面的距离为. 19. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件、相互独立事件的概率计算； （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”，分别表示，，求出； （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”，由或，计算得解. 【小问1详解】 设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则， 又互斥， 所以当时，， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. 【小问2详解】 （i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，① ，② 由①②，得，解得. （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则， 则． 或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高二年级第一次学情检测 数学 命题：高峰 审核：解祥峰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（ ） A. 月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B. 月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C. 根据图象，这一天时所对应温度为 D. 根据图象，这一天时所对应的温度为 5. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 6. 甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有人出的是布.则下列结论错误的是（   ） A. 与互斥 B. 与互对立事件 C. D. 7. 在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，l与所成的角为，则（ ） A. B. C. D. 8. 2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. 10. 为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（ ） A. 若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B. 若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C. 若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D. 若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最大值为__________. 13. 加德学校召集高二年级5个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余4个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的方法种数为______． 14. 长方体的底面是一个正方形，其边长为4，长方体的高为，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为______，这个八面体的体积和长方体的体积之比为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点. （1）用向量，，表示向量； （2）求； （3）求. 16. 中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. （1）求续航能力在区间内的实验次数； （2）估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 17. 已知函数，． （1）若在点处取得极值． ①求的值； ②证明：； （2）求的单调区间． 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． （1）证明：平面ACE⊥平面PCD． （2）求二面角E－AC－D的余弦值． （3）求点D到平面PAC的距离． 19. 在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮通过的概率． （2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $