2026年九年级数学中考二轮复习《图形变换综合解答题》专题提升训练（附答案）

2026年九年级数学中考二轮复习《图形变换综合解答题》专题提升训练（附答案） 一、平移综合解答题 1．如图，点在反比例函数的图象上，点，，将沿方向平移，使点与点P重合，得到．过点作轴交反比例函数图象于点． (1)直接写出的值； (2)求直线的解析式； (3)求平移前后线段扫过的图形面积． 2．在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，三角形的面积为___________； (2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形的面积； (3)在（2）条件下，点是平面内一动点，若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求点的坐标． 3．如图，将正方形沿方向平移得到正方形，其中点的对应点在线段上运动，连接，交于点，交于点，交于点，连接，． (1)直接写出和的数量关系； (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)设的面积为，的面积为，的面积为． ①若正方形的边长为，当点运动到何处时，取得最大值？求出的最大值； ②求证：． 4．在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 6．综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 二、轴对称综合解答题 7．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ (3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 8．如图，在中，，，垂足为，为线段上一动点，连接，在的下方作等边，连接． (1)求证：． (2)若，的面积为，求的长． (3)如图，连接，当的周长最小时，直接写出和之间的数量关系． 9．如图，在中，，点D是线段上一点，连接，将线段沿翻折得到线段，连接并延长交的延长线于点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过点A作，且，取的中点M，连接、，当取最小值时，请直接写出的值． 10．已知抛物线过点 和 两点，交x轴于另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是上方抛物线上一点，连接，，，当平分 时，求P点坐标； (3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点． ①直线的解析式是 ； ②点G、H是“心形”图案上两点且关于对称，当线段的最长时，直接写出G点和H点的坐标分别为 ． 11．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图1，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图2，小明将两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线．作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决． （1）小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____； 【模型应用】 （2）如图3，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，求周长的最小值； 【模型拓展】 （3）如图4，在中，，若，将折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，点为上一动点，直接写出周长的最小值为_____． 12．如图1，直线与反比例函数的图象在第一、三象限交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C，D，过点A作轴于点E，点F为x轴上一点，直线与直线关于直线对称． (1)若，，点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)如图2，过点F作轴交于点G，过点A作于点P，连接．若k为定值，求证：的面积为定值； (3)在（1）的条件下，设抛物线的顶点为点Q，在平面直角坐标系中存在点Q，使最大，请直接写出点Q的坐标． 三、旋转综合解答题 13．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点 (1)求证：； (2)把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由： (3)把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 14．已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线于． (1)当分别在边上时（如图1），将绕点顺时针旋转至，求证：； (2)当分别在边所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论： (3)在图3中，作直线交直线于两点，在（2）的条件下，若，，求的长． 15．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 16．综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． 提出问题 （1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示） 解决问题 （3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 17．如图①，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 【数学思考】 （1）在绕点D旋转的过程中，如图①，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （2）如图②，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是________． 18．（1）【问题发现】 如图1，在中，，点为的中点，以为一边作正方形．点恰好与点重合，则线段与的数量关系为_____________； （2）【拓展探究】 在（1）的条件下，如果正方形绕点顺时针旋转，连接，，，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）【问题解决】 当，且（2）中的正方形绕点顺时针旋转到E，F，C三点共线时，请直接写出线段的长． 19．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，，，分别为，的中点，将以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到（点，的对应点分别为点，），连接，． 【初步感知】 （1）如图2，当，，三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为__________．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【延伸探究】 （3）如图4，当满足时，连接，，若设与的面积之和为，则是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 20．如图，中，，，为点在射线上，点在射线上，，将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)设，四边形的面积是，关于的函数图像如图所示，点是函数图像上一点 ① ； ②过点在上方作线段，使得，且（尺规作图）； ③连接，说明点是定点； ④点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，且直线与轴构成的锐角的正切值是，求的值． 参考答案 1．(1)8 (2) (3)22 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化——平移，求出点坐标和函数解析式是解决本题的关键． （1）把点代入直线，即可求值； （2）根据平移的性质，求得，再运用待定系数法，即可得到直线的表达式；（3）延长交轴于，过作轴于，根据，可得线段扫过的面积 的面积平行四边形的面积，据此可得线段扫过的面积． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：，， ，， 由平移可得，， 轴，， 点的横坐标为， 当时，，即， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为； （3）如图，延长交轴于，由平移可得，，又轴，， 点的纵坐标为4，即， 如图，过作轴于， 轴，， 点的横坐标为2，即， 又， 线段扫过的面积平行四边形的面积平行四边形的面积． 2．(1)6 (2)9 (3)点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）求出，，，利用三角形面积公式可得结论． （2）连接，根据，求解即可． （3）根据面积关系构建方程，求出即可． 【详解】（1）解：点，，， ，，， ， 故答案为：． （2）解：连接． ∵，点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D， ∴， ∴； （3）解：由题意，， 解得， 点的坐标为或． 3．(1) (2)，理由见解析 (3)①为中点时，有最大值；②证明见解析． 【分析】（1）根据正方形的性质及平移的性质证明四边形是矩形，由等角对等边推出，即可得出结论； （2）如图，连接，根据正方形的性质得，再推出， 证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）①过点作垂足为，设，则，根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进一步得到，再根据二次函数的最值可得结论； ②如图，设点到的距离为，点到的距离为，得，推出，，即可得证． 【详解】（1）解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵将正方形沿方向平移得到正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴和的数量关系为：； （2）． 理由：如图，连接， ∵、是正方形的对角线， ∴，，，， ∴， ∵将正方形沿方向平移得到正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）①过点作垂足为， 设， ∵正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴当时（此时为中点），取得最大值，此时， ∴为中点时，有最大值； ②证明：如图，设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识点．掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值是解题的关键． 4．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，非负数的性质；清晰的分类讨论是解本题的关键. 5．(1)；； (2)秒后，轴 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质： （1）根据平移的性质求解； （2）设t秒后轴，根据轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段上时，②如图2中，当点P在的延长线上时，③如图3中，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作，同②可证． 6．（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 7．(1) (2)、9、 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质，求解即可； （3）作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解： 中，，，， ， ， ， 解得，； （2）解：， 当时， 在中，， 如图1，，为边上的高， ， 则， 当时，， 当时， 如图2，作于， 则，， 由勾股定理得，， 则， 故当、9、时，为等腰三角形； （3）解：作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，即，连接，如下图： 可知 ∵ ∴ ∴ 的最小值为 8．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，．进而证明，从而可证得． （2）过点作于点，根据全等的性质可得的面积为，根据三角形的面积公式可求得的长，由，得到，再根据含直角三角形的性质即可得解． （3）作点关于的对称点，连接，，，则，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时的周长最小，由全等的性质可得，由轴对称的性质可得的度数，进而可得、的度数，最后根据含直角三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 是等边三角形． ，是等边三角形， ，，． ， ， ． （2）解：如图，过点作于点． 的面积为，， 的面积为， ，即， ． ， ， ． （3）解：． 如图，作点关于的对称点，连接，，， 则， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时的周长最小． ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，两点之间线段最短，作出合理的辅助线，灵活应用相关性质定理是解题的关键． 9．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数； （2）延长至点G，使，连接，可证，根据全等三角形的性质可证为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可证为等边三角形，根据等边三角形的性质可证结论成立； （3）先确定出点Q的轨迹，再利用轴对称的性质结合两点之间线段最短得出最小值，根据题意利用勾股定理，等腰直角三角形的性质得出相关线段的值，最终可得． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）证明：如下图所示，延长至点G，使，连接， 设， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； （3）解：∵点D为上的动点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，当点D在中点M，即与点M重合时，作，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点与点B重合时，作，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，M为中点， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴,， ∴，即与的夹角始终为， ∴点Q的轨迹为定直线l， 如图，过点A作关于直线l的对称点，连接，与直线l交点Q，连接， ∴， ∴的最小值为， 如图，作，， 设，则， ∴， ∵，， 在中，， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵是直角三角形， 由直角三角形斜边上的中线定理可知，点Q是斜边上的中点， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 10．(1) (2) (3) ； 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴交延长线于点，过作于点，证明，求得点坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解； （3）①根据顺时针旋转后的坐标特征可知对称轴为直线； ②连接，交与点，则，过点作轴的垂线，交于点,当最大时，面积最大，设，则，根据以及二次函数的性质求得当时,面积最大，求出此时点坐标，再根据①求出点坐标. 【详解】（1）解：∵抛物线过点和两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：过点作轴交延长线于点，过作轴交轴于点． 由，令，则， 解得：，， 则， ∵，. ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， 则； （3）解：①∵抛物线关于轴对称，所以旋转后图形关于轴对称， ∴对于抛物线上任意一点关于原点旋转后对应点为在旋转后图形上，关于轴对称的点在旋转后图形上， ∵与关于对称， ∴图形关于直线对称， ∴直线解析式为， 故答案为：； ②如图，连接，交于点，则， 过点作轴的垂线，交于点， ∴当最大时，面积最大， 又∵，其中是定值， 设，则， ∴， ∴当时，面积最大， ∴， ∴由①可知关于的对称点． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键． 11．（1）两点之间，线段最短；（2）10；（3）20 【分析】（1）根据两点之间，线段最短即可求解； （2）根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点和点重合时，的值最小，周长有最小值，求出的长度即可得到结论； （3）由折叠可知，根据的周长，判断出当、、三点共线时，的值最小，最小值为，再求得，，得到，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：小明在说明这个问题的过程中，把在直线同侧的问题转化为在直线两侧，从而可利用“两点之间，线段最短”的问题加以解决， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，直线是边的垂直平分线，直线与交于点， ∴、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴周长的最小值为； （3）解：由折叠的性质，得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ∴由勾股定理得，， 由折叠可知，， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质、线段垂直平分线性质、三角形周长最值问题，垂线段最短，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 12．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，得出，证明．得出，根据，点A的横坐标为3，求出，得出，即可得出答案； （2）求出，，得出，，证明四边形是矩形，得出．根据，得出，即，设，则，根据点A在反比例函数的图象上，得出，根据即可证明结论； （3）由（1）得，，，，求出抛物线的顶点Q的坐标为，得出点Q是直线上一点．证明，作点D关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点Q，此时最大，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．联立，求出点Q的坐标为． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为， 把代入得， 把代入得， 解得：， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴． ∴， ∵，点A的横坐标为3， ∴， ∴，， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）证明：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵轴，，轴， ∴四边形是矩形， 又直线与直线关于直线对称， ∴． 根据（1）可知：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 即若k为定值，则的面积为定值． （3）解：由（1）得，，，， ∵直线与直线关于直线对称， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点Q的坐标为， ∴点Q是直线上一点． 把代入得：， 解得：， ∴在直线， 把代入得：，设与y轴交于点， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 作点D关于直线的对称点，连接，，如图所示： 根据轴对称可知，， ∴，当共线时取最大值， 此时，∵直线， ∴点在直线上，且， ∴根据中点坐标可知：点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 联立， 解得， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理的逆定理，两点间距离公式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． 13．(1)见解析 (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论 （2）先判断出，得出，同(1)的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论. 【详解】（1）解：点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，， ， ， ， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，， ， 是等腰三角形， 同（1)的方法得，， ， 同(1)的方法得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，， 最大时，面积最大，即：最大时，面积最大， ∴点D在的延长线上， ， ， ． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PMCE，PNBD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出BD最大时，△PMN的面积最大． 14．(1)证明过程见详解 (2)或，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，等腰直角三角板的性质可得，，根据旋转的性质可证，可得，根据即可求证； （2）分类讨论，第一种情况，当点在点左边，点在点下方，将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点，可得，再证，即可求解；第二种情况，当点在点右边，点在点上方，将绕点顺时针旋转得，同理，，可证，由此即可求解； （3）连接，运用勾股定理可得，，，根据三角形相似的判定和性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 根据直角三角板的性质可得，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：或，理由如下， 第一种情况，当点在点左边，点在点下方，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点， ∴， ∴，，，， 根据等腰直角三角板可得，， ∴， ∴， ∴平分，且， ∴，且平分，即，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点右边，点在点上方，如图所示， 将绕点顺时针旋转得， 同理，， ∴， 根据等腰直角三角版可得，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，则， 在中，， ∴， 由（2）中可得，，且， ∴，即， 解得，， ∴在中，，且， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握上述知识，合理作出辅助线，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 15．(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 16．（1）2；（2）；（3）25． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为； （2）过点作，交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∴ 在和中 ∴（） ∴ 则的面积为 （3）过点作，交的延长线于点， 过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴ ∵， ∴， 由旋转的性质得：， 在和中 ∴（） ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∴是的中点， ∵ ∴ 则的面积为 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，证即可得证； （2）先证，再设未知数，在中利用勾股定理建立方程即可； （3）分别求出和，利用三角形三边关系即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下：连接， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：如图，连接， 在中， ∵，， ∴， 由题意得 当点F在上时，最小，此时； 当点F在的延长线上时，最大，此时 ∴， 故答案为：． 18．（1）；（2）无变化，见解析；（3）线段的长为或 【分析】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键． （1）首先根据正方形的性质推出，再根据，即可得出结论； （2）根据正方形的性质和等腰直角三角形的边长关系证得，，接着证明，从而利用相似三角形的性质证得结论不变即可； （3）分别考虑E，F，C三点共线时，点在线段上或者其延长线上时两种情况，然后结合已知信息以及相似三角形的判定与性质等分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ∵点与点重合，， ， ， 故答案为：． （2）无变化， 证明：如图2， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图2，E，F，C三点共线，且点在线段上， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， 如图3，E，F，C三点共线，且点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，线段的长为或． 19．（1） （2），，理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、旋转的性质、三角形内角和定理以及最值问题的求解． （1）根据线段中点的定义可得，再由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，证明，则由三角形外角和定理可得； （2）延长交于点，交于点，由（1）知，则，，则可推导，由此得到线段和之间的数量关系和位置关系； （3）连接，，二者交于点，由（1）得，，证明，则，推导， ，当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值，当、、三点共线时，有最大值，由与的面积之和的最大值为即可解答． 【详解】（1）解：，，，分别为，的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，，，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：，，理由如下， 如图，延长交于点，交于点， 由（1）知， ，， 又， ， ， 综上所述，，； （3）解：如图，连接，，二者交于点， 由（1）知，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，则，， ， ， ， 即， ， ， 当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值， ， 当、、三点共线时，有最大值，最大值为， 的最大值为， 与的面积之和有最大值，此时． 20．(1)见解析 (2)①；②图见解析；③见解析；④ 【分析】（1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可知，再利用平行线的性质可知，最后利用平行四边形的判定即可解答； （2）①根据平行四边形的面积公式可知，再根据等腰直角三角形的性质可知进而即可解答； ②根据线段垂直平分线的性质及尺规作图法即可解答； ③连接，证明，则，，则，可以看作绕点B逆时针旋转得到的，即可证明结论成立； ④根据直角三角形的判定及平行线的判定可知，再利用函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（）可知四边形是平行四边形，过点作于点， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形的面积是， ∴， ∵是函函数图象上一点， ∴， ∴， 故答案为； ②如图所示，线段即为所求， ③连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴，， ∴， ∴可以看作绕点B逆时针旋转得到的， ∴点是定点； ④过点作轴的垂线，过点作于点， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上， ∴，， ∴， ∵直线与轴构成的锐角的正切值是， ∴， 由①可知， ∴， ∴，， ∴， 解得： 学科网（北京）股份有限公司 $