专题09 几何最值问题之瓜豆圆模型（几何模型讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题09 几何最值问题之瓜豆圆模型 几何最值问题中的瓜豆原理模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。瓜豆原理模型则是近现代几何教学与解题实践的产物，核心依托旋转变换的不变性，针对 “双动点联动” 场景，归纳出 “定旋转中心、定旋转角、定比例” 的动点关联规律，形象化表述为 “种瓜得瓜，种豆得豆”，将动态最值转化为静态的点到轨迹距离最值，其理论根基是图形变换的性质，经教研人员系统整理后，成为破解复杂双动点最值问题的高效模型。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型运用 5 6 几何最值问题中的瓜豆圆模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。 （2023·四川宜宾·中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    （2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 瓜豆原理模型 核心结论：瓜豆原理（“种瓜得瓜，种豆得豆”）是动点轨迹问题的核心模型，核心逻辑是 “一个主动点、一个从动点、一个定点，从动点随主动点运动时，满足‘定旋转角 + 定缩放比’，则两者轨迹形状完全相同（直线仍为直线，圆仍为圆），可通过旋转 + 缩放构造从动点轨迹，进而求最值”。 1、 模型核心定义 三大核心元素： 定点 O（旋转中心 / 缩放中心，固定不变）； 主动点 P（运动轨迹已知，如直线、圆）； 从动点 Q（随 P 运动，满足固定关系）。 关键约束关系（从动点的运动规则）： 定旋转角：∠POQ=α（α 为固定角度，旋转方向可顺时针或逆时针）； 定缩放比：OQ/OP=k（k 为固定正数，k=1 时仅旋转不缩放）。 核心性质：主动点 P 的轨迹与从动点 Q 的轨迹形状相同、位置相似（直线→直线，圆→圆），轨迹大小比为 OP:OQ=1:k。 2、 模型核心三要素 定点 O：明确旋转和缩放的中心（题目直接给出或隐含，如线段中点、固定顶点）； 约束关系：确定旋转角 α 和缩放比 k（题目直接给出或通过条件推导，如 “OQ=2OP”“∠POQ=60°”）； 主动点轨迹：已知 P 的运动轨迹（直线 l 或圆⊙O₁，需先明确轨迹类型）。 三、解题通用步骤 如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 例2如图，矩形中，为边上动点，以为直径作圆，连接交圆于点．点在边上运动，连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是12 B．最小值是3 C．连接面积的最小值为 D．的最小值是 例3如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为_________． 例4如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是_______． 1．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 2．已知点是半径为4的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是______． 3．如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点E，则的最小值____． 4．如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在运动过程中，线段的长度的最小值为________． 5．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 6．如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 7．如图，的直径，垂足为，，，点是上的动点（不与两点重合），，垂足为，点在运动过程中线段的最小值为_______ ． 8．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________． 9．，，，，点P在射线上运动，的外接圆交于Q，的最小值为_____． 10．（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点O为圆心、为半径作辅助圆，是⊙O的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______．    ②如图2，点P为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：∵，，∴点P在以为直径的圆上 设圆心为点O，则O、P、A三点共线时最小，最小值为______． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形中，已知，，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点Q，则线段的最小值为______． ②如图4，中，，，，D为上一动点，以为直径的交于E，求线段的最小值．    （3）【问题拓展】 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，x轴上有一动点P，当最大时，直接写出点P的坐标______． 11．【学习心得】 （1）小明在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到________°． ②如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：，，点在以为直径的圆上，设圆心为点，则、、三点共线时最小，最小值为________； 【问题解决】 （2）①如图3，在平行四边形中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________； ②如图4，中，，，，为上一动点，以为直径的交于，求线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标________． 12．如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 13．问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 14．【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，以为直径作，点是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为___________； （2）如图②，是等边与的公共边，且，．点是等边内部一点，且满足，求线段的最小值； 【问题解决】 （3）如图③是某生态公园的部分示意图，正方形是一块绿地，经测量，．政府计划对该绿地及周边区域进行重新规划利用，在射线上取一点，沿，修两条小路，并在小路上取点，将段修建为供游客休息的走廊（走廊宽度忽略不计）．根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求供游客休息的走廊的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 几何最值问题之瓜豆圆模型 几何最值问题中的瓜豆原理模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。瓜豆原理模型则是近现代几何教学与解题实践的产物，核心依托旋转变换的不变性，针对 “双动点联动” 场景，归纳出 “定旋转中心、定旋转角、定比例” 的动点关联规律，形象化表述为 “种瓜得瓜，种豆得豆”，将动态最值转化为静态的点到轨迹距离最值，其理论根基是图形变换的性质，经教研人员系统整理后，成为破解复杂双动点最值问题的高效模型。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型运用 5 6 几何最值问题中的瓜豆圆模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。 （2023·四川宜宾·中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． （2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为； (2)点M的坐标为； (3)的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可． 【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， ∵，， ∴长为定值， 作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M， 则， ∴，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； （3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，， ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 瓜豆原理模型 核心结论：瓜豆原理（“种瓜得瓜，种豆得豆”）是动点轨迹问题的核心模型，核心逻辑是 “一个主动点、一个从动点、一个定点，从动点随主动点运动时，满足‘定旋转角 + 定缩放比’，则两者轨迹形状完全相同（直线仍为直线，圆仍为圆），可通过旋转 + 缩放构造从动点轨迹，进而求最值”。 1、 模型核心定义 三大核心元素： 定点 O（旋转中心 / 缩放中心，固定不变）； 主动点 P（运动轨迹已知，如直线、圆）； 从动点 Q（随 P 运动，满足固定关系）。 关键约束关系（从动点的运动规则）： 定旋转角：∠POQ=α（α 为固定角度，旋转方向可顺时针或逆时针）； 定缩放比：OQ/OP=k（k 为固定正数，k=1 时仅旋转不缩放）。 核心性质：主动点 P 的轨迹与从动点 Q 的轨迹形状相同、位置相似（直线→直线，圆→圆），轨迹大小比为 OP:OQ=1:k。 2、 模型核心三要素 定点 O：明确旋转和缩放的中心（题目直接给出或隐含，如线段中点、固定顶点）； 约束关系：确定旋转角 α 和缩放比 k（题目直接给出或通过条件推导，如 “OQ=2OP”“∠POQ=60°”）； 主动点轨迹：已知 P 的运动轨迹（直线 l 或圆⊙O₁，需先明确轨迹类型）。 三、解题通用步骤 如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 例2如图，矩形中，为边上动点，以为直径作圆，连接交圆于点．点在边上运动，连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是12 B．最小值是3 C．连接面积的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【分析】设，则，利用二次函数最值即可判断A选项；找到点的运动轨迹，即可判断B选项；过点作，当当在处时，点到距离最小，面积最小，利用矩形的性质解直角三角形求出，即可判断C选项；作点关于对称的，连接，利用勾股定理及点到圆上的距离问题即可判断D选项． 【详解】解：设，则， 则 ， 当时，的值最小，最小值为12，故A选项正确，不符合题意； 连接，取中点，以为直径作圆，连接， 为直径， ， 在以为直径的一段圆弧上运动， 当共线且时， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点作，当在处时，点到距离最小，面积最小， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ，即， ， 同理，得，即， ，即， ， 面积最小值为，故C选项错误，符合题意； 作点关于对称的，连接， 当在线段上时，，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查点到圆上的最值问题，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，对称的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、找到点的运动轨迹、矩形的性质． 例3如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为_________． 【答案】 【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【详解】解：作于，连接．   ， ， 在中，，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用、圆周角定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 例4如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，取的中点，以为直径作，由直径可得，进而可得点在以为直径的上运动，当点、、三点共线时，有最小值，此时，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，以为直径作， 是直径， ， ， 点在以为直径的上运动， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，此时， ， ， ， 线段的最小值是 故答案为：． 1．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 2．已知点是半径为4的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，根据题意得出最短时，即为连接与的交点是解题的关键．由题意知弦的中点P在以为直径的上，连接与的交点为P，此时的值最小，利用特殊角的三角函数以及勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意知弦的中点P在以为直径的上，连接与的交点为P， 此时的值最小， 作于E，作于D， ∵的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ， ， 在中， ∴． 故答案为：． 3．如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点E，则的最小值____． 【答案】2 【分析】要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的上运动，且为定值，设F在以为弦的上运动，，，在中可求得 的半径，在中求出，点A在外，要想最短，点F应在线段上，问题进而得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 点F在以为弦的上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ，， ， ， ，即AF最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆的综合题，点和圆的位置关系，点到圆的最短距离，圆周角定理以及勾股定理的应用．解题的关键是确定点F的运动轨迹． 4．如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在运动过程中，线段的长度的最小值为________． 【答案】/ 【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上，当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【详解】解：作于，连接．   ， ， 在中，，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 5．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 6．如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．如图，的直径，垂足为，，，点是上的动点（不与两点重合），，垂足为，点在运动过程中线段的最小值为_______ ． 【答案】/ 【分析】由可判断点的轨迹是以为直径的圆弧，则当、、三点共线时，最短．根据垂径定理和勾股定理计算出和，作差即可． 【详解】解：如图，连接，，以为直径作， ∵， ∴， ∴点在上， ∴当、、三点共线时，最短， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵点为中点， ∴，且， 在中，， ∴最小为． 8．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 9．，，，，点P在射线上运动，的外接圆交于Q，的最小值为_____． 【答案】 【分析】先解，得到，由四点共圆，得到，则，作的外接圆，，连接，则，可得为等边三角形，那么，过点作交于点，交于点，则四边形为矩形，那么，，根据等腰三角形的性质以及勾股定理得到则，故，而，则当点落在上时，取得最小值，即为． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵的外接圆交于Q， ∴四点共圆， ∴， ∴， 作的外接圆，，连接，如图： ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点落在上时，取得最小值，即为， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度较大，解题的关键是正确确定动点的轨迹． 10．（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点O为圆心、为半径作辅助圆，是⊙O的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______．    ②如图2，点P为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：∵，，∴点P在以为直径的圆上 设圆心为点O，则O、P、A三点共线时最小，最小值为______． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形中，已知，，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点Q，则线段的最小值为______． ②如图4，中，，，，D为上一动点，以为直径的交于E，求线段的最小值．    （3）【问题拓展】 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，x轴上有一动点P，当最大时，直接写出点P的坐标______． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3） 【分析】（1）①根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半，进行作答即可； ②根据圆周角为所对的弦是直径，即点P在以为直径的圆上，作图，当O、P、A三点共线时最小，即点的位置，结合勾股定理进行列式，即可作答； （2）①依题意，作图，以点A为圆心，以为半径，点Q也在圆上，连接，，过点A作交于点H，结合，得，通过勾股定理求出的值，当A、Q、C三点共线时，即点的位置，线段取最小值； ②依题意，E点的轨迹以为直径的圆上，记其圆心为点，作图，当点，，三点共线时，即点的位置，线段取最小值，结合勾股定理求出的值，即可作答； （3）依题意，过A、B、P三点的圆中，的长为定长，结合三角形的外角性质，当圆相切时，弧AB的度数最大，即可作答． 【详解】解：①依题意，以点O为圆心、为半径作辅助圆，如图所示：    ∵是⊙O的圆心角， ∴是圆周角， ∵ ∴； ②依题意，∵，， ∴点P在以为直径的圆上， 设圆心为点O，连接交圆上于一点，连接，，，如图所示：    因为是正方形， 所以 则， 此时 则O、P、A三点共线时最小，即点与点重合， 即， 此时的最小值为； （2）①依题意，以点A为圆心，以为半径，点Q也在圆上，连接，，过点A作交于点H，如图：    ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ 则 ∵为半径， ∴ 则 当A、Q、C三点共线时，即点Q与点的位置重合， 此时， 故线段的最小值为； ②依题意，E点的轨迹以为直径的圆上，记其圆心为点，连接，，且交上于一点，即点，连接，，，如图：    ∵D为上一动点，以为直径的交于E ∴， ， ∵，，， ∴， 则 那么 当点C、F、E三点共线时，即取最小值，即点与点重合， 此时， 所以的最小值为； （3）过A、B、P三点的圆中，圆心为点M，的长为定长，连接，，记交圆M于点N， 当圆M与x轴相切时，这时为点，此时的度数最大，即，连接，，，如图所示，    则， 那么 当点与点重合时，，此时的度数最大，即为的度数, 设点， 因为 所以 ∵ ∴ 整理得 解得（舍去），， 即点的坐标为 所以当最大时，点P的坐标为 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外角性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形三边关系，外接圆的性质等，综合性强，难度较大，对学生作辅助线的能力是有较高的要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．【学习心得】 （1）小明在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到________°． ②如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：，，点在以为直径的圆上，设圆心为点，则、、三点共线时最小，最小值为________； 【问题解决】 （2）①如图3，在平行四边形中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________； ②如图4，中，，，，为上一动点，以为直径的交于，求线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标________． 【答案】（1）①25；②；（2）①；②的最小值为；（3）． 【分析】（1）①根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半，进行作答即可；②根据圆周角为所对的弦是直径，即点P在以为直径的圆上，作图，当O、P、A三点共线时最小，即点的位置，结合勾股定理进行列式，即可作答； （2）①依题意，作图，以点A为圆心，以为半径，点Q也在圆上，连接，，过点A作交于点H，结合，得，通过勾股定理求出的值，当A、Q、C三点共线时，即点的位置，线段取最小值；②依题意，E点的轨迹以为直径的圆上，记其圆心为点，作图，当点，，三点共线时，即点的位置，线段取最小值，结合勾股定理求出的值，即可作答； （3）依题意，过A、B、P三点的圆中，的长为定长，结合三角形的外角性质，当圆相切时，弧的度数最大，即可作答． 【详解】解：①依题意，以点O为圆心、为半径作辅助圆，如图所示： ∵是⊙O的圆心角， ∴是圆周角， ∵ ∴； ②依题意，，， ∴点P在以为直径的圆上， 设圆心为点O，连接交圆上于一点，连接，，，如图所示： ∵是正方形， ∴ 则， 此时 则O、P、A三点共线时最小，即点与点重合， 即， 此时的最小值为； （2）①依题意，以点A为圆心，以为半径，点Q也在圆上，连接，，过点A作交于点H，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵为半径， ∴， 则， 当A、Q、C三点共线时，即点Q与点的位置重合， 此时， 故线段的最小值为； ②依题意，E点的轨迹以为直径的圆上，记其圆心为点，连接，，且交上于一点，即点，连接，，，如图： ∵D为上一动点，以为直径的交于E， ∴， ， ∵，，， ∴， 则， 那么， 当点C、F、E三点共线时，即取最小值，即点与点重合， 此时， ∴的最小值为； （3）过A、B、P三点的圆中，圆心为点M，的长为定长，连接，，记交圆M于点N， 当圆M与x轴相切时，这时为点，此时的度数最大，即，连接，，，如图所示， 则， ∴， 当点与点重合时，，此时的度数最大，即为的度数， 设点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 整理得， 解得（舍去），， 即点的坐标为， ∴当最大时，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外角性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形三边关系，外接圆的性质等，综合性强，难度较大，对学生作辅助线的能力是有较高的要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 12．如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）有．① 当取得最大值时，；②当取得最小值时，． 【分析】（1）利用锐角三角函数求出∠BAC，先判断出，再判断出，即可得出结论； （2）先求出∠PAC，进而得出∠PAB＝90°，再利用相似求出AP，即可得出结论； （3）先求出AP＝1是定值，判断出点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点在的延长线上时和当点在线段上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得； （3）有．由（1）知，， ， ， 是定值， 点是在以点为圆心，半径为的圆上， ①如图所示，当点在的延长线上时，取得最大值， ． ， ． 当取得最大值时，； ②如图所示，当点在线段上时，取得最小值， ， ， 当取得最小值时，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△APC∽△BPC是解本题的关键． 13．问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 14．【问题提出】 （1）如图①，在中，，，，以为直径作，点是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为___________； （2）如图②，是等边与的公共边，且，．点是等边内部一点，且满足，求线段的最小值； 【问题解决】 （3）如图③是某生态公园的部分示意图，正方形是一块绿地，经测量，．政府计划对该绿地及周边区域进行重新规划利用，在射线上取一点，沿，修两条小路，并在小路上取点，将段修建为供游客休息的走廊（走廊宽度忽略不计）．根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求供游客休息的走廊的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）；（3）的长度存在最小值，理由见解析 【分析】（1）先证明点在以为直径的上，得出连接交于点，此时最小，再利用勾股定理求得，然后利用线段差求得即可； （2）先证明点，，，四点共圆，从而可得作的外接圆，连接，，，交于点，交于点，此时线段最短，再证明是等边三角形，然后证明四边形是菱形，从而可得与互相垂直平分，平分，再利用正切求得，接着利用含有度角的直角三角形的性质求得，然后利用线段差求得即可； （3）先判定的长度存在最小值，再说明理由．先证明，再利用相似三角形的性质列出比例式，从而可得，再证明，利用相似三角形的性质可得，从而得出点在射线上运动时，点在以为直径的圆上运动，接着求得，再利用勾股定理求得，然后利用线段差求得，可得当点与点重合时，的值最小，由此得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， 如图，连接交于点，此时最小， ∵点是的中点， ∴， 在中，，，， ， ∴． ∴最小值为4； （2）， ． 点，，，四点共圆． 如图②，作的外接圆，连接，，，交于点，交于点，此时线段最短． ， ． ， 是等边三角形． 是等边三角形， ． 四边形是菱形． 与互相垂直平分，平分． ，． ． ． ， ． 线段的最小值为． （3）的长度存在最小值．理由如下： 四边形是正方形， ，． ， ． ． ． 如图③，连接，以为直径作． ，且， ． ． 点在射线上运动时，点在以为直径的圆上运动． 连接交于点． ， 在中，由勾股定理得 ． 当点与点重合时，的值最小． 的长度存在最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求出相关线段． 15．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想：，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作于点K，证明三角形是等边三角形，再证，在中，求出的长，最后求出； （2）连接，过点D作交延长线于点Q，连接，，先证，再证，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出； （3）先证明A，B，C，D四点共圆，再推导出点D在圆上，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，，证得，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到，则点N在圆上，运用瓜豆原理得到点K的运动轨迹，最后得到取最小值时， ． 【详解】（1）解：如图1，过点F作于点K， ∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D为中点，， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点D作交延长线于点Q，连接，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点F顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，     ∵，， ∴， ∴． ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点E是的中点， ∴，即， 在中，     ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，     ∵， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， 设， 则点D在以O为圆心的圆上，点O为等边的内心， 如图3，作，连接，， 则，，， ∴，，， ∴， ∴如图3，点D在以O为圆心，为半径的圆上， 如图4，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图5，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到， 即，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点N在以为圆心，为半径的圆上， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，． ∵点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至， ∴点K也在直线上运动， 如图6，设点E运动到中点处为，点E运动到B点处为，作出，的对应点，，连接，则点K在直线上运动， 设直线与延长线交于点S，作于点K，当，N，K三点共线，且点N位于之间时，取最小值． ∵，，， ∵为中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 过点K作于点P，设交于点L， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴如图7，在中， 作于点Z， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了等边及等腰三角形的性质与判定，相似三角形及全等三角形的性质与判定，隐圆，瓜豆线等动点问题，综合难度大． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $