专题08 几何最值问题之隐圆模型（几何模型讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题08 几何最值问题之隐圆模型 隐圆是几何最值核心模型，通过转化条件求解最值。隐圆模型针对线段最值，核心是利用圆的性质，将折线变为直线，依据圆的性质求解。解题关键是识别模型特征，精准转化条件。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型运用 5 6 几何最值问题中的隐圆模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。 （2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． （2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 （2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ． （2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． （1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 圆中旋转最值问题 条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点 （1）求CM最小值与最大值 （2）求线段AB扫过的面积 （3）求最大值与最小值 作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM1最小，CM3最大 ②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高 例1如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 例2矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 例4如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 1．如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______． 2．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值___________． 3．如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______． 4．如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为___________． 5．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 6．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是________． 7．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 8．如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 9．如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 10．已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 11．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 12．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 13．如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 14．如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 15．如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．    (1)如图1，，，平分，求的长度； (2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何最值问题之隐圆模型 隐圆是几何最值核心模型，通过转化条件求解最值。隐圆模型针对线段最值，核心是利用圆的性质，将折线变为直线，依据圆的性质求解。解题关键是识别模型特征，精准转化条件。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 11 模型运用 13 20 几何最值问题中的隐圆模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。 （2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． （2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． （2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示，    ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，    同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，    在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵，∴， ∴，中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 圆中旋转最值问题 条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点 （1）求CM最小值与最大值 （2）求线段AB扫过的面积 （3）求最大值与最小值 作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：①CM1最小，CM3最大 ②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高 例1如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 例2矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 例3如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 例4如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键． 1．如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：与是等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， 在以为直径的圆上， 的外心为，， ， 如图，当时，的值最小， ， ， ，， ． 则的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值___________． 【答案】 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 3．如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图， 取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为等腰梯形， ， ，，， ， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， 当三点共线时，有最小值， 面积的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键． 4．如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 6．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是________． 【答案】 【分析】过点D作，根据面积为9可取定长为6即可构造，从而得出，这样即确定了点D的轨迹圆心位置，再根据勾股定理求出长度，结合点D轨迹，在三点共线时有最大值即可求得答案． 【详解】解：如图，过点D作连接使得，取中点为点F，连接、，以点F为圆心，半径为3作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得， ， 即点D轨迹为以线段为直径的圆， ， 当且仅当点B、F、D三点共线时取等， 在中， ， 解得， ， ， 最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积公式，圆直径所对圆周角为，根据面积为定值得出乘积式为定值，再结合条件将乘积式转换比例式构造出相似，利用相似结论导角得出轨迹是解题的关键． 7．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点的运动轨迹是解题关键．在上方，以为边，构造与相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所构造相似三角形中的点A的对应点为定点，从而确定点P的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，在上方，以为边，构造． ∴，，． ∴，． ∴点在以为直径的上运动，点为中点． ∴． 连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置． ∴． ∴此时，即的最小值为3． 故答案为： 3． 8．如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 9．如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查“等腰三角形的性质”“三角形内心的定义”“定弦定角构造隐圆”，通过角度代换，发现点P的运动轨迹是圆是解题关键． 根据点P是的内心，即三条角平分线交点，通过角度计算可以推出的度数，利用等腰三角形的性质，得到的度数，即可通过定弦定角确定点P的运动轨迹，根据点圆最值的求解方法即可得到答案． 【详解】解：， ． ． 点P是的内心，即，分别平分和， ，． ． ，，， ≌． ． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ， 设所对的圆心角优角为，则， ． ， ． ， ． ∵四边形是正方形， ． 过点Q作，则， ． ∴是等腰直角三角形． ． ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 10．已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 【答案】 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键． 11．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， 作 ，交于点，以为直径画， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在以为直径的运动， ∵点从点运动到点， ∴连接，点运动的路径长为， ∵，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴的弧长为． ∴点的运动路径总长为：． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据勾股定理求出，由旋转可得，，，证明得到，求出，，可得点坐标，证明得到，求出，，可得点的坐标； （2）由旋转可得，，，证明得到，求出，即可求解； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点， 点，点，四边形是矩形， ，，， ， 由旋转可得，，， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：，； （2）由旋转可得，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动， ，， ， ，， ． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质． 13．如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②的最小值为． 【分析】（1）根据垂径定理可得，进一步可得答案. （2）①证明，设的半径为，由勾股定理可得，求解，可得，再进一步求解即可； ②如图，由，取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，连接，当三点共线时，最小，连接，，设交于点，证明，得出,，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴. （2）解：①∵是的直径，弦，， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ②如图，∵， ∴， 取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，最小， 连接，，设交于点， ∵分别为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴, 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，点与圆上各点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，作出合适的辅助线是解本题的关键. 14．如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据垂直的定义得到，则，通过证明，得到，再利用比例的性质即可证明； （2）先证明，得到，结合（1）中的结论得到，再证明，得到，结合垂直的定义得到，则有，即可得出结论； （3）根据题意可知点在以为圆心，半径为1的圆上运动，作交延长线于点，与交于点，连接，先证明，得到，再证明，得到，得出，则点在过点且与垂直的直线上运动，当时，线段取最小值，此时四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点F为上一点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 作交延长线于点，与交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是定点， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，线段取最小值， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、圆周角定理、勾股定理、动点轨迹问题，添加适当的辅助线构造相似三角形，探究出点的运动轨迹是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 15．如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．    (1)如图1，，，平分，求的长度； (2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】本题考查“全等三角形的性质与判定”“相似三角形的性质与判定”“勾股定理”，灵活运用“瓜豆原理”，进行手拉手全等、相似三角形的构造，找到从动点的运动轨迹是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，可知，过点E作的垂线，通过勾股定理列方程即可解出的长度． （2）已知，因此求证等价于求证，以为边向上作等边三角形，利用全等三角形的判定与性质，确定点G的运动轨迹，进而确定点Q的运动轨迹，通过中位线的性质和全等三角形的性质，得到和之间的关系，再借助，即可得到与的关系，从而得证． （3）同（2）中构造方式，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，从而得到点M的运动轨迹，进而确定取得最小值时的位置及最小值，再根据翻折的性质，得到，从而确定点N的运动轨迹是圆，进而确定进而确定取得最小值时的位置及最小值，最后通过作垂线，利用相似三角形的性质与判定和勾股定理求的高，即可求出面积． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点F．    ∵，， 又， ∴，，． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 解得． （2）证明：如图，分别以，为边，向上作等边三角形，得到，，连接，，，延长交于点H．    由作法可得，，，，， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴． 同理，． ∴，． ∴． ∴点，，三点共线，即点在线段上． ∵，， ∴． ∴点，，三点共线． 又， ∴点A为的中点． 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∴． 又是等边三角形， ∴，． ∴，． ∴点在线段上． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如图，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，得到，，作直线交于点H．    同（2）理，可得，， ∴点M在直线上． ∴当时，取最小值． 由旋转的性质，可知，，知，， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∴． 由翻折的性质，可知， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 如图，当点N在上时，取得最小值，连接，过点作于点．    此时． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∵，， ∴． ∴，即． 解得． ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $