专题06 几何最值问题之将军饮马模型（几何模型讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题06 几何最值问题之将军饮马模型 将军饮马是几何最值核心模型，通过转化条件求解最值。将军饮马模型针对线段和差最值，核心是利用轴对称转化线段，将折线变为直线，依据 “两点之间线段最短” 求解。解题关键是识别模型特征，精准转化条件。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 9 模型运用 12 19 几何最值问题中的将军饮马模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。将军饮马模型的来源可追溯至古代经典应用题，古人求解 “军营到河岸饮马再到营地” 的最短路径问题时，依托 “两点之间线段最短” 的基本公理与轴对称性质，通过作对称点将折线距离转化为直线距离，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。瓜豆原理模型则是以 “化繁为简” 为核心，通过转化思想将抽象最值问题转化为直观线段关系，是初中几何最值问题的核心解题手段。 （2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． （2024·四川攀枝花·中考真题）如图，在菱形中，，，点E为的中点，在对角线上有一动点P，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，连接，由菱形的性质可得，垂直平分，则可证明是等边三角形，，求出的长，根据，可得当C、P、E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，垂直平分， ∴是等边三角形，， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为， 故选：C． （2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1)；(2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入，得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式，解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)见详解(2) 【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明； （2） 过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：过点N作于点F，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：      即， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键 几何最值问题之将军饮马模型 核心结论：将军饮马模型的核心是 “利用轴对称转化线段”，将折线距离转化为直线距离（两点之间线段最短），解决 “直线上找一点，使该点到两定点的距离和 / 差最小” 的问题，核心逻辑是 “对称转化 + 线段最短”。 一、模型核心定义 核心场景：平面内有直线 l（如河流），定点 A、B（如将军营地、目的地），在 l 上找一点 P（饮马点），使 PA+PB 最小（或 | PA-PB | 最大）。 转化逻辑：通过作其中一个定点关于直线 l 的对称点（如 A 的对称点 A'），将 PA 转化为 PA'（轴对称性质：PA=PA'），则 PA+PB=PA'+PB，最小值为 A'B 的长度（两点之间线段最短）。 二、模型核心三要素 定直线 l：“河流”，是找点 P 的载体（P 在 l 上）。 两定点 A、B：直线 l 同侧或异侧的固定点（决定对称点的作发）。 对称点：作一个定点关于 l 的对称点，是转化线段的关键。 三、解题通用步骤 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 例2如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 例3如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为， 当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点， ∴， 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，， ∴ ∴周长最小为 故答案为：． 例4已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，根据二次函数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 此时直线为，符合不与对称轴重合， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 1．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长至G，使，则G点与A点关于直线对称， 连接交于，连接， 则， 此时，的值最小，最小值为的长， ∵,， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 3．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质（最短路径问题，“将军饮马”模型）、三角形内角和定理、外角性质，解题的关键在于最短路径的转化；利用轴对称将的周长最小问题转化为“两点之间线段最短”， 利用轴对称性质得，，再通过三角形内角和或外角性质，推导与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 4．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，作点关于的对称点，连接，，则，，推出的值最小为的值，且，再求出的长，结合直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ， 则，， ∴， ∴的值最小为的值，且， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，角平分线的定义，作于T，在上截取，连接．证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，则．从而可得当B、M、F三点共线且（即F与T重合）时为最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：作于T，在上截取，连接． ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴当B、M、F三点共线且（即F与T重合）时为最小值， 故答案为：． 6．已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是______．    【答案】/ 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称性质是关键．作点D关于的对称点，连接，，，，利用轴对称性质得到，则的周长，当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形得到，，利用三角形的外角性质推导出，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，    ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， ∴的周长， 当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 7．如图，在等腰中，，，将沿直线平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接、，在平移过程中，的最大值为__________． 【答案】 【分析】作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、，利用三线合一性质和勾股定理求出，通过证明得到，利用矩形的判定推出四边形是矩形，得到，再利用平移的性质得到，，进而求出的长，利用垂直平分线的性质得出，最后利用线段的性质即可求解． 【详解】解：如图，作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、， ，， ，， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由平移的性质可得，， 又、分别为、对应边的高， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题属于将军饮马最值问题，主要考查了平移的性质、旋转的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，添加辅助线利用图形的性质转化线段是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 8．如图，点、分别是轴、轴正半轴上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转至，若、，连接，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】由旋转的性质，连接线段，通过判定，得到是的平分线，即点在的平分线上运动，然后作定点关于射线的对称点，化折为直，则线段的长度为所求线段和的最小值，最后通过勾股定理计算得出答案． 【详解】解：连接， 由旋转性质得：， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 即为的平分线， 由此可得，点在的平分线上运动， 作点关于的平分线射线的对称点，连接， ， ， 由对称性知， ， 当三点共线时，最小，即线段的长度， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何最值问题中的线段和最值问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段和最值问题的核心是作定点关于动点所在直线的对称点，化同为异，化折为直，找到动点的运动轨迹是这道题的关键所在． 9．如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作，使得，连接，从而可证，从而可得，，当三点共线时，取得最小值即线段的长，通过勾股定理求出线段的长即可； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，熟练掌握辅助线的作法，将两条线段转化为同一个三角形中的两条边是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 10．已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长至，使,则可得点和B点关于对称．过点作交于E点，交于F点，连接．由“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长．根据面积法求出的长，即可得的最小值． 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小．熟练掌握以上知识，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 11．如图，在边长为2的正方形中，P、Q分别为边，上的点，M，N在正方形内部，且，则的最小值为______．    【答案】/ 【分析】本题考查了将军饮马，一箭穿心等最值模型，动点轨迹等知识点， 先根据定角定弦是个圆确定点点M，N在以为直径的，点N在以为直径的，根据将军饮马模型构造对称图形，由一箭穿心（点到圆上最小距离）模型得出当点，点和点关于的对称点在上时，最小，由勾股定理求出，即可得最小值为． 【详解】解：如图，    ∵， ∴点M，N在以为直径的，点N在以为直径的， ∴， 如图：作，正方形，点关于的对称图形， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴点和点关于的对称点在上时，最小，最小值为， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】根据直径所对圆周角等于角可知，点、在圆上，再根据将军饮马，一箭穿心等最值模型，确定最值点的位置求解是解题关键． 12．如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形性质、全等三角形判定与性质、最短路径（将军饮马）问题，涉及知识点：菱形的边与面积性质、全等三角形、垂线段最短．解题方法是通过全等转化线段，将“”转化为“三角形的三边关系”；解题关键是构造全等三角形实现线段转化，易错点是无法找到线段转化的全等条件．先证得，将转化为，再利用菱形面积求的最小值，进而得的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，作点关于的对称点，连接交于点，连接， 在菱形中，，（菱形对角相等）． ∵， ∴， ∴， 得， ∴． ， ， ． 在中， 当三点共线时有最小值，即取得最小值， 在中，， ． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】过点B作轴于点H，先证，设点C坐标为，得到，，得到点B坐标为，则点B始终在直线上，过直线作点O的对称点，连接，根据三角形三边关系可知，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点H， 由旋转可知，， ， 又， ， 又， ， ， 设点C坐标为， ，， 则点B坐标为， 故点B始终在直线上， 根据图象，可知， ， 如图，过直线作点O的对称点，连接， 根据图象，可知点坐标为， 由对称可知， ， ， ， 则的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握一线三等角和将军饮马的数学模型是解题的关键． 14．已知一次函数的图象与反比例函数交于点和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查反比例函数待定系数法，一次函数的图像与性质，轴对称的最短路径问题等，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当三点共线时，的周长最小，先求出点的对称点，求出直线的解析式，再求解点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ， ∴； 将和代入得： ， 解得：， ∴； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴ ∴． 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，当时，， ∴． 15．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，最小值为4 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）在上取，连接，．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案． 本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ （2）证明：如图，在上取，连接，． ∵在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴为中点，即， ∴， ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．连接，交于点，于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 16．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； (3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，． 【分析】（1）用待定系数法解题； （2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可； （3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 把点，，代入抛物线中得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图中，连接，， ∵，，， ， ∴， ∴直线的解析式为，设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 把点的坐标代入， 得到，，解得或， ∴或． （3）如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接， 设，则， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线是对称点，连接交直线于， 连接，此时的值最小， 最小值． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 几何最值问题之将军饮马模型 将军饮马是几何最值核心模型，通过转化条件求解最值。将军饮马模型针对线段和差最值，核心是利用轴对称转化线段，将折线变为直线，依据 “两点之间线段最短” 求解。解题关键是识别模型特征，精准转化条件。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 9 模型运用 12 19 几何最值问题中的将军饮马模型，是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。将军饮马模型的来源可追溯至古代经典应用题，古人求解 “军营到河岸饮马再到营地” 的最短路径问题时，依托 “两点之间线段最短” 的基本公理与轴对称性质，通过作对称点将折线距离转化为直线距离，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。瓜豆原理模型则是以 “化繁为简” 为核心，通过转化思想将抽象最值问题转化为直观线段关系，是初中几何最值问题的核心解题手段。 （2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． （2024·四川攀枝花·中考真题）如图，在菱形中，，，点E为的中点，在对角线上有一动点P，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． （2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． （2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：； (2)求的最小值． 几何最值问题之将军饮马模型 核心结论：将军饮马模型的核心是 “利用轴对称转化线段”，将折线距离转化为直线距离（两点之间线段最短），解决 “直线上找一点，使该点到两定点的距离和 / 差最小” 的问题，核心逻辑是 “对称转化 + 线段最短”。 一、模型核心定义 核心场景：平面内有直线 l（如河流），定点 A、B（如将军营地、目的地），在 l 上找一点 P（饮马点），使 PA+PB 最小（或 | PA-PB | 最大）。 转化逻辑：通过作其中一个定点关于直线 l 的对称点（如 A 的对称点 A'），将 PA 转化为 PA'（轴对称性质：PA=PA'），则 PA+PB=PA'+PB，最小值为 A'B 的长度（两点之间线段最短）。 二、模型核心三要素 定直线 l：“河流”，是找点 P 的载体（P 在 l 上）。 两定点 A、B：直线 l 同侧或异侧的固定点（决定对称点的作发）。 对称点：作一个定点关于 l 的对称点，是转化线段的关键。 三、解题通用步骤 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 例2如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______． 例3如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______． 例4已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 1．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________． 5．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是______． 6．已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是______．    7．如图，在等腰中，，，将沿直线平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接、，在平移过程中，的最大值为__________． 8．如图，点、分别是轴、轴正半轴上的动点，且，将线段绕点逆时针旋转至，若、，连接，则的最小值是__________． 9．如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为_____． 10．已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 11．如图，在边长为2的正方形中，P、Q分别为边，上的点，M，N在正方形内部，且，则的最小值为______．    12．如图，在菱形中，，点E为射线上的动点，点F为射线DC上的动点，且，连接、，若菱形的面积为，则的最小值为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______． 14．已知一次函数的图象与反比例函数交于点和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 15．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 16．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； (3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $