5.尺规作图、定义、命题、定理-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

又.·∠BAE=∠EFC ∠OEF=∠OAF,∴.∠BAE+ ∠OAF=90°，即∠OAB= 90°，即∠BAD+∠OAD=90° CD是⊙0的直径，· ∠CAD=90°=∠CAO+∠OAD. .∠BAD=∠CAO. 图2 .0A=OC,.∠CA0= 第20题答图 ∠C,∴.∠BAD=∠C ∠B=∠B,△BAD△BCA,BD=AB ,即AB2= AB BC BD·BC 设BD=a,则AB=2a,.4a=aBC,BC=4a,∴.CD=4a- a=3a,.半径0A=3 2 3a 在Rt△OAB中，tanB=OA=2=3 AB 2a4' 5.尺规作图、定义、命题、定理 腿考点精梳 考点一尺规作图 例1D【解析】由作图可知DE垂直平分线段AB, .∴AE=EB=6,∴.∠A=∠EBA=30°..'∠C=90°，∴.∠ABC=60°， LEBC=LABC-LEBA=30°，EC=号EB=3,BC= VBE2-CE=V6-32=3V3,∴.△BCE的周长=3+6+3V3= 9+3V3.故选D. 例2B【解析】由作 图可知，CE上BD,如图， 设CE,BD交于点O,则 P ∠BOC=∠BOE=90°..BP平 分LABC,.∠AB0=LCBO. 在△BOC和△BOE中， {∠BOC=∠BOE. OB=OB, ·.△BOC≌ 例2答图 C∠CBO=∠EBO, △BOE(ASA),∴.OC=OE,BC=BE=12,∴.BD垂直平分CE, AE=AB-BE=4,..DE=CD,.△ADE的周长为AE+DE+AD= AE+AD+CD=AE+AC=14.故选B. 例3解：(1)如图1，四边形ABCD.点E即为所求 M 图1 图2 例3答图 参考答案 (2)如图2，点M,N即为所求 考点二命题与证明 例1C【解析】若a=-1,b=-2,则a>b3,但a2<b2, 故①错误；y=x2-2x-1=(x-1)2-2的对称轴为x=1,最小值 为-2，当x1<2<1时，y>y>2,②正确；易知③错误； 周长相等的所有等腰直角三角形的对应边相等、对应角相 等，.周长相等的所有等腰直角三角形全等，④正确.故选C 例2四条边都相等的四边形为正方形假【解析】 命题“正方形的四条边都相等”的逆命题是“四条边都相 等的四边形为正方形”，此逆命题为假命题」 例3解：(1)当m=1,n=2,k=3时，此时矩形B 的周长为18，面积为6. 设矩形B的长为x,则宽为9-x,根据题意列方程，得 (9-x)x=6,2-9x+60,解得=9-y5,=9+y57, 2 此时命题成立. (2)若矩形A两边长分别为m,n,此时矩形B的周 长为2k(m+n),面积为kmn.设矩形B的长为x,则宽为 k(m+n)-x.根据题意列方程，得x[k(m+n)-x]=kmn, 即x2-k(m+n)x+kmn=0,根据求根公式，得b2-4ac= k2(m+n)2-4kmn=k[k(m+n)2-4mn]..k>1,∴.[k(m+n)2- 4mn]>(m+n)2-4mn. 又.∵(m+n)2-4mn=(m-n)2≥0，.∴.[k(m+n)2-4mn]>0, ∴.方程x2-k(m+n)x+kmn=0有两个不相等的实数根， 即存在矩形B,.此命题成立. ■优题精练 1.A2.D3.B4.D5.B6.A7.A8.B9.D 10.C 11.12-112.213.②14.①③④→②（答案 不唯一）15.0E 16.解：如图，作∠MON M 的平分线，再过点Q作OW的 垂线，两线相交于点P,则点 P即为所求 17.(1)证明：∠1=02 ∠2，∠BFD=∠1，.∠2= 第16题答图 ∠BFD,·.BC∥DE. (2)解：命题“已知∠CDE=140°，则∠B=40°”是真 命题.理由： 由(1)知BC∥DE,.∴.∠C+∠CDE=180° .∠CDE=140°，∴.∠C=40° AB∥CD,.∴.∠B=∠C=40°. 18.(1)证明：.∠B+∠1=180°，AB∥CD. .∠2=∠3，CD∥EF,AB∥EF, ..∠B+∠F=180°. (2)解：在(1)的证明过程中应用的两个互逆的真命 题为：同旁内角互补，两直线平行：两直线平行，同旁内 角互补. 中考总复习·数学 19.解：(1)由勾股定理，得AB=V52+2=V29 (2)如图. H 第19题答图 AC与过点B的格线的交点记作G,AB的中点记作F ①作射线GF,交过点A的格线于点H,作射线HB: ②连接CF,BE,交于点O,作射线AO,交BC于点W; ③作射线EW,交射线HB于点Q. 点Q就是所求作的点. 20.(1)证明：.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC, ..设AB=2x,BC=x,则AC=V5x, ,AD=AE=(V5-1)x,4E=V5-Ix=V5-1 AB 2x (2)解：如图 第20题答图 图形的性质强化训练 1.A2.D3.C4.C5.B6.C7.C8.C9.B 10.B 11.112.DB=EC(答案不唯一)13.2或3或4或 5或614.4红-2V315.①②③ 3 16.解：.AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4，∴.∠2=∠3，∴ ∠1=∠2=∠3=∠4 FM LMN,∴∠FMW=90°，∴.∠3=∠4=45°，∴∠1=45. 17.(1)证明：.∠ADE=∠ABC,DE∥BC,·∠AED ∠C. 又.∠EDF=∠C,.∠AED=∠EDF,.DF∥AC (2)解：点F是BE的中点，∴SAg=SABK,S△=Sar .S四边形C=9,∴S四边形BED18. D,E分别是AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线， San=写5题=6，Sa做=l8+6=24. 18.(1)证明：.CF⊥AB,.∠CGD=90° ∠CDB=45°，∠DCF=45°，∠BFC=∠CDB=45°，· ∠DCF=∠BFC,.CD∥BF (2)解：如图， 连接BE,DE. .·∠ACB=90°， E BE是⊙0的直径， A 则BE=4x2=8,DE⊥ AB .:∠CDB=45°， ∠CDE=45°，.∠CBE= 第18题答图 ∠CDE=45°，·.BC=CE. 设BC=CE=x,在Rt△BCE中利用勾股定理，得BC2+ CE=BE,即2x2=82,解得x=4V2,x2=4V2(舍去)， ∴BC=CE=4V2,.∴AC=AE+CE=4V2+4V2=8V2, 4-光号寸.=64-0服 .'.tanA=BC=4V2=1 在Rt△ADE中利用勾股定理，得DE2+AD=AE2,即 DE+(2DE)2=(4V2)2, 解得DE=4V10或DE=-4Y10(舍去)，AD=2DE= 5 5 2x4V10=8V10 5 5 19.解：(1)DE+CD=AE,理由：.CD⊥BD,AE⊥ BD,AB⊥BC, .∠ABC=∠D=∠AEB=90°，.∠ABE+∠CBD=∠C+ ∠CBD=90°，.∠ABE=∠C. 又.AB=BC,.△ABE≌△BCD(AAS),.BE=CD, AE=BD,..DE=BD-BE=AE-CD,..DE+CD=AE. (2)AD=V2BE+DF理由： 如图1，过点E作EM⊥AD于点M, 过点E作EN⊥CD于点N, 四边形ABCD是正方形，BD 是正方形的对角线， ·.∠ADC=90°，且BD平分 ∠ADC, 图1 '.∠ADB=∠CDB=45°，V2AD=V2CD=BD, ..DE=BD-BE=V 2 AD-BE. EN⊥CD,EM⊥AD,∴.EM=EN.AE=EF, ..Rt△AEM≌Rt△FEN(HL),.AM=NF .EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°， .·.四边形EMDN是正方形，.ED是正方形EMDN的对 角线，MD=ND :MD-DN-Y2-DE,NF-ND-DF-MD-DF, NF-AM=AD-MD=AD-V2-DE.NF-Y2-DE-DF. 2 2 AD-V2 DE-V2-DE-DF.AD-V2 DE-DE中考总复习·数学 5.尺规作图、定义、命题、定理 知识梳理 知识点一尺规作图■ 1.只用没有刻度的直尺和圆规的作图叫作尺规作图. 2.用尺规完成的基本作图 (1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线； (4)作一条线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线. 【知识点三命题与证明 1.(1)对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给它们的定义. (2)判断一件事情的句子叫作命题.每个命题都由条件和结论两部分组成.命题通常写 成“如果…，那么…”的形式.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题 (3)要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件而不具有 命题的结论，这种例子称为反例， (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.， 2.一部分数学名词和一部分公认的证明题作为证实其他命题的起始依据，这样的真命题 称为公理 3.(1)演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理， (2)由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论.推论可 以当作定理使用. (3)一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明 是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理 腿 考点精梳 考点尺规作图口 例1(2025天府新区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点A,B为圆心，大 于1AB的长为半径作弧，两弧交于点M,N;作直线MN,分别交AB与AC于点D,E,连 160 第二部分图形与几何 接BE.若∠BAC=30°，AE=6,则△BCE的周长为() A.9 B.14 C.6+3V3 D.9+3V3 D 例2(2025辽宁)如图，在△ABC中，AB=16,BC=12,CA= W米 10,∠ABC的平分线BP与AC相交于点D.在线段AD上取一点K, 以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N, 例1题图 再分别以点M和点N为圆心，大于N的长为半径作弧，两弧相 交于点Q,作射线CQ,与AB相交于点E,连接DE,则△DAE的周 长为() A.12 B.14 例2题图 C.16 D.18 例3(2025新洲区模拟)如图是由小正方形组成的6x6网格，每个小正方形的顶点叫作 格点，A,C是格点，B是网格线上一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问 题，每问的画线不得超过四条 (1)在图1中，先画出平行四边形ABCD,再画出AD的中点E. (2)在图2中，先在BC上画点M,使tan∠MAC=号，再在AC上画点N,使得BN+MN 最小 B B C 图1 图2 例3题图 考点二命题与证明 例1(2024顺义区期末)已知下列命题：①若a>b,则>2；②若点A(1,y)和点 B(2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上，且满足x1<x2<1,则y>y2>-2;③在同一平面内， a,b,c是直线，且a∥b,b⊥c,则a∥c;④周长相等的所有等腰直角三角形全等.其中真 命题的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 161 中考总复习·数学 例2(2025廉江市期末)“正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成 该逆命题是 (填“真”或“假”)命题 例3(2025鼓楼区二模)命题：已知矩形A两边长分别为m,n,存在一个矩形B,它 的周长与面积都是矩形A的k倍(k为大于1的正整数)· (1)当m=1,=2,k=3时，命题是否成立？若成立，求出矩形B的两边长；若不成立， 请说明理由 (2)判断命题的真假，并说明理由. 易错点精析 易错点一混淆定义与命题 例下列语句中不是命题的是() A.两点之间线段最短 B.连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 C.三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 D.三人行则必有我师焉 【错解】D 【错点分析】注意定义与命题的区分，作出判断的是命题，对名称或术语作出描述的是 定义，选项B显然是定义 【正解】B 【易错点二对命题概念理解不清 例下列句子中是命题的有 (填序号) ①直角三角形中的两个锐角互余.②正数都小于0.③如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2 互补.④太阳不是行星.⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角. 162 第二部分图形与几何 【错解】①②③ 【错点分析】判断是否为命题，要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是 必须对某件事情作出肯定或否定的判断.注意错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断 是否为命题..①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了 否定回答；⑤不是陈述语句；⑥只是描述了一个作图的过程，并未作出判断，不是命题， 【正解】①②③④ 【易错点三因思维定式出错 例如图，有公路（同侧、2异侧的两个城镇A，B.电信部门 要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B 的距离必须相等，到两条公路，2的距离也必须相等，发射塔C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C的位置（保留作图痕迹，不要求写出画法）· 例题图 【错解】根据题意知道，点C应满足两个条件：一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，∴，点C应是它 们的交点.如图，先作两条公路夹角的平分线OD,再作线段AB的 0 垂直平分线G,则射线OD与直线FG的交点，就是所求的位置. 【错点分析】错解忽视了作两条公路另一个夹角的平分线OE, C2 则漏掉了射线OE与直线G的交点. G 【正解】如图所示，射线OD,OE与直线FG的交点C1,C2就是 E 例题答图 所求的位置. 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(★)下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（) B D 2.(★)下列选项中，可以用来说明命题ladl=a是假命题的反例是() A.a=2 B.a=4 C.a=0 D.a=-6 163 中考总复习·数学 3.(★)下列命题中，真命题的个数是() ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直；③±4是64的立方根；④带根号的数都是无理数；⑤实数和数轴上的点一一对应. A.0 B.1 C.2 D.3 4.(★)下列命题中，假命题是() A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5.(★)下列命题的逆命题成立的是() A.邻补角互补 B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C.全等三角形的对应角相等 D.矩形的对角线相等 6.(★)阅读下列作图步骤：①在OA和OB边上分别截取OC,OD, 使0C=0D:②分别以点C和点D为圆心，以大于CD的长为半径作弧， 04 两弧在∠AOB内交于点P;③作射线OP,连接CP,DP.根据以上作图， D 一定可以推得的结论是( 第6题图 A.∠1=∠2且CP=DP B.∠1=∠3且CP=DP C.∠1=∠2且OD=DP D.∠2=∠3且OD=DP 7.(★)如图，在边长为2的菱形ABCD中，分别以点A,B 为圆心，以大于}AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N, M米 作直线MN,交AD于点E,连接CE.若∠B=135°，则CE的长为 () 第7题图 A.V6 B.V6-1 C.V/2+1 D.2V2 8.（★)如图，已知△ABC中，AB=3,AC=7,BC=5,在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一 个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画() 第8题图 A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 9.（★)如图，直线，2，表示三条相互交叉的公路，现要建 一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地 址有() 第9题图 164 第二部分图形与几何 A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 10.(★)用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC,则∠B<90”时，应先假设() A.∠B>90° B.∠B≤90° C.∠B≥909 D.∠B≠90° 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.(★)用一组a,b,c的值说明命题“若a<b,则ac<bc”是错误的，这组值可以是 a= ，b= -,C= 12.(★)如图，在口ABCD中，AB=3,BC=5,以点B为圆 D 心，以任意长为半径作弧，分别交BA,BC于点P,Q,再分别 以P,Q为圆心，以大于1PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC 第12题图 内交于点M,连接BM并延长交AD于点E,则DE的长为 13.(★)有下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角 相等；④两直线平行，同位角相等.其中是假命题的有 (填序号)· 14.(★)如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC; ②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个 D 论断作为结论，写出一个正确的命题： .(用序号⑧8⑧→⑧的形式第14题图 写出) 15.（★)如图，在△ABC中，AB=BC,△ABC的角平分线AD, BE交于点O,则以点O为圆心，以 为半径，可作△ABC的 D 内切圆 第15题图 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(10分★）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：∠MON,点Q在射线ON上. 求作：点P到∠MOW两边的距离相等，且PQ⊥ON于点Q. -A 第16题图 165 中考总复习·数学 17.(10分★)如图，已知AB∥CD,射线AH交BC于点F,交CD于点D,从点D引 一条射线DE,且∠1=∠2. (1)求证：BC∥DE. (2)若命题“已知∠CDE= 则∠B=40°”是真命题，请填空，并说明理由. 第17题图 18.(10分★)(1)如图，直线AB,CD,EF被直线BF所截，∠B+∠1=180°，∠2= ∠3.求证：∠B+∠F=180°. (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ B 入D 人3 第18题图 166 第二部分图形与几何 19.(12分★★)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形ABC为等边三角 形，且顶点A,B均在格点上. (1)线段AB的长为 (2)若线段AB,AC上分别存在点D,E,且AD=AE.请用无刻度的直尺，在如图所示 的网格中画出点Q,使得△CDQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不 要求证明)· A 第19题图 20.(13分★★)(1)如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC,现以点C为圆心、 CB长为半径画弧交边AC于点D,再以点A为圆心、AD为半径画弧交边AB于点E.求证： AE=V5-L.(比值V5-1叫作AE与AB的黄金比) AB 2 2 (2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫作黄金三 角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规作一个黄金三角形ABC. (注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及的点 用字母进行标注) 图1 图2 第20题图 167