4.圆-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

中考总复习·数学 4.圆 知识梳理 知识点一 圆的有关性质 1.确定圆的两个条件：(1)圆心；(2)半径. 2.圆是封闭曲线，而不是圆面 3.圆的对称性 (1)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有旋转不变性.圆的对称轴是任意一条 过圆心的直线；圆的对称中心为圆心 (2)等对等定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 (3)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等， 4.选学内容 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧， (2)推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 5.(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. (2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 (3)推论2：直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆内接四边形的对角互补， 知识点三三角形的内心和外心☐ 1.不在同一条直线上的三点确定一个圆. 2.过三角形三个顶点的圆是三角形的外接圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点，称 为三角形的外心，其性质是到三角形三个顶点的距离相等 3.和三角形三边都相切的圆是三角形的内切圆，圆心是三角形三条角平分线的交点，称 为三角形的内心，其性质是到三角形三边的距离相等， 4.顶点都在同一圆上的正多边形叫作圆内接正多边形.这个圆叫作该正多边形的外接圆. 知识点三与圆有送的位置关系 1.点和圆的位置关系 如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系 150 第二部分图形与几何 (1)d>r曰点在圆处；(2)d=r台点在圆上；(3)dkr台点在圆内； 2.直线和圆有三种位置关系：如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么 可用数量关系表示位置关系 (1)直线1和⊙0相交→d<; (2)直线1和⊙0相切台d=I; (3)直线1和⊙0相离台>r. 知识点四圆的切线 1.(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)圆的切线的判定定理：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.选学内容 切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等 知识点五圆的有关计算 1.弧长公式：= 180 2扇形而积公式：5=宽=当， (其中n为圆心角的度数，r为半径) 腿 考点精梳 考点一圆的有关概念与性质 例1(2025潮阳区三模)如图，OA,OB,OC均为⊙0的半径，连接AB,BC,若AB= BC,∠BOC=36°，则∠AOC的度数为() A.36° B.72 C.54° D.68 例1题图 例2题图 例2(2025湖里区模拟)如图，已知过⊙0外一点A向⊙0作两条割线分别交⊙0于点 D,B和点E,C,其中AB>AD,AC>AE,经测量得知∠A=30°30'3”，则弧BC的度数不可能 151 中考总复习·数学 是() A.61° B.62 C.63° D.64° 例3(2025鞍山二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙O 的直径，AD=CD,连接OD,与对角线AC交于点M,若⊙O的半径是6， CB=4,则AD的长是 例3题图 【考点三与圆有送的位置关系 例1(2025兴化市期末)已知⊙0的面积为25π，点P与⊙0在同一平面内，若P0= 2V6,则点P在⊙0 (填“内”“上”或“外”) 例2如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,以C为圆心，以r 为半径作圆.若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 例2题图 考点三切线的性质与判庭 例1(2025凉州区一模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，P是 BC延长线上一点，连接OA,OC,PA,且∠PCA=∠PAB,点D是 AC的中点，OD的延长线交AP于点Q,则下列结论：①∠B= ∠AOD;②OQ垂直平分AC;③直线PA和CQ都是⊙O的切线： 例1题图 ④CQ∥AO.其中正确的结论是（) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④ 例2(2025宿城区二模)如图，AB是⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，点C是⊙O 上一点，连接CD交AB于点E,点P是BA延长线上一点，且PC=PE. (1)求证：PC是⊙O的切线. (2)连接AD,AC,BC,若an=分，心=8，求⊙0的半径 D 例2题图 152 第二部分图形与几何 【考点四弧长、扇形面积的计算 例1(2024江山市期末)如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE,若 点B的对应点D恰为BC边的中点，AB=1,则CE的长为() A B.T C.V3π D.V3π 6 3 6 D 例1题图 例2题图 例2(2025大庆模拟)如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形 OBCD与AB交于点E,EF⊥OB于点F,若OD=OF=1,则图中阴影部分的面积是 例3(2025辽宁)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙0，与AC相交于点 D.连接OC,与⊙O相交于点E. (1)如图1，连接DE,求∠ADE的度数. (2)如图2，若点D为AC的中点，且AC=6,求DE的长. 图1 图2 例3题图 153 中考总复习·数学 易错点精析 【易错点一对点与圆的位置未分类思考 例若一个点到圆上的点的最小距离为4cm,最大距离为10cm,则该圆的半径是 cm 【错解】7 【错点分析】本题容易漏解.有两种情况：(1)当此点在圆 内时，如图1所示，半径OB=(PA+PB):2=7;(2)当此点在圆 外时，如图2所示，半径OB=(PB-PA)÷2=3.故该圆的半径为 3cm或7cm.在求解点与圆的位置关系时，要注意分类讨论思 想的运用. 图1 图2 【正解】3或7 例题答图 【易错点二未考虑弦之间的位置 例已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AB=2,AC=V2,弦AD=1,求∠CAD的度数. 【错解】如图1所示，连接BD,BC.AB是⊙O的直 径，.∠ADB=∠ACB=90°.AC=V2,AD=1,AB=2,∴ ∠DAB=60°，∠CAB=45°，∴.∠CAD=60°-45°=15° 0 【错点分析】题中没有指出弦AC与AD之间的位置关 系，它们可能位于直径AB的同侧，如图1所示，也有可 图1 图2 能位于直径AB的两侧，如图2所示，显然错解漏掉了一种情况. 例题答图 【正解】①当AC与AD位于直径AB的同侧时，如图1所示，∠CAD=15°. ②当AC与AD位于直径AB的两侧时，如图2所示，可得∠DAB=60°，∠CAB=45°， ∴.∠CAD=60°+45°=105°.综上所述，∠CAD为15°或105°. 【易错点三混淆公共点与圆的关系 例已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4, BC=3,以点C为圆心，r为半径画⊙C,与边AB只 有一个公共点，求r的取值范围. 【错解】如图1，过点C作CD⊥AB于点D, ,AC=4,BC=3,∠ACB=90°，.AB=5.当直线与圆 图1 图2 例题答图 154 第二部分图形与几何 相切时，d=r,圆与斜边AB只有一个公共点，∴.CD·AB=ACBC,∴.CD=r=2.4,故r的取值范 围为r=2.4. 【错点分析】题千中给出的条件是⊙C与边AB只有一个公共点，而不是⊙C与直线AB 只有一个公共，点，因此不能判断⊙C与边AB是相切的位置关系，还有可能出现如图2的情 况，因此产生了漏解 【正解】①当直线与圆相切时，即d=r=2.4,圆与斜边AB只有一个公共点；②当边AB 与⊙C的位置如图2所示时也可以有一个交点，.3<r≤4.故r的取值范围为3<r≤4或r=2.4 易错点四错用判定定理 例如图，以等腰三角形ABC的底边BC的中点O为圆心，作一圆与腰AB相切于点 D,求证：此圆与另一腰AC也相切. 【错解】如图，设⊙0与AC交于点E,连接OD, OE.,AB=AC,∴.∠B=∠C.又OB=OC,OD=OE,∴.△OBD≌ △OCE,.∠ODB=∠OEC..AB是⊙O的切线，故∠ODB= 90°，.∠OEC=90°，∴.⊙0与另一腰AC也相切. 例题图 例题答图 【错点分析】这种证法仅凭直观认为⊙O与AC是相交的，且交点为E,则OE即为⊙O 的半径，因此就错误地应用判定定理（即“连半径，证垂直”）来论证.实际上，在证得⊙O 与AC相切之前，不能确定⊙0与AC的位置关系，亦即不能确定⊙O与AC有无交点、有几 个交点，更不知交点在何处，所以断定E为交点、OE为半径是毫无根据的.因此本题应选 用证明切线的另一种方法“作垂直，证半径”.另外，错解中证明两个三角形全等的方法也 是错误的 【正解】如图，连接OD,过点O作OE⊥AC于点E,则∠OEC=90°..AB切⊙0于点D, ∴.OD⊥AB,.∠ODB=90°，∴.∠ODB=∠OEC.又0是BC的中点，∴.OB=0C. .AB=AC,.∠B=∠C,∴.△OBD≌△OCE(AAS),.OE=OD,即OE是⊙0的半径， .∴AC与⊙0相切. 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(★)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD= 30°，B0=4,则BD的长为() A子 B.号 A C.2T D. 第1题图 155 中考总复习·数学 2.(★)如图，在⊙0中，弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°， ∠ADC=85°，则∠C的度数是() A.25° B.27.5° C.30° D.35° D A 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.(★)如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠BCD等于 () A.65° B.115 C.120° D.125° 4.(★)如图，已知⊙0的半径为13，弦AB的长为24，则点O到AB的距离是() A.6 B.5 C.4 D.3 5.(★)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,且正六边形的周长是12，则⊙0的半径 是() A.V3 B.2 C.2V2 D.2V3 6.(★)如图，四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点，且DF=BC,连接CF并延长 交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（) A.45 B.50° C.55° D.60° 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 7.(★)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D,CD与AB的延长线交 于点C,∠A=30°，AD=5,则CD的长度为() A.4 B.5 C.6 D.7 8.(★)如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A,B,且与CD边相切，若正方形的边 长为4，则⊙0的半径为() A至 B.5 C.V5 D 9.(★)如图，点A,B,C,D在⊙0上，AB=AC,∠A=82°，∠B=58°.若⊙0的半径 156 第二部分图形与几何 为5，则AD的长为() A.20m 9 B.Ua C.π D.2m 3 I0.(★)如图，矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点 E,若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点 F,则图中阴影部分的面积是() A.2-T B. C.2-π D.3 第10题图 4 8 28 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.(★)如图，已知过A,C,D三点的圆的圆心为E,过B,E,F三点的圆的圆心为 D,如果∠A=57°，那么∠ABC= 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 12.(★)如图，已知在⊙O中，直径MN=10,正方形ABCD的四个顶点分别在半径 OM,OP以及⊙0上，并且∠POM=45°，则AB的长为 13.（★)已知线段PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,C为PB延长线上一点，CDL P℃于点C,线段CD与⊙0相切于点D,且PA=4,PC=6,则⊙0的半径 D 14.(★)如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PM切 ⊙O于点M.若OA=a,PM=V3a,PB=2-a,则△PMB的周长等于 第15题图 15.(★)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若⊙O的半径为 3cm,∠A=110°，则劣弧BD的长为 cm 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(10分★)将如图所示的一个圆分割成三个扇形，这三个扇形的圆心角的度数比为 ∠AOB:∠BOC:∠AOC=2:3:4. (1)求这三个扇形的圆心角的度数. (2)若圆的半径为2cm,请分别求出这三个扇形的面积（结果保留π） B 第16题图 157 中考总复习·数学 17.(10分★)如图，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,AD为⊙0的弦，连接 BD,∠A=∠B=30°. (1)求证：直线BD是⊙O的切线. (2)已知BC=2,求DC的长（结果保留π）· 0 第17题图 18.(10分★★)如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC,以AE为 直径的⊙O与边CD相切于点D,点B在⊙O上，连接OB. (1)求证：DE=OE. (2)若CD∥AB,求证：四边形ABCD是菱形. 第18题图 158 ● 第二部分图形与几何 19.(12分★★)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,连接OA,OB, OP,取OP的中点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD. (1)求证：∠ADB=∠AOP. (2)延长OP交DB的延长线于点E,若AP=I0,tam∠AOP-?,求DE的长. 0 第19题图 20.(13分★★★)如图，点O在△ABC的边BC上，经过点A,C的⊙0与BC相交于 点D,点E在⊙O上，且∠EAC=45°，AE与BC相交于点F,∠BAE=∠EFC. (1)如图1，求证：DE=CE. (2)如图2，若AB与⊙O相切于点A,点D是BF的中点，求tanB的值， B 0 图1 图2 第20题图 159E为AD的中点，AG=GA',EG∥A'D,∴.∠DA'G= ∠EGA=90°. 同理，可证△ADA'≌△BAG(ASA),A'D=AG=A'G, .△A'DG是等腰直角三角形. 4.圆 腿考点精梳 考点一圆的有关概念与性质 例1B【解析】AB=BC,∴∠AOB=∠BOC.∠BOC= 36°，.∠A0B=36°，..∠AOC=∠A0B+ ∠BOC=72°.故选B. 例2A【解析】如图，连接 CD,OB,OC..AB>AD,AC>AE,.. ∠BOC=2∠BDC..·由外角的性质可 得∠BDC=∠A+∠ACD,∠A=30°30'3” .∠B0C=2∠A+2∠ACD=61°6"+ 2∠ACD,.弧BC的度数最小为616”， .不可能是61°.故选A. 例2答图 例34V3【解析】.AD=CD,∴.AD=CD,.OD⊥ AC,∴∠AM0=∠AMD=90°，点M为AC的中点.点O为 AB的中点，∴OM为△ABC的中位线，：OM=1BC=2⊙0 的半径是6，.0A=0D=6,.DM=0D-0M=4,.AMP=0A2- 0MP=62-22=32,.AD=VAMP+DP=V32+42=4V3. 考点二与圆有关的位置关系 例1内【解析】由条件可知⊙0的半径为5，.2V6 =V24<V25=5,.点P在⊙0内. 例2r=4.8或6<r≤8【解析】 如图，过点C作CD⊥AB于点D, 在Rt△ABC中，.∠ACB=90°，AC= 6,BC =8,.AB=VCBAC =10. A D B CD LAB,.Saa=2AB.CD=· 3 例2答图 4C,BC,CD=4CBC=-48,当阅与AB相切时， AB =4.8.当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的取值范围 是6≤8.综上所述，若此圆与线段AB只有一个交点，则 r的取值范围是r=4.8或6≤8. 考点三切线的性质与判定 例1C【解析】.点D是AC的中点，AD=CD. 0A=0C,.0Q⊥AC,0Q垂直平分AC,.∠A0D= ∠C0D=7∠A0C.又：∠B=7∠A0C,∠B=∠A0D,故 ①②正确.∠PCA=∠PAB,∴∠PAC=180°-∠P-∠PCA= 180°-∠P-∠PAB=∠B..∠B=∠AOD,∴.∠PAC=∠AOD. ∠ADO=90°，∴.∠PAO=∠PAC+∠OAC=∠AOD+∠OAC=90° .OC=OA,QC=QA,∴.∠OCA=∠OAC,∠QCA=∠QAC, ∠QC0=∠OCA+∠QCA=∠OAC+∠QAC=∠QA0=90°..OA, OC都是⊙O的半径，PA⊥OA,CQ⊥OC,.直线PA和CQ 参考答案 都是⊙0的切线，故③正确.假设CQ∥A0正确，则 ∠AQC=180°-∠QA0=90°，.∠AQC=∠QA0=∠0C0=90°， ∠A0GC-360-LA0C-LQA0-∠Qc0-90,∠B=3LA0C= 45°，显然与已知条件不符，.CQ∥A0不正确，故④错误. 故选C. 例2(1)证明：如图， 连接0C,0D,则0C=0D, ∠OCD=∠ODC.点D是半圆 0 AB的中点，AD=BD, D ∠A0D=∠B0D=1x180°=90. 例2答图 PC=PE,∠PEC=∠OED,∴.∠PCE=∠PEC=∠OED,∴ ∠OCP=∠OCD+∠PCE=∠ODC+∠OED=90°. OC是⊙0的半径，且PC⊥0C于点C,P心是⊙0 的切线 (2)解：AB是⊙0的直径，∠ACB=90°.∠B= ∠ADc,小2治=an5=n∠ADc: 2 .OC=OB,.∠OCB=∠B. .∠PCA+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，.∴∠PCA= ∠OCB,.∠PCA=∠B. 又∠P∠R=8,△A△PBC,0=所 AC_1 CB2 PA-2PC=4.PB=2PC=16.AB=PB-PA=16-4=12. .0A=1AB=6,.⊙0的半径长为6. 2 考点四弧长、扇形面积的计算 例1C【解析】根据旋转的性质，得AD=AB=1.点 D是BC的中点，.BC=2AD=2.在Rt△ABC中，由勾股定 理，得AC=VBC-AB=V22-IP=V3. an∠ABC=4S=V了，LABC=60°，∴△ABD是等 AB 边三角形，.∠BAD=60°. .∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE-90°，.∠CAE=∠BAD= 60,亚=82xV万=Y写π，故选C 3 例2V2-1【解析】如图， 连接OE,.·四边形OBCD为矩 形，.∠BOD=∠ODC=∠C= ∠OBC=90°..EF⊥OB,.∴.∠OFE= 90°，.四边形ODEF和四边形 BCEF都为矩形..OD=OF=1, 四边形ODEF为正方形，∴.∠DOE= 例2答图 ∠F0E=45°，S△=SawE,0E=V20D=V2,:.S扇形Ae= S扇形mE,.由AD,DE和AE所围成的图形的面积=由BF, 中考总复习·数学 FE和BE所围成的图形的面积，图中阴影部分的面积= S矩形E=(V2-1)×1=V2-1. 例3解：(1)如图 1,连接OD 在△OAC和△OBC中， CA=CB. OA=OB,∴.△OAC≌△OBC 0C=0C, (SSS),.∠AOC=∠BOC. 图1 .'∠AOC+∠BOC=180°，.∠AOC=∠B0C-90°. .OA=OD=OE,∴.∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED 设∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y, 在四边形OADE中，.∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC= 360°，.x+x+y+y+90°=360°，.∴.∠ADE=∠AD0+∠ODE=x+y= 135°. (2)如图2，连接OD, ∠A0C=90°，D为AC的中点， 0D=4D=34C=2x6=3,0D= OA=AD=3,.△AD0为等边三角 形，.∠A0D=60°，∠D0E=90°- 60°=30°，DE的长为30mx3=1 图2 1802m. 例3答图 ■优题精练 1.D2.D3.B4.B5.B6.B7.B8.D9.A 10.B 1.212.V万3.214.24V315.7 16.解：(1).∠AOB:∠BOC:∠AOC=2:3:4,. L40B=360×2434=80,∠B0c=360×24344-l20, 2 ∠A0C=360°-80°-120°=160° 120m×2= (2)(cm) 9 3 4r(cm.Sa形360mx2-l6a（cm 17.(1)证明：如图， 连接0D,∠A=∠B=30°， OA=0D,.∠ODA=∠A, ..∠B0D=2∠A=60°， ∴.∠ODB=180°-∠B ∠B0D=90°. ·.0D是⊙0的半径， 第17题答图 且BD⊥OD .直线BD是⊙O的切线 (2)解：·∠ODB=90°，∠B=30°，OD=OC,.0B= 20D=20C. .BC=0B-0C=20C-0C=0C,且BC=2,∴.0C=2. ∠c0-60,a-692-.即c的长是 18.证明：(1)如 图，连接OD,CD是⊙O 的切线，OD⊥CD, ∠2+∠3=∠1+∠C0D=90°. 40 DE=EC,.∠1=∠2， ∠3=∠C0D,DE=0E. (2).OD=0E,.0D= 第18题答图 DE=0E,.∠3=∠C0D=∠DEO=60°，..∠2=∠1=30° .0A=0B=OE,OE=DE=EC,..0A=0B=DE=EC. .AB∥CD,..∠4=∠1，.∠1=∠2=∠4=∠0BA=30°， ∴.△ABO≌△CDE,∴AB=CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形 ∠DAE=1∠D0E=30°，∠1=∠DAE,CD=AD, 2 口ABCD是菱形. 19.(1)证明：AP,BP分别切⊙O于点A,B,∴.OP 平分LA0B,∠AOP=∠A0B. 2 义AB=AB,∠ADB=3∠A0B,∠ADB=∠A0P (2)解：如图，延长 E、 A0交⊙O于点F,连接 DF,则∠ADF=90°. .AP,BP分别切⊙O 于点A,B,PA⊥OA. C为OP的中点， 第19题答图 PC-OC.AG-OC-]OP 2,40= 又AP=10,tan∠AOP=L, AP an∠A0p=20, OP=VAOAP=V2010=10V5 AC=0C=OP= 5V5,AF=240=40. .AC=0C,.∠CA0=∠AOC 又Z40=∠AF-0,0房DA=00写× 10V5 40=16V5,CD=DA-AC=11/5. .∠AOP∠ADB,∠ACO=∠ECD,·.△ACO∽△ECD, 8品0e=Y00-4 5V5 20.(1)证明：如图1，连 接0E,∠CAE=45°，∴.∠C0E= 2∠CAE-90°，..∠C0E=∠D0E= 10 90°，.DE=CE. (2)解：如图2，连接OE, AD,OA,.·∠BAE=∠EFC= ∠AFB,∴AB=BF. 图1 .点D是BF的中点，∴AB=BF=2BD=2DE 由(1)知∠DFE=90°，..∠EFC+∠OEF=90° 又.·∠BAE=∠EFC ∠OEF=∠OAF,∴.∠BAE+ ∠OAF=90°，即∠OAB= 90°，即∠BAD+∠OAD=90° CD是⊙0的直径，· ∠CAD=90°=∠CAO+∠OAD. .∠BAD=∠CAO. 图2 .0A=OC,.∠CA0= 第20题答图 ∠C,∴.∠BAD=∠C ∠B=∠B,△BAD△BCA,BD=AB ,即AB2= AB BC BD·BC 设BD=a,则AB=2a,.4a=aBC,BC=4a,∴.CD=4a- a=3a,.半径0A=3 2 3a 在Rt△OAB中，tanB=OA=2=3 AB 2a4' 5.尺规作图、定义、命题、定理 腿考点精梳 考点一尺规作图 例1D【解析】由作图可知DE垂直平分线段AB, .∴AE=EB=6,∴.∠A=∠EBA=30°..'∠C=90°，∴.∠ABC=60°， LEBC=LABC-LEBA=30°，EC=号EB=3,BC= VBE2-CE=V6-32=3V3,∴.△BCE的周长=3+6+3V3= 9+3V3.故选D. 例2B【解析】由作 图可知，CE上BD,如图， 设CE,BD交于点O,则 P ∠BOC=∠BOE=90°..BP平 分LABC,.∠AB0=LCBO. 在△BOC和△BOE中， {∠BOC=∠BOE. OB=OB, ·.△BOC≌ 例2答图 C∠CBO=∠EBO, △BOE(ASA),∴.OC=OE,BC=BE=12,∴.BD垂直平分CE, AE=AB-BE=4,..DE=CD,.△ADE的周长为AE+DE+AD= AE+AD+CD=AE+AC=14.故选B. 例3解：(1)如图1，四边形ABCD.点E即为所求 M 图1 图2 例3答图 参考答案 (2)如图2，点M,N即为所求 考点二命题与证明 例1C【解析】若a=-1,b=-2,则a>b3,但a2<b2, 故①错误；y=x2-2x-1=(x-1)2-2的对称轴为x=1,最小值 为-2，当x1<2<1时，y>y>2,②正确；易知③错误； 周长相等的所有等腰直角三角形的对应边相等、对应角相 等，.周长相等的所有等腰直角三角形全等，④正确.故选C 例2四条边都相等的四边形为正方形假【解析】 命题“正方形的四条边都相等”的逆命题是“四条边都相 等的四边形为正方形”，此逆命题为假命题」 例3解：(1)当m=1,n=2,k=3时，此时矩形B 的周长为18，面积为6. 设矩形B的长为x,则宽为9-x,根据题意列方程，得 (9-x)x=6,2-9x+60,解得=9-y5,=9+y57, 2 此时命题成立. (2)若矩形A两边长分别为m,n,此时矩形B的周 长为2k(m+n),面积为kmn.设矩形B的长为x,则宽为 k(m+n)-x.根据题意列方程，得x[k(m+n)-x]=kmn, 即x2-k(m+n)x+kmn=0,根据求根公式，得b2-4ac= k2(m+n)2-4kmn=k[k(m+n)2-4mn]..k>1,∴.[k(m+n)2- 4mn]>(m+n)2-4mn. 又.∵(m+n)2-4mn=(m-n)2≥0，.∴.[k(m+n)2-4mn]>0, ∴.方程x2-k(m+n)x+kmn=0有两个不相等的实数根， 即存在矩形B,.此命题成立. ■优题精练 1.A2.D3.B4.D5.B6.A7.A8.B9.D 10.C 11.12-112.213.②14.①③④→②（答案 不唯一）15.0E 16.解：如图，作∠MON M 的平分线，再过点Q作OW的 垂线，两线相交于点P,则点 P即为所求 17.(1)证明：∠1=02 ∠2，∠BFD=∠1，.∠2= 第16题答图 ∠BFD,·.BC∥DE. (2)解：命题“已知∠CDE=140°，则∠B=40°”是真 命题.理由： 由(1)知BC∥DE,.∴.∠C+∠CDE=180° .∠CDE=140°，∴.∠C=40° AB∥CD,.∴.∠B=∠C=40°. 18.(1)证明：.∠B+∠1=180°，AB∥CD. .∠2=∠3，CD∥EF,AB∥EF, ..∠B+∠F=180°. (2)解：在(1)的证明过程中应用的两个互逆的真命 题为：同旁内角互补，两直线平行：两直线平行，同旁内 角互补.