3.四边形-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

第二部分图形与几何 3.四边形 知识梳理 知识点一多边形的基本概念与性质 1.(1)n边形的内角和为(n-2)180°，外角和为360°. (2)n边形从一个顶点出发可以引出n-3条对角线，n边形共有m-3)条对角线，n 2 边形从一个顶点出发的对角线把n边形分成(n-2)个三角形 2.在平面内，各内角都相等、各条边也都相等的多边形叫作正多边形 知识点二平行四边形的定义、性质与判定 1.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形， 2.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 3.平行四边形的性质：(1)对边相等；(2)对角相等；(3)对角线互相平分. 4.平行四边形的判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边 分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距 离称为平行线间的距离，即平行线间的距离相等， 【知识点三矩形的定义、性质与判定■ 1.有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 2.矩形的性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)矩形的四个角都是直角； (3)矩形的对角线相等；(4)矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴. 3.矩形的判定：(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直 角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形 【知识点四菱形的定义、性质与判定 1.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2.菱形的性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边相等；(3)菱 形的对角线互相垂直；(4)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线 139 中考总复习·数学 所在的直线 3.菱形的判定：(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四边都相等的 四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知识点五正方形的定义、性质与判定 1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 2.正方形的性质：(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；(2)正方形的四个 角都是直角，四条边都相等；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；(4)正 方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴；(5)正方形的一条对角线把正 方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三 角形， 3.正方形的判定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)对角线互相垂直的矩形 是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)对角线相等的菱形是正方形， 腿 考点精梳 考点多边形 例1(2024海州区期末)下列说法中，错误的是() A.三角形是边数最少的多边形 B.等边三角形和长方形都是正多边形 C.n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角 D.六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条 例2(2025金凤区模拟)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这 个多边形的内角和是 例3(2025上杭县期中)通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三 角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内 角和是 度 考点二平行四边形的性质与判定 例1(2024镇江期中)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16, CD=6,则△AB0的周长是（) A.10 B.14 C.20 D.22 例1题图 140 第二部分图形与几何 例2(2023菏泽期末)在口ABCD中，E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中， 不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是() A.BE=DF B.AE=CF C.AF∥CE D.∠BAE=∠DCF 例3(2024滨海县期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,△AOB 的周长是38cm,△BOC的周长是30cm,△ABC的周长是44cm,△BCD的周长是52cm, 求口ABCD的四条边长及两条对角线的长. 例3题图 考点三矩形的性质与判定 例1(2025兰州)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E, F分别在边AB,BC上，连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB=35°，则 ∠DPE=() A.95° B.100° C.110° D.145° 、5 例1题图 例2题图 例2(2025启东市期末)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,根据图 中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是() A.OB=5 B.0D=5 C.AB=5 D.BC=8 141 中考总复习·数学 例3(2024麻章区期末)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点， 过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF. (1)线段BD与CD有何数量关系？为什么？ (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由. 例3题图 考点四菱形的性质与判定 例1(2025渝中区期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,点E在边CD上，且BD=BE.若∠EBC=I2°，则∠BDC 的度数为() A.669 B.64° C.56° D.52 例2(2024苏州一模)如图，矩形ABCD的对角线相交于点0， 例1题图 DE∥AC,CE∥BD. (1)求证：四边形OCED是菱形， (2)若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为8V3,求AC的长. 例2题图 142 第二部分图形与几何 例3(2025贵州)如图，在口ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE,且BE⊥AC, 垂足为点E.延长BC至点F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G. (1)求证：口ABCD是菱形 (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. 例3题图 【考点五正方形的性质与判定 例1(2025铜梁区期末)如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E, F,G,H分别为正方形ABCD各边上一点，若AE=DH=CG=BF=1,则EG的 长为() A.V5 B.2V5 C.V10 D.V15 例1题图 例2(2024新民市模拟)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在 边BC,CD上，且AE=EF=FA.下列结论：①△ABE≌△ADF,②CE=CF, ③∠AEB=75°，④BE+DF=EF,⑤S△MB+S AADE=S△C,其中正确的是 E (填序号)· 例2题图 例3(2025石景山区期末)如图，在正方形ABCD中，点P,Q分别在CB,DC的延 长线上，且BP=CQ,连接AP,连接QB并延长交AP于点E. (1)求∠AEQ的大小 (2)点F在射线EP上，EF=EB,连接DF,∠AEQ的平分线交DF于点M.依题意补全 图形，用等式表示线段DM与FM的数量关系，并证明. 例3题图 143 中考总复习·数学 易错点精析 【易错点一考虑多边形问题不全面 例一个多边形切去一个角后，形成的新的多边形的内角和为1080°，那么原多边形的 边数为() A.7 B.7或8 C.8或9 D.7或8或9 【错解】B或C 【错点分析】设内角和为1080°的多边形的边数是n,则(n-2)·180°=l080°，解得n=8, 即切去一个角后，形成的新的多边形的边数为8.由于题干没有说明原多边形切去的这个角 是怎么切的，因此有三种可能出现的结果，即边数不变、边数增加1、边数减少1，则原多 边形的边数为7或8或9.本题容易出现漏解的情况. 【正解】D 【易错点三分类讨论考虑不周 例若口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,P为对角线BD上一点，过点P作EF∥ AC,交口ABCD相邻两边于点E,F,AC=3,BD=8.设BP=x,EF=y,则y与x之间的函数关 系式为 【错解】)=圣 【错点分析】本题没有给出图形，很多同学在根据题意画图求解 时画出如图所示的情形，而实际上点P为对角线BD上一点，点P 还有可能在OD上，∴.应分两种情况讨论求解，即当0≤x≤4时和 当4<x≤8时，再利用相似求得函数关系式.另外，从EF长度的变 例题答图 化来看，应该是先由小变大再变小的过程，显然错解没有这一特征。 【正解】当0≤≤4时，归子：当4≤8时，=子46。 易错点三操作题操作无序 例如图1，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD1 BC,AD=BC.将此三角形纸片沿AD剪开，得到如图2所示的两 个三角形，若将这两个三角形拼成一个四边形，则不同的拼法有 图1 图2 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 例题图 144 第二部分图形与几何 【错解】最易出错的是选项C 【错点分析】未能对拼接方案进行合理分类，随意拼接，简单地认为三角形三条边分别 重合共有三种情况，所以就有三种结果 【正解】要将两个三角形拼在一起，必须先让等长的边重合在一起，此时分三种情况， 而每种情况又可以通过正反拼摆得到两种图形（如图），这6种图形中，其中是四边形的有 4种，∴.正确答案为D. 较短直角边重合时 较长直角边重合时 斜边重合时 例题答图 【易错点四对图形的对称性重视不够 例在平面内找一点P,使其与正方形ABCD的每一边所构成的三角形均为等腰三角 形，这样的点P有 个 【错解】1 【错点分析】本题没有图形，所以仅靠想象去寻找点P,认为对角 线的交点即为点P所在的位置的答案是不完整的.实际上，根据正方形 的对称性，点P在CD的垂直平分线1上时，必能构成两个等腰三角 形，即△PCD和△PAB,从而问题转化成只需△PAD为等腰三角形即 可.当PA=PD时，，点P在AD的垂直平分线上；当PA=AD时，，点P在 以，点A为圆心、AD长为半径的圆上；当PD=AD时，点P在以点D为 P 圆心、AD长为半径的圆上，如图，共有5个这样的点.同理，在AD 例题答图 的垂直平分线上也存在这样的5个，点（其中一个点与P重合)，因此 满足条件的点P共有9个 【正解】9 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.（★)一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的 对角线的条数是() A.9 B.8 C.7 D.6 145 中考总复习·数学 2.(★)中国古代建筑具有悠久的历史和光辉的成就，其建筑艺术也是 美术鉴赏的重要对象.如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它 的一个内角的度数为() A.105 B.1109 C.120° D.135 第2题图 3.(★)在下列命题中，正确的是() A.一组对边平行的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4.(★)四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,能判定它是矩形的是() A.A0=C0,B0=0D B.AB=BC,AO=CO C.AO=C0,BO=D0,AC⊥DB D.AO=CO=BO=DO 5.(★)如图，在△ABC中，点E,D,F分别在边AB,BC,CA 上，且DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中，不正确的是() A.四边形AEDF是平行四边形 B.如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 C.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形 第5题图 D.如果ADLBC且AB≠AC,那么四边形AEDF是菱形 6.(★)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,BC上，且 BF=CE,连接BE,AF相交于点G,则下列结论不正确的是( A.BE-AF B.∠DAF=∠BEC C.∠AFB+∠BEC=90° D.AG⊥BE 第6题图 7.(★)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, AB=5,AC=6,过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,则 △BDE的面积为() A.24 B.18 C.12 D.10 第7题图 8.(★)矩形ABCD与CEFG按如图所示放置，点B,C,E共线， H 点C,D,G共线，连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2, CD=CE=1,则GH=() A.1 R子 C.v2 D.V5 第8题图 2 2 9.(★)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,点E,F 分别是边AB,BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在 PE+PF的最小值，则这个最小值是() E 第9题图 146 第二部分图形与几何 A.3 B.4 C.5 D.6 10.（★)如图，用四块同样大小的正方形纸片围出一个菱形ABCD, 一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心， 则这个小孩走的路线所围成的图形是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 第10题图 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在□ABCD中，AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD= A---1 第11题图 第13题图 第14题图 12.已知菱形的周长为30cm,两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为 13.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AB=4, BC=3,则四边形CODE的周长是 14.如图，P,Q两点分别在正方形ABCD的边BC和AD上，沿PQ折叠，使点A落在 CD边上的点E处，若PQ=13,AB=12,则CE= 15.菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，若点P是菱形内一点，且PB=PD=2V3,则 AP的长为 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(10分★)已知正x边形的内角和为1080°，边长为2. (1)求正x边形的周长。 (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值. 147 中考总复习·数学 17.(I0分★)如图，在□ABCD中，延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF, 连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN (1)求证：△AEM≌△CFV. (2)求证：四边形BMDN是平行四边形. 第17题图 18.(10分★)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF: (1)求证：D是BC的中点. (2)若AB=AC,试判断四边形ABD的形状，并证明你的结论 D 第18题图 19.（12分★★)将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形 ABCD (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大 值或最小值？如果存在，请求出；如果不存在，请简要说明理由 A 第19题图 148中考总复习·数学 ∠BEC=∠AEF,.∴.∠FAC∠MBC. ∠ACF∠BCM, 在△ACF和△BCM中， AC-BC. .△ACF≌ ∠FAC=∠MBC, △BCM(ASA),∴.FC=MC .∠MFC=∠FMC=45°，∴.∠DFC=180°-45°=135°， ∠AFC-90°+45°=135°，∴.∠DFC=∠AFC (AF-DE 在△ACF和△DCF中，∠AFC=∠DFC,.△ACF≌ CF=CF, △DCF(SAS),.AC=DC AC=BC,∴.DC=BC. 20.解：(1)如图1，连接BE,CD相交于点H. △ABD和△ACE都是等腰直角三角形， .AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，.AB=AD= AC=AE,∠CAD=∠BAE,.△ACD≌△AEB(SAS), ∴.CD=BE,∠ADC=∠ABE,∴.∠BDC+∠DBH=∠BDC+ ∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD= 90°，∴∠BHD=90°，.CD LBE. :点M,G分别是BD,BC的中点，：MGL}CD.同 2 理，NGZ RE,MG=NG,AGLNG. 图1 图2 图3 第20题答图 (2)如图2，连接CD,BE,相交于点H,同(1)的 方法，可得MG=NG,MG⊥NG,即小明发现的结论还成立. (3)如图3，连接EB,DC,延长线相交于点H,同 (1)的方法，可得MG=WG. 同(1)的方法，可得△ABE≌△ADC,∠AEB= ∠ACD ∴.∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+18O°-∠ACD-∠ACE= ∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°，.∠DHE=90°.同(1) 的方法，可得MG⊥NG,.△GMN是直角三角形. 3.四边形 考点精梳 考点一多边形 例1B【解析】三角形是边数最少的多边形，A正 确；长方形不是正多边形，B错误；n边形有n条边、n个 顶点、n个内角和2个外角，C正确；六边形从一个顶点 出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，D正确， 故选B. 例2540°或360°或180°【解析】剪掉多边形的一个 角，则所得新的多边形的边数可能增加1，可能不变，也 可能减少1，据此再根据多边形的内角和定理即可求解.n 边形的内角和是(n-2)·180°，若所得新的多边形的边数增 加1，则新的多边形的内角和是(4+1-2)×180°=540°，若所 得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是(4- 2)×180°=360°，若所得新的多边形的边数减少1，则新的多 边形的内角和是(4-1-2)×180°=180°，因而新多边形的内 角和是540°或360°或180°. 例3540【解析】从某个多边形的一个顶点出发的对 角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形，·该多边 形的内角和是3×180°=540°. 考点二平行四边形的性质与判定 例1B【解析】四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=6,A0=CO=1AC,BO=D0=1BD.AC+BD=16, 2 2 ∴.A0+B0=8,.△AB0的周长=A0+B0+AB=8+6=14,故 选B. 例2B【解析】如 D 图，连接AC与BD相交 于点O,在口ABCD中， OA=OC,OB=OD,要使 四边形AECF为平行四 边形，只需证明得到 例2答图 OE=OF即可.若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF, A不符合题意；若AE=CF,则无法判断OE=OF,B符合题 意；若AF∥CE,能够利用“AAS”证明△AOF和△COE 全等，从而得到OE=OF,C不符合题意；若∠BAE=∠DCF, 能够利用“ASA”证明△ABE和△CDF全等，从而得到 DF=BE,然后同A选项，故D不符合题意.故选B. 例3解：：四边形ABCD是平行四边形 ..AO=CO,BO=DO,AB=DC,AD=BC. .'△AOB的周长是38cm,△BOC的周长是30cm, △ABC的周长是44cm,△BCD的周长是52cm, .AB+OA+OB=38①，BC+OB+OC=30②，DC+BC+BD 52③，AB+BC+AC=44④， ∴.①-②得AB-BC=8,③+④-①-②得AB+BC=28, 解得AB=18cm,BC=10cm,即AB=DC=l8cm,AD= BC=10 cm, 代入④得AC=44-18-10=16(cm),代入③得BD=52- 18-10=24(cm), 即□ABCD的四条边长是10cm,18cm,10cm,18cm, 两条对角线的长为16cm,24cm. 考点三矩形的性质与判定 例1C【解析】：四边形ABCD是矩形，∠ADB= 35°，AD∥BC,∠ABC=90°，∴∠PBF∠ADB=35°.P是 EF的中点，∴.PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线，PB= PE=PF,·.∠PFB=∠PBF=35°.在△PBF中，∠BPF=180° (∠PBF+∠PFB)=110°，∴.∠DPE=∠BPF=110°.故选C. 例2B【解析】添加OD=5.理由：.∠ABC=90° A0=0C=5,∴.0B=A0=0C=5..0D=5,∴.0A=0C=0B=0D=5, AC=BD=10,.四边形ABCD为矩形.故选B. 例3解：(1)BD=CD.理由：.AF∥CB,.∠AFE= ∠DCE,∠FAE=∠CDE. 又：E是AD的中点，AE=DE,△AFE≌△DCE (AAS),.AF=DC. 又AF=BD,BD=CD (2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形 理由：.AB=AC,BD=CD, .∴AD⊥BC,∴.∠ADB=90° 又.AF=BD,且AF∥BD,·.四边形AFBD是平行四边 形，四边形AFBD是矩形. 考点四菱形的性质与判定 例1B【解析】.四边形ABCD是菱形，对角线AC, BD相交于点O,.CD=CB,∠BDC=∠DBC:BD=BE, ∠BDC=∠BED.设∠DBE=x,BD=BE,LEBC=12°， ∠BDC=LBED=x+12°.∠DBE+∠BDC+∠DEB=l8O°，∴x+ x+12+x+12=180°，x=52°，即∠DBE=52°，∠BDC=52°+ 12°=64°.故选B. 例2(1)证明：.DE∥OC,CE∥OD,.四边形 OCED是平行四边形.：四边形ABCD是矩形，AO=OC= BO=OD,.四边形OCED是菱形. (2)解：.∠ACB=30°，∴.∠DC0=90°-30°=60° 又.OD=0C,.△0CD 是等边三角形.如图，过点 D作DF⊥OC于点F,则 CF=10C. 2 例2答图 设CF=x,则CD=OC=2x,AC=4x,.DF=V3x 菱形OCED的面积为8V3,:.OC,DF=8V3,即 2x·V3x=8V3,解得x=2,AC=4×2=8 例3(1)证明：E为对角线AC的中点，BE⊥AC .BE垂直平分AC,AB=BC 四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形 (2)解：：BE=EF,∠EBF=∠EFB.CF=CE, 参考答案 ∠CEF=∠CFE,∴.∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF .·∠BEC=90°，.∠CBE=30°，∠BCA=60°，∴.∠ACB= ∠ACD=60°， .∠DCF180°-60°-60°=60°，.∠BCE=∠DCF. 又：BC=CD,CE=CF,∴.△BCE≌△DCF(SAS), .∴∠DFC=∠BEC=90°. CF=CE=4,.DF=V3CF=4V3,.△DCF的面积= DF-CF-x4x4V3-8V3. 考点五正方形的性质与判定 例1C【解析】：四边形ABCD是正方形，且边长为 3,.AB=BC=GD=DA=3,∠A=∠B=∠C=∠D=90°..AE= DH=CG=BF=1,.∴AF=BG=CH=DE=2.在△AEF和△BG中， AE=BF, ∠A=∠B=90°，∴.△AEF≌△BFG(SAS),∴.EF=FG, AF=BG, ∠AEF=∠BFG.在Rt△AEF中，∠AFE+∠AEF=90°，. ∠AFE+∠BFG=90°，.·.∠EFG=180°-（∠AFE+∠BFG)=90°， ∴.△EFG是等腰直角三角形.由勾股定理得EG=VEF+FG2= V2EF在Rt△AEF中，AE=1,AFP2,由勾股定理得EF= VAE+AF=V5,EG=V2EF=V2×V5=VI0.故 选C. 例2①②③⑤【解析】：AB=AD,AE=EF=FA, △ABE≌△ADF(HL),且△AEF为等边三角形，BE=DF 又BC-=CD,:CE=CR,∴∠BAE=3(∠BAD-∠EA月=2× (90°-60°)=15°，∠AEB=90°-LBAE=75°，.①②③正确. 在AD上取一点G,连接FG,使AG=GF,则∠DAP∠GFA= 15°，∴.∠DGF=2∠DAF=30°.设DF=1,则AG=GF=2,DG V3,.AD=CD=2+V3,CF=CE=CD-DF=1+V3,..EF= V2CF=V2+V6,而BE+DF=2,④错误.SA4+ S.w-2xAD-DF-2+V3.S.-CE.CF-(Y3 2 2+V3,.⑤正确 例3解：(1)如图1，：四 边形ABCD是正方形，AB=CB, ∠ABC=∠BCD=90°，.∠ABP= 2 ∠BCQ=90°，∠2+∠1=90°. P B .BP=CQ,.△ABP≌△BCQ (SAS). 图1 ∠3=∠1，.∠2+L3=90°， A D 不4 ∠AEQ=90°. (2)依题意补全图形如图2， M 数量关系：DM=FM. PA B 证明：如图2，过点A作 AN⊥AE交EM的延长线于点N, Q 图2 连接DN. 例3答图 中考总复习·数学 .·四边形ABCD是正方形，.AD=AB,∠BAD=90°，. ∠4=∠3. .∠AEQ=90°，EM平分∠AEQ,∴.∠5=45°，.∠6= ∠5=45°，∠MEF=135°，.AN=AE, ∴.△AND≌△AEB(SAS),∴.ND=EB,∠AND=∠AEB= 90°，∴.∠MND=∠MEF=135. .EF=EB,..ND=EF. 又·.·∠DMN=∠FME,.△DMW≌△FME(AAS), ∴.DM=M. ■优题精练 1.D2.D3.C4.D5.D6.C7.A8.C9.C 10.D 11.4V1312.7.5cm13.1014.7 15.4V3或2V3【解析】如图1，当点P与点A在 BD的异侧时，连接AP交BD于点M,AD=AB,DP=BP, .∴AP⊥BD.在Rt△ABM中，∠BAM=30°，.∴AM=AB.cos30° =3V3,BM=AB·sin30°=3，∴PM=VPB2-BMr=V3, .AP=AM+PM=4V3 图1 图2 第15题答图 如图2，当点P与点A在BD的同侧时，连接AP并延 长AP交BD于点M,AP=AM-PM=2V3. 当点P与点M重合时，PD=PB=3,与PB=PD=2V3矛 盾，舍去.综上所述，AP的长为4V3或2V3. 16.解：(1)由题意可得180(x-2)=1080,解得x=8, 则正八边形的周长为8×2=16. (2)正八边形每个内角的度数为1080°：8=135°，则正 n边形的每个外角的度数为135°-63°=72°，360°÷72°=5， ∴n的值为5. 17.证明：(1)·四边形ABCD是平行四边形， ∠DAB=∠BCD,∴.∠EAM=∠FCN. .AD∥BC,.∠E=∠F.又.AE=CF,.△AEM≌△CFW (ASA). (2)由(1)得AM=CN,又.四边形ABCD是平行四 边形，ABLCD,BMZDN,四边形BMDN是平行四 边形 18.(1)证明：.AF∥BC,.∠AFE=∠DCE..:点E为 AD的中点，AE=DE.在△AEF和△DEC中，：∠AFE= ∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE-DE,'.△AEF≌△DEC(AAS), 2 AF=DC.又.AF=BD,DC=BD,.D是BC的中点. (2)解：若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由： AF∥BD,AF=BD,·.四边形AFBD是平行四边形.AB= AC,BD=CD,.∠ADB=90°，.平行四边形AFBD是矩形. 19.(1)证明：如图1，分别过点B,D作BF⊥AD, DE⊥AB,垂足分别为点F,E,则DE=BFAD∥BC,AB∥ DC,四边形ABCD是平行四边形.又∠DAE=∠BAF, :Rt△DAE≌Rt△BAF,AD=AB,平行四边形ABCD是 菱形. 图1 图2 第19题答图 (2)解：存在最小值和最大值 ①当∠DAB=90°时，AD最短，此时菱形ABCD的周长 最小，为8 ②如图2，当AC为长方形纸片的对角线时，菱形 ABCD的周长最大，设AB=x, 在Rt△BCG中，=(8-)P+2,解得x=子，菱形 ABCD的周长最大值为17. 20.(1)解：BE是线段AA'的垂直平分线，A'E= AE=1,BA'=BA. 又BE=BE,∴.△ABE≌△A'BE(SSS),∴.∠BAE= ∠BA'E=90°. 四边形ABCD是正方形，∴.∠ADB=45°，∴.△A'DE是 等腰直角三角形，A'D=A'E=l,DE=V2, .AD=AE+DE=V2+1,.AB=AD=A'B=V2+1. (2)①证明：由题意知，BA=BA'=BC,.∠BAA'=∠BA'A, ∠BCA'=∠BA'C. 2A4C-∠4'8+∠C4'8=7180-∠4B4)+号(180- ∠CBA')=180°-45°=135°，.∠CA'F=180°-∠AA'C=45° ②解：△A'DG是等腰直角三角形. F 理由：如图，过点C作CN⊥BG,交 BG于点M,交AB于点N, CN⊥BG,CG=CB,M为BG的 中点 A .AA'⊥BE,.CN∥AF,MN是 △ABG的中位线，BN=AB 第20题答图 .·∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,∠BAE=∠CBN=90°， AB=BC,∴△ABE≌△BCN(ASA).AB=BN=)AB=AD 2 E为AD的中点，AG=GA',EG∥A'D,∴.∠DA'G= ∠EGA=90°. 同理，可证△ADA'≌△BAG(ASA),A'D=AG=A'G, .△A'DG是等腰直角三角形. 4.圆 腿考点精梳 考点一圆的有关概念与性质 例1B【解析】AB=BC,∴∠AOB=∠BOC.∠BOC= 36°，.∠A0B=36°，..∠AOC=∠A0B+ ∠BOC=72°.故选B. 例2A【解析】如图，连接 CD,OB,OC..AB>AD,AC>AE,.. ∠BOC=2∠BDC..·由外角的性质可 得∠BDC=∠A+∠ACD,∠A=30°30'3” .∠B0C=2∠A+2∠ACD=61°6"+ 2∠ACD,.弧BC的度数最小为616”， .不可能是61°.故选A. 例2答图 例34V3【解析】.AD=CD,∴.AD=CD,.OD⊥ AC,∴∠AM0=∠AMD=90°，点M为AC的中点.点O为 AB的中点，∴OM为△ABC的中位线，：OM=1BC=2⊙0 的半径是6，.0A=0D=6,.DM=0D-0M=4,.AMP=0A2- 0MP=62-22=32,.AD=VAMP+DP=V32+42=4V3. 考点二与圆有关的位置关系 例1内【解析】由条件可知⊙0的半径为5，.2V6 =V24<V25=5,.点P在⊙0内. 例2r=4.8或6<r≤8【解析】 如图，过点C作CD⊥AB于点D, 在Rt△ABC中，.∠ACB=90°，AC= 6,BC =8,.AB=VCBAC =10. A D B CD LAB,.Saa=2AB.CD=· 3 例2答图 4C,BC,CD=4CBC=-48,当阅与AB相切时， AB =4.8.当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的取值范围 是6≤8.综上所述，若此圆与线段AB只有一个交点，则 r的取值范围是r=4.8或6≤8. 考点三切线的性质与判定 例1C【解析】.点D是AC的中点，AD=CD. 0A=0C,.0Q⊥AC,0Q垂直平分AC,.∠A0D= ∠C0D=7∠A0C.又：∠B=7∠A0C,∠B=∠A0D,故 ①②正确.∠PCA=∠PAB,∴∠PAC=180°-∠P-∠PCA= 180°-∠P-∠PAB=∠B..∠B=∠AOD,∴.∠PAC=∠AOD. ∠ADO=90°，∴.∠PAO=∠PAC+∠OAC=∠AOD+∠OAC=90° .OC=OA,QC=QA,∴.∠OCA=∠OAC,∠QCA=∠QAC, ∠QC0=∠OCA+∠QCA=∠OAC+∠QAC=∠QA0=90°..OA, OC都是⊙O的半径，PA⊥OA,CQ⊥OC,.直线PA和CQ 参考答案 都是⊙0的切线，故③正确.假设CQ∥A0正确，则 ∠AQC=180°-∠QA0=90°，.∠AQC=∠QA0=∠0C0=90°， ∠A0GC-360-LA0C-LQA0-∠Qc0-90,∠B=3LA0C= 45°，显然与已知条件不符，.CQ∥A0不正确，故④错误. 故选C. 例2(1)证明：如图， 连接0C,0D,则0C=0D, ∠OCD=∠ODC.点D是半圆 0 AB的中点，AD=BD, D ∠A0D=∠B0D=1x180°=90. 例2答图 PC=PE,∠PEC=∠OED,∴.∠PCE=∠PEC=∠OED,∴ ∠OCP=∠OCD+∠PCE=∠ODC+∠OED=90°. OC是⊙0的半径，且PC⊥0C于点C,P心是⊙0 的切线 (2)解：AB是⊙0的直径，∠ACB=90°.∠B= ∠ADc,小2治=an5=n∠ADc: 2 .OC=OB,.∠OCB=∠B. .∠PCA+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，.∴∠PCA= ∠OCB,.∠PCA=∠B. 又∠P∠R=8,△A△PBC,0=所 AC_1 CB2 PA-2PC=4.PB=2PC=16.AB=PB-PA=16-4=12. .0A=1AB=6,.⊙0的半径长为6. 2 考点四弧长、扇形面积的计算 例1C【解析】根据旋转的性质，得AD=AB=1.点 D是BC的中点，.BC=2AD=2.在Rt△ABC中，由勾股定 理，得AC=VBC-AB=V22-IP=V3. an∠ABC=4S=V了，LABC=60°，∴△ABD是等 AB 边三角形，.∠BAD=60°. .∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE-90°，.∠CAE=∠BAD= 60,亚=82xV万=Y写π，故选C 3 例2V2-1【解析】如图， 连接OE,.·四边形OBCD为矩 形，.∠BOD=∠ODC=∠C= ∠OBC=90°..EF⊥OB,.∴.∠OFE= 90°，.四边形ODEF和四边形 BCEF都为矩形..OD=OF=1, 四边形ODEF为正方形，∴.∠DOE= 例2答图 ∠F0E=45°，S△=SawE,0E=V20D=V2,:.S扇形Ae= S扇形mE,.由AD,DE和AE所围成的图形的面积=由BF,