3.分式-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

第一部分数与代数 3.分 式 知识梳理 知识点一分式的有关概念 1.分式的概念 (1)整式A除以整式B,可以表示成A的形式，如果除式B中含有字母，那么称A为 B B 分式 (2)分式有意义的条件是分母不能为零，分式无意义的条件是分母为零： (3)分式的值为零的条件是分子为墨，分母不为， 2.分式的基本性质及应用 (1)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式 的值不必用式子表示为会：品(C≠0，台瓷(C≠0) (2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式， 要先将它们分别因式分解，然后再约分，约分应彻底 (3)求最简公分母的方法：①将各个分母因式分解；②找各分母系数的最小公倍数：③ 找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的.满足②③的因式之积即为各分式的最 简公分母。 知识点二分式的运算 1.分式的乘除法法则 (1)两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 (2)两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘（简记为：除以一 个数等于乘以这个数的倒数)· 2.分式的加减法法则 (1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. (2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后按同分母分式的加减法法 则进行计算 中考总复习·数学 考点精梳 考点一分式的概念 例1(2023辽阳二模)若分式，3x有意义，则() Ixl+1 A.x≠-1 B.x≠±1 C.x可为任何实数 D.x≠0 例2(2023金华一模)如果分式+3)x-无意义，那么x的值为() (x+1)(x-1) A.1 B.-1 C.±1 D.-3 例3(2024滨州二模)若分式9的值为0，则x的值为() x+3 A.4 B.-4 C.±3 D.3 【考点三分式的基本性质 例1(2025邗江区期中)若把分式，y,中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式 3x-2y 的值() A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C缩小为原来的2 D.不变 例2(2025浙江模拟)下列等式一定成立的是() A.3=3+a B.=a 44+a ·b2-b c8-器 D.2=2 例3不改变分式13x的值，把它的分子、分母的系数化为整数，其结果正确的是 2x-0.7y ( A B.13x-10 C.13x-10 20x-7y 2x-7y D.31 20x-7y 考点三分式的运算 例1化简 1-1(2-y2)的结果是（） x-Y x+y A.2x B.-2x C.-2y D.2y 20 第一部分数与代数 例2计算2-9：a+1-7u-9 的结果是() a a A.+3 B.a+3 C.a-3 a-3 D.43 e a a+3 易错点精析 易错点一分式变形出现错误 例下列从左到右的变形中，正确的是() ①京：费数：③器： ④ab=1 3a 3ac ab+cc A.①② B.①③ C.①②③ D.②④ 【错解】④显然是错误的，故选C 【错点分析】①等号左边的分子、分母同除以0，可得办，①正确：②忽视了c=0的 指况。②不正确：③等号左边的分子、分母同除以-2b,可得2北，③正确；④中的® 与℃不是相乘而是相加，不能运用分式的基本性质，.④不正确.因此正确的是①和③，故 选B. 【正解】B 易错点三违背运算顺序 例 【错解】原式会弘×名六分 2a 【错点分析】本题是分式乘除混合运算，由于乘除运算是同一级运算，计算时应该按从 左到右的顺序依次计算，错解违背了运算顺序，只按自己的主观意识进行了乘法运算。 【正解1原式-会×元×密日×动=品 2a 【易错点三“分式运算”与“解方程”相混淆 例计第：。6b 【错解】原式=b2+(a+b)(a-b)=b2+a2-b2=2. 【错点分析】这是把“分式运算”与“解方程”相混淆，直接去分母造成的错误，因此 21 中考总复习·数学 一定要区分两种题目. 【正解】原式=B2+d2-b2=b2+2-b2.2 a+b a+b atbatb 易错点四 运算律运用出错 例 计算： 2÷1-1 x2-1x+1x-1 【错解】原式=，2，÷1-2÷1=2-2 4 x2-1+1x2-1x-1x-1x+1x2-1 【错点分析】在分式运算中仍然遵循乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律， 因此出现了误用运算律而致错， 【压解】原式名岩名 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.（★)使代数式1 一+V4-3x有意义的整数x有() Vx+3 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.(*)若分式3-6的值为0，则x的值为() 2-x A.0 B.2 C.-2 D.0或2 3.(★)下列式子的变形正确的是（) Ab=62 B.atb=atb aa atb C.2x-4r=x-2y D.m-2n=-2n 2x m 4.(★)一辆货车送货上山，并按原路下山.上山速度为akmh,下山速度为bkmh, 则货车上、下山的平均速度为() A.atb B学 C.atb 2 ·2ab D.2ab atb 5.(★)计算3x-3的结果等于() x-1x-1 A.3 B.x C. D.3 x-1 x2-1 22 第一部分数与代数 6(*)已知+=6，则42=（) A.38 B.36 C.34 D.32 7.(★★)已知A为整式，若计算A-y的结果为=y,则A=() xy+y2 x+x y A.x B.y C.x+y D.x-y 8.(★★)化简4。+x-2的结果是() x+2 A.1 B.x2 C.x D.x2 x24 x+2 ”x+2 9.(★★)试卷上一个正确的式子11· ·*不被小明同学不小心滴上了墨汁， atb 被墨汁遮住部分“★”处的代数式为() A品 g号 C.a-b b D.-a atb 10.(★★)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看 到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简.过程如图 所示： 老师 甲 丙 x2-2x2 x2-2x.1-x x2-2x.x-1 x(x-2).x-1 x-2 -11-x x-1x2 X-1x2 x-1 2 第10题图 接力中，自己负责的一步出现错误的是() A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1山.（★）当分式1的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 x+1 .4a-1b 12.(★)不改变分式 2”的值，把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结 5a40.36 1 果为 13.(★)某商品的标价比成本高%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不 得超过d%,若用p表示d,则d= 14.(★)已知x=5,则代数式3,24的值为 x-4x2-16 15.(★★)化简： x+2x-1 ÷-4= 2-2x2-4x+4x2-2x 23 中考总复习·数学 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16(0分★*)先化简，再求值：1+1其中3. 17(0分★*)先化简.料求位：京8马*-2、其中如2 18.(10分★★)先化简，再求值：a2ab-÷-6,其中a=1+V2,b=l-V2. a a 19(2分*)先化间，再求值：后a2马，其中3a-10 20.(13分★★)先化简a+1-3:44+4,再从-2,0,1,2中选取一个适合的a a-1÷ a-1 的值代入求值. 24中考总复习·数学 题意；C选项，从左到右是因式分解，故该选项符合题 意；D选项，等号的右边不是几个整式的积的形式，不是 因式分解，故该选项不符合题意.故选C. ■优题精练 1.D2.D3.A4.C5.C6.A7.D8.B9.D 10.D 11.(9x+8y)12.202313.4014.28或3615.18 16.解：(1)x6.(2)4x+3.(3)-3ab.(4)b2+ 2bc+c2-4a2. 17.解：(1)(x+2)x-x-2=(x+2)(x-1).(2) 3m448=3(m2+4)(m+2)(m-2).(3)ab44ab3+4ab2-ab2(b 2)2.(4)-2.x2y+16xy-32y=-2y(x-4)2. 18.解：(1)原式=x2-1+4x24x+1-4x2+2x=x2-2x 把x=V2+1代入，得原式=(V2+1)2-2(V2+1)=3+ 2V2-2V2-2=1. (2)[(2x+y)(2x-y)-y(3x-y)]÷(2x)=(4x2-y2-3xy+2)÷ (2x)-(4-3)(2)=4(2)-3y4(2)-2- 当=写2时.原式-2x写×2了 3 19.解：【尝试】(1)由题意得前4个台阶上的数的 和是-5-2+1+9=3. (2)由题意，得-2+1+9+x=3,解得x=-5,则第5个台 阶上的数x是-5. 【应用】由题意知台阶上的数字是每4个一循环， .31÷4=7…3, .7x3+1-2-5=15,即从下到上前31个台阶上的数的和为15. 【发现】数“1”所在的台阶数为4k-1. 20.解：(1)观察图1可知，每增加一块正方形地砖， 等腰直角三角形地砖增加2块. (2)观察图2可知，中间一个正方形的左上、左边、 左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了 个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6= 3+2×1+1=4+2×1.图3和图1中间正方形的右上和右下都对 应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3： 8=3+2×2+1=4+2×2.归纳得4+2n(即2n+4),∴若一条这样 的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直 角三角形地砖的块数为2n+4. (3)由规律知，等腰直角三角形地砖块数(2+4)是 偶数，.2023-1=2022（块）. 再由题意，得2n+4=2022,解得n=1009,:.等腰直角 三角形地砖最少剩余1块，需要正方形地砖1009块. 3.分式 腿考点精梳 考点一分式的概念 例1C【解析】根据分式有意义的条件是分母不能为 0,若要分式有意义，则分母不能为0.≥0，则+ 1≥1，可为任何实数，故选C. 例2C【解析】由题意得(x+1)(x-1)=0,则x=±1， 故选C. 例3D【解析】根据题意，得90解得=3，故 x+3≠0. 选D. 考点二分式的基本性质 1A【解折根据分式的基本任质可得品器， 222,分子扩大为原来的4格，分母扩大 为原来的2倍，因此分式的值整体扩大为原来的2倍，故 选A. 2D【解析】当=0时，子-招则A不符合题 意：：无法约分，则B不符合题意；当c≠0时，公能， 则C不符合题意；2y=-24,则D符合题意.故选D. 例3B【解析】分子、分母同时乘以10即可把分式 的分子、分母的系数化为整数，放号。故 选B. 考点三分式的运算 例1C【解析】分式的混合运算，应该是先算乘方， 再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里面的，且运 算结果必须化为最简分式.因此本题可根据分式的减法和乘 法法则来解答，同时要通过因式分解进一步约分化简，得 到最简分式.原式=x+》.(x-y)(x+y)=(x+y)-(y) (x-y)(x+y) =x+y-x+y=2y,故选D. 例2B【解析】原式=a+3)a-3】÷2-7a+9= a a (a+3)(a-3):（(a-32=(a+3)(a-3).a a =a+3.故选B. a a (a-3)2a-3 ■优题精练 1.B2.A3.C4.D5.A6.C7.A8.D 9.B10.D 1.0(答案不唯-）120013.14.号 2a+3b 100+p 5 16解：原式=音音4 当时，原式品子 17:原式8点228 -44.8。-2=3,2,=±2，-2时分式无 x-2(x-2)24x-2 意义，舍去，∴x=-2. 当=-2时，原式名2号 8解：原式2h+·。0a6户 a a (a+b)(a-b)= a-b atb 把a=1+V2,b=1-V2代入，得 原式=1+V2-l+V2=2V2=V2. 1+V②+1-V22 19解：原武o品 a-2 1 =3(d+3a) 当d2+3a-l=0,即a2+3a=1时，原式=} 3 20解：原式-品}：a222 a-1 a-1 号a1且a-,当0时，原式-1：当 a=2时，原式=0. 4.二次根式 腿考点精梳 考点一二次根式的有关概念 例1D【解析】根据二次根式有意义的条件和分式有 意义的条件得到不等式组，六：≥0， 解得x≥0且x≠2， “x-2≠0， 故选D. 例2C【解析】根据同类二次根式的定义，V8= 2V2,与V2是同类二次根式，符合题意，故选C 考点二平方根与立方根 例1D【解析】各选项利用平方根、立方根的定义计 算即可求出值.V9=3,A错误；V(-3)=-31=3,B错 误；V⑨不能化简，C错误；V2-V3=2V3-V3= V3,D正确.故选D. 例2C【解析】V-6=V81-36=V45=3V5,故 选C. 例3B【解析】V(-5)P=5,A错误；V-8=-2,B 正确；V36=6,C错误；-V16=-4,D错误.故选B. 考点三二次根式的性质 例1A【解析】最简二次根式需要同时满足两个条 件：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含有开得尽 方的因数或因式，故选A. 例2B【解析】根据最简二次根式的定义，V5, √写，-2V高，V中是最简二次根式的有V5, Vx+y,共2个，故选B. 例3C【解析】利用二次根式的性质与运算公式可判 断YVV5正确，放适C 考点四二次根式的运算 ● 参考答案 例1C【解析】此题只有先判断出同类二次根式，才 能进行加减法运算.2与V3不能合并，A错误：5V2- V2=4V2,B错误；5V2a+V2a=6V2a,C正确； Vy与2Vx不能合并，D错误.故选C. 例2D【解析】(V2)=1,A错误；2V3+3V3 =5V3,B错误；V8=2V2,C错误；V3(2V3-2) =6-2/3,D正确.故选D. ■优题精练 1.D2.D3.D4.D5.A6.C7.B8.B9.B 10.C 11.x>-3且x≠-212.313.1014.115.8（答案 不唯一) 16.解：(1)原式=2V2-V2+4V2=5V2. 2)原式-2-V爱1-V47-25 17.解：(1)原式=㎡2-3-a㎡2+V5a=V5a-3. 当a=V5+1时，原式=V5×(V5+1)-3=5+V5-3= 2+VW5. (2)x=3+V2,.x2=(3+V2)2=11+6V2, .原式=(11-6V2)(11+6V2)+(3-V2)(3+V2)+ 1=121-72+9-2+1=57. 18.解：设直角三角形的两直角边为a和b,则a+b2= 42,.2+b2=16,a+b=3V2 把a+b=3V2两边同时平方，可得a+2ab+b2-18, :宁宁，直角三角形的面积为宁 19.解：(1)当t=21时，d=7V21-12=7x3=21(cm). 答：冰川消失21年后苔薛的直径为21cm. (2)当d=35时，即7Vt-12=35,.t-12=25,t37. 答：冰川约是在37年前消失的. 20.解：(1)长方形ABCD的周长为2(BC+4B)= 2(V162+V128)=34V2(m). 答：长方形ABCD的周长是34V2m. (2)铺地砖的面积为V162×V128-(V14+1)(V14 -1)=144-13=131(m2),故购买地砖花费131×5=655（元）. 答：购买地砖需要花费655元. 数与式强化训练 1.A2.D3.D4.C5.D6.A7.C8.C9.B 10.C 11.x(x+y)(x-y)12.-113.3或914.1115.0.7 16.解：(1)原式=-15+V6-1=-16+V6. (2)原式=-1+2-V/3+3+1=5-V3. (3)原武=3V3x22V2-6V2=12V2-6V2 V3